人民大學(xué)《保險(xiǎn)精算學(xué)》

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1、 編號(hào)： 時(shí)間：2021年x月x日 書(shū)山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟 頁(yè)碼：第94頁(yè) 共94頁(yè) 第一章：利息理論基礎(chǔ) 第一節(jié)：利息的度量 一、利息的定義 利息產(chǎn)生在資金的所有者和使用者不統(tǒng)一的場(chǎng)合，它的實(shí)質(zhì)是資金的使用者付給資金所有者的租金，用以補(bǔ)償所有者在資金租借期內(nèi)不能支配該筆資金而蒙受的損失。 二、利息的度量 利息可以按照不同的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)度量，主要的度量方式有 1、? 按照計(jì)息時(shí)刻劃分： 期末計(jì)息：利率 期初計(jì)息：貼現(xiàn)率 2、? 按照積累方式劃分： （1）線性積累： 單利計(jì)息 單貼現(xiàn)計(jì)息 （2）指數(shù)積累： 復(fù)利計(jì)息 復(fù)

2、貼現(xiàn)計(jì)息 （3）單復(fù)利/貼現(xiàn)計(jì)息之間的相關(guān)關(guān)系 ????????? ? 單利的實(shí)質(zhì)利率逐期遞減，復(fù)利的實(shí)質(zhì)利率保持恒定。 單貼現(xiàn)的實(shí)質(zhì)利率逐期遞增，復(fù)貼現(xiàn)的實(shí)質(zhì)利率保持恒定。 ? 時(shí)，相同單復(fù)利場(chǎng)合，復(fù)利計(jì)息比單利計(jì)息產(chǎn)生更大的積累值。所以長(zhǎng)期業(yè)務(wù)一般復(fù)利計(jì)息。 時(shí)，相同單復(fù)利場(chǎng)合，單利計(jì)息比復(fù)利計(jì)息產(chǎn)生更大的積累值。所以短期業(yè)務(wù)一般單利計(jì)息。 3、按照利息轉(zhuǎn)換頻率劃分： （1）一年轉(zhuǎn)換一次：實(shí)質(zhì)利率 （實(shí)質(zhì)貼現(xiàn)率 ） （2）一年轉(zhuǎn)換 次：名義利率 （名義貼現(xiàn)率 ） （3）連續(xù)計(jì)息（一年轉(zhuǎn)換無(wú)窮次）：利息效力 特別，恒定利息效力場(chǎng)合有 三、

3、變利息 1、? 什么是變利息 2、? 常見(jiàn)的變利息情況 （1）連續(xù)變化場(chǎng)合 （2）離散變化場(chǎng)合 第二節(jié)：利息問(wèn)題求解原則 一、利息問(wèn)題求解四要素 1、? 原始投資本金 2、投資時(shí)期的長(zhǎng)度 3、利率及計(jì)息方式 4、本金在投資期末的積累值 二、利息問(wèn)題求解的原則 1、本質(zhì) 任何一個(gè)有關(guān)利息問(wèn)題的求解本質(zhì)都是對(duì)四要素知三求一的問(wèn)題。 2、工具 現(xiàn)金流圖：一維坐標(biāo)圖，記錄資金按時(shí)間順序投入或抽出的示意圖。 3、方法 建立現(xiàn)金流分析方程（求值方程） 4、原則 在任意時(shí)間參照點(diǎn)，求值方程等號(hào)兩邊現(xiàn)時(shí)值相等。 第三節(jié)：年金 一、 年金的定義與分類(lèi) 1、?

4、年金的定義：按一定的時(shí)間間隔支付的一系列付款稱(chēng)為年金。原始含義是限于一年支付一次的付款，現(xiàn)已推廣到任意間隔長(zhǎng)度的系列付款。 2、? 年金的分類(lèi)： （1）??????? 基本年金 約束條件：等時(shí)間間隔付款 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 每次付款金額恒定 （2）????? 一般年金 ??????? ?不滿足基本年金三個(gè)約束條件的年金即為一般年金。 （3） ? 二、基本年金 1、? 分類(lèi) （1）付款時(shí)刻不同：初付年金/延付年金 （2）付款期限不同：有限年金/永久年金 2、? 基本年金公式推導(dǎo) 3、? 變利率年金問(wèn)題 （1）?????? 時(shí)期變利率（第 個(gè)時(shí)期利率為 ）

5、 （2）?????? 付款變利率（第 次付款的年金始終以利率 計(jì)息） 三、一般年金 ??????? 1、分類(lèi) （1）支付頻率不同于計(jì)息頻率 （2）變額年金 2、支付頻率不同于計(jì)息頻率年金 （1）支付頻率小于計(jì)息頻率的年金分析 方法一：利率轉(zhuǎn)換 方法二：年金的代數(shù)分析 （2）支付頻率大于計(jì)息頻率的年金分析 方法一：利率轉(zhuǎn)換 方法二：年金的代數(shù)分析 （3）????? 連續(xù)年金 特別，在常數(shù)利息效力場(chǎng)合 3、變額年金 （1）????? 等差年金 ? 初始投資P元，等差Q元的年金的一般公式： 現(xiàn)時(shí)值： 積累值： 特別地， 遞

6、增年金：P=Q=1 現(xiàn)時(shí)值： 積累值： 遞減年金：P=n，Q=-1 現(xiàn)時(shí)值： 積累值： （2）????? 等比年金（下一期年金值為前一期年金值的（ ）倍） 現(xiàn)時(shí)值： 積累值： 第四節(jié)：收益率 一、收益率的概念 ??? 1、貼現(xiàn)資金流與現(xiàn)金流動(dòng)表 2、收益率的定義：使得投資返回凈現(xiàn)時(shí)值等于零時(shí)的利率稱(chēng)為收益率。也稱(chēng)為“內(nèi)返回率” 二、 收益率的唯一性判別? 1、? 由于收益率是高次方程的解，所以它的解很可能不唯一。 2、? Descartes符號(hào)判別定理：收益率的最大重?cái)?shù)小于等于資金流的符號(hào)改變次數(shù)。 3、? 收益率唯一性判別定理二：整個(gè)投資期間

7、未動(dòng)用投資余額始終為正，收益率唯一。 三、再投資率 1、? 本金的再投資率 2、? 利息的再投資率 四、基金的利息度量 1、? 幣值加權(quán)方法 2、? 時(shí)間加權(quán)方法 第五節(jié)：分期償還表和償債基金 一、分期償還和償債基金的概念 1、??? 分期償還：借款人按一定的周期用分期付款的辦法償還貸款，這種還貸方法稱(chēng)為分期償還。 2、??? 償債基金：借款人在貸款期末用一次的集中付款來(lái)償還貸款人。利息則在此期間分期付款，并假設(shè)借款人周期性地付款給一個(gè)“基金”，該“基金”在貸款期末的積累值正好可以?xún)斶€貸款本金。 二、分期償還表 時(shí)期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還

8、貸款余額 0 - - - 1 1 1 1 0 總計(jì) ? 三、償債基金 時(shí)期 付款金額 支付利息 存入償債基金 償債基金積累值 未償還貸款余額 0 - - - - 1 1 0 總計(jì) ? ? 對(duì)償債基金而言，第 次付款的實(shí)際支付利息為： 第 次付款的實(shí)際償還本金為： 第二章?? 生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造

9、第一節(jié) 生命表函數(shù) 一、生存函數(shù) 1、? 定義： 2、? 概率意義：新生兒能活到 的概率 3、? 與分布函數(shù)的關(guān)系： 4、? 與密度函數(shù)的關(guān)系： 二、剩余壽命 1、定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡(jiǎn)記 ），還能繼續(xù)存活的時(shí)間，稱(chēng)為剩余壽命，記作T(x)。 2、剩余壽命的分布函數(shù) 5、? ： ， 它的概率意義為： 將在未來(lái)的 年內(nèi)去世的概率，簡(jiǎn)記 3、剩余壽命的生存函數(shù)： ， 它的概率意義為： 能活過(guò) 歲的概率，簡(jiǎn)記 特別： （1） （2） （3） （4） ： 將在 歲與 歲之間去世的概率 4、? 整值剩余壽命 （1）定義： 未來(lái)存活的完

10、整年數(shù)，簡(jiǎn)記 （2）概率函數(shù)： 5、剩余壽命的期望與方差 （1）期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值（均值），簡(jiǎn)記 （2）剩余壽命的方差： 6、整值剩余壽命的期望與方差 （1）期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值（均值），簡(jiǎn)記 （2）整值剩余壽命的方差： 2 三、死亡效力 1、定義： 的人瞬時(shí)死亡率，記作 2、死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系 3、死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系 4、死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù) 記 為剩余壽命 的分布函數(shù)， 為 的密度函數(shù)，則 第二節(jié) 生命表的構(gòu)造 一、有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型 1、de Moiv

11、re模型（1729） 2、Gompertz模型（1825） 3、Makeham模型（1860） 4、Weibull模型（1939） 二、生命表的起源 ??????? 1、參數(shù)模型的缺點(diǎn) ????? ???（1）至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個(gè)常用模型的擬合效果不令人滿意。 （2）使用這些參數(shù)模型推測(cè)未來(lái)的壽命狀況會(huì)產(chǎn)生很大的誤差 （3）壽險(xiǎn)中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類(lèi)壽命的分布。 （4）在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。 2、生命表的起源 ????????? （1）生命表的定義 根據(jù)

12、已往一定時(shí)期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制成的由每個(gè)年齡死亡率所組成的匯總表. （2）生命表的發(fā)展歷史 1662年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時(shí)期的洗禮和死亡名單,寫(xiě)過(guò)《生命表的自然和政治觀察》。這是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計(jì)表對(duì)人類(lèi)死亡程度的估計(jì)》，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類(lèi)死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱(chēng)為生命表的創(chuàng)始人。 （3）生命表的特點(diǎn) 構(gòu)造原理簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場(chǎng)合）、不依賴(lài)總體分布假定（非參數(shù)方法） ??? 三、生命表的構(gòu)造 1、原理 在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察

13、數(shù)據(jù)計(jì)算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計(jì)頻率） 2、常用符號(hào) （1）新生生命組個(gè)體數(shù)： （2）年齡： （3）極限年齡： （4） 個(gè)新生生命能生存到年齡 的期望個(gè)數(shù)： （5） 個(gè)新生生命中在年齡 與 之間死亡的期望個(gè)數(shù)： 特別，當(dāng) 時(shí)，記作 （6） 個(gè)新生生命在年齡 與 區(qū)間共存活年數(shù)： （7） 個(gè)新生生命中能活到年齡 的個(gè)體的剩余壽命總數(shù)： 四、選擇與終極生命表 1、選擇-終極生命構(gòu)造的原因 （1）需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 （2）需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間

14、而逐漸消失 2、選擇-終極生命表的使用 第三節(jié) 有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè) 一、使用背景 生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況 ??? 二、基本原理 插值法 三、常用假定 1、均勻分布（Uniform Distribution）假定:(線形插值) 2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（幾何插值） 3、Balducci假定（調(diào)和插值） 四、三個(gè)假定下的生命表函數(shù) 函數(shù) 均勻分布假定 恒定死亡效力假定 Balducci假定

15、 第三章 人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定 第一節(jié)? 人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定的原理 一、 人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介 1、什么是人壽保險(xiǎn) （1）?????? 狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。 （2）?????? 廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人的壽命作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，也包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)底的生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。 2、人壽保險(xiǎn)的分類(lèi) 根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，人壽保險(xiǎn)有不同的分類(lèi)： （1）?????? 以被保險(xiǎn)人的受益金額是否恒定進(jìn)

16、行劃分，可分為：定額受益保險(xiǎn)，變額受益保險(xiǎn)。 （2）?????? 以保障期是否有限進(jìn)行劃分，可分為：定期壽險(xiǎn)和終身壽險(xiǎn)。 （3）?????? 以保單簽約日和保障期是否同時(shí)進(jìn)行劃分，可分為：非延期保險(xiǎn)和延期保險(xiǎn)。 （4）?????? 以保障標(biāo)的進(jìn)行劃分，可分為：人壽保險(xiǎn)（狹義）、生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。 3、人壽保險(xiǎn)的性質(zhì) （1）?????? 保障的長(zhǎng)期性：壽險(xiǎn)的保障期通常比較長(zhǎng)。這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。因而，壽險(xiǎn)產(chǎn)品純保費(fèi)的厘定通常要考慮利率的影響。 （2）?????? 保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性：人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴(lài)于被保險(xiǎn)人的生

17、命狀況。以狹義的定期變額人壽保險(xiǎn)為例，如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)沒(méi)有死亡，到期賠付金額為零；如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司將在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)給付與死亡時(shí)間相關(guān)的某個(gè)數(shù)額的賠償金。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，它依賴(lài)于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布。 （3）?????? 被保障人群的大數(shù)性：對(duì)單個(gè)被保險(xiǎn)人而言，他會(huì)在什么時(shí)刻死亡是不可估計(jì)的。但對(duì)大量的被保險(xiǎn)人構(gòu)成的一個(gè)大數(shù)群體而言，他們的剩余壽命分布是有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)算出平均賠付并可預(yù)測(cè)將來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。 二、 人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定的原理 1、假定 傳統(tǒng)的人壽

18、保險(xiǎn)產(chǎn)品的躉繳純保費(fèi)是在如下假定下厘定的： 假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命獨(dú)立同分布。 假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。 假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來(lái)的投資受益（即預(yù)定利率）。 2、原理 保險(xiǎn)公司在上面三個(gè)假定條件下，按照凈均衡的原則來(lái)厘定躉繳純保費(fèi)的數(shù)額。 所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來(lái)的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值。 而躉繳純保費(fèi)是指在保單生效日一次性支付將來(lái)保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值。 記 ?：保單生效到賠付的時(shí)間 ?：從賠付時(shí)刻

19、回溯至保單生效時(shí)的利息貼現(xiàn)，稱(chēng)為貼現(xiàn)函數(shù)。 ?：賠付時(shí)刻賠付的金額，或者說(shuō)是被保險(xiǎn)人的受益金額，稱(chēng)為受益函數(shù)。 ?：受益賠付額回溯到保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值，稱(chēng)為現(xiàn)時(shí)隨機(jī)變量，它是一個(gè)依賴(lài)于賠付時(shí)間、賠付金額和貼現(xiàn)函數(shù)的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為 ，有 按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于 。 第二節(jié)??????? 死亡即刻賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定 一、 死亡即刻賠付的含義 1、??? 死亡即刻陪付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。 2、? 由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任

20、意時(shí)刻，所以死亡即刻陪付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。 二、 主要險(xiǎn)種死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定 1、 年定期壽險(xiǎn) （1）定義：保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的 年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱(chēng)為 年死亡保險(xiǎn)。 （2）假定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的 年定期壽險(xiǎn) （3）基本函數(shù)關(guān)系 （4） 年定期壽險(xiǎn)死亡即刻陪付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定 （5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 記 則 2、終身壽險(xiǎn) （1）定義：保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 （2）假

21、定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的終身壽險(xiǎn) （3）基本函數(shù)關(guān)系 （4）終身壽險(xiǎn)死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定 （5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 記 則 3、延期 年的終身壽險(xiǎn) （1）?? 定義：保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保 年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 （2） ? （2）假定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的延期 年的終身壽險(xiǎn) （3）基本函數(shù)關(guān)系 （4）延期 年的終身壽險(xiǎn)死亡即刻陪付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定 （5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 記 則 4、 年定期生存險(xiǎn) （1）定義：被保險(xiǎn)人投保后生存至 年期滿時(shí)，保險(xiǎn)人在第 年

22、末支付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 （2）假定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的 年定期生存險(xiǎn) （3）基本函數(shù)關(guān)系 （4） 年定期生存險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定 （5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 5、 年定期兩全險(xiǎn) （1）定義：被保險(xiǎn)人投保后如果在 年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至 年期滿，保險(xiǎn)人在第 年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。所以 年定期兩全險(xiǎn)實(shí)際上等價(jià)于 年生存保險(xiǎn)加上 年定期壽險(xiǎn)的組合。 （2）假定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的 年定期兩全險(xiǎn) （3）基本函數(shù)關(guān)系 （4） 年定期兩全險(xiǎn)死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定 記 年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變

23、量為 ， 年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 ， 年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 ，已知 則有 即 （5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 因?yàn)? 所以 又因?yàn)? 所以 年定期兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差等價(jià)于 6、延期 年的 年定期兩全險(xiǎn) （1）定義：被保險(xiǎn)人在投保后的前 年的死亡不獲賠償，從第 年開(kāi)始為期 年的定期兩全險(xiǎn)。顯然它相當(dāng)于延期 年的 年定期壽險(xiǎn)和延期 年的 年定期生存險(xiǎn)的組合 （2）假定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的延期 年的 年定期兩全險(xiǎn) （3）基本函數(shù)關(guān)系 （4）延期 年的 年定期兩全險(xiǎn)死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定 記 延期 年的 年定期壽

24、險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 ，延期 年的 年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 ，延期 年的 年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 ，有 即 從延期 年的定期兩全保險(xiǎn)的定義還可以直接推出它的躉繳純保費(fèi)等于 （5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 因?yàn)? 且 所以延期 年的 年定期兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差等價(jià)于 7、遞增終身壽險(xiǎn) （1）定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的遞增線性函數(shù)。 （2）假定： 的人投保初始保額為1單位元數(shù)的遞增終身壽險(xiǎn)， 如果保險(xiǎn)賠償金一年遞增一次，即受益函數(shù)為： ，記這種遞增終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)為 如果保險(xiǎn)賠償金一年遞增 次，即受益

25、函數(shù)為 ，記這種遞增終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)為 如果保險(xiǎn)賠償金一年遞增無(wú)窮次（連續(xù)遞增），即受益函數(shù)為 ，記這種遞增終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)為 （3）?????? 基本函數(shù)關(guān)系 的現(xiàn)值隨機(jī)變量為 的現(xiàn)值隨機(jī)變量為 的現(xiàn)值隨機(jī)變量為 （4）?????? 遞增終身人壽保險(xiǎn)死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定 的厘定 的厘定 的厘定 8、遞減 年定期壽險(xiǎn) （1）定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的遞減線性函數(shù)。 （2）假定： 的人投保初始保額為1單位元數(shù)的遞減定期壽險(xiǎn)， 如果保險(xiǎn)賠償金一年遞減一次，即受益函數(shù)為： ，記這種遞減定期

26、壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)為 如果保險(xiǎn)賠償金一年遞減 次，即受益函數(shù)為 ，記這種遞減定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)為 如果保險(xiǎn)賠償金一年遞減無(wú)窮次（連續(xù)遞增），即受益函數(shù)為 ，記這種減定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)為 （3）基本函數(shù)關(guān)系 的現(xiàn)值隨機(jī)變量為 的現(xiàn)值隨機(jī)變量為 的現(xiàn)值隨機(jī)變量為 （4）遞減定期壽險(xiǎn)死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定 的厘定 的厘定 的厘定 第三節(jié)??????? 死亡年末賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定 一、死亡年末賠付的含義 1、 死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。 2、由于賠付

27、時(shí)刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定凈凈凈躉繳保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。 二、主要險(xiǎn)種死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定 1、 年定期壽險(xiǎn) （1）基本函數(shù)關(guān)系 記 為被保險(xiǎn)人整值剩余壽命，則 （2） 年定期壽險(xiǎn)死亡年末陪付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定 等式兩邊同乘以 ，得 這一等式顯示了保單發(fā)行時(shí) 個(gè) 歲的被保險(xiǎn)人的凈躉繳保費(fèi)總和與按死亡預(yù)期流出的資金量現(xiàn)時(shí)值之間的平衡關(guān)系。 （

28、3）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 記 則 （4）比較 顯然，和死亡即刻賠付情況下躉繳純保費(fèi)的計(jì)算模型相比，這兩個(gè)精算模型的構(gòu)造思想、計(jì)算步驟都一樣，唯一不同的就是一個(gè)連續(xù)（ ），一個(gè)離散（ ）；一個(gè)的期望是求積分得到（ ），一個(gè)的期望是求累加和得到（ ）。 2、其它險(xiǎn)種場(chǎng)合 顯然，其它險(xiǎn)種場(chǎng)合的情況和定期壽險(xiǎn)場(chǎng)合一樣。我們?nèi)菀椎玫饺缦陆Y(jié)果： 險(xiǎn)種 凈躉繳保費(fèi) 終身壽險(xiǎn) 延期 年終身壽險(xiǎn) 年兩全保險(xiǎn) 延期 年 年兩全保險(xiǎn) 遞增終身壽險(xiǎn)（一年遞增一次） 遞減 年定期壽險(xiǎn)（一年遞減一次） 三、 死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系（剩余壽命在分?jǐn)?shù)時(shí)

29、期均勻分布假定下） 以終身壽險(xiǎn)為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命： 則 同理可以驗(yàn)證，在如下兩個(gè)條件： （1） （2） 只依賴(lài)于剩余壽命的整數(shù)部分，即 則有 換言之，滿足如上兩個(gè)條件，死亡即刻賠付即為死亡年末賠付的 倍。 第四節(jié)??????? 遞歸方程 公式一： 理解： 的單位金額終身壽險(xiǎn)在第一年末的價(jià)值等于 在第一年死亡的情況下1單位的賠付額，或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi) 。 公式二： 理解： 個(gè) 歲的被保險(xiǎn)人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過(guò)一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險(xiǎn)人提供次年的凈躉繳保費(fèi) ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險(xiǎn)

30、人提供額外的 。 公式三： 理解：年齡為 的被保險(xiǎn)人在活到 歲時(shí)的凈躉繳保費(fèi)與當(dāng)初 歲時(shí)的凈躉繳保費(fèi)之差等于保費(fèi)的一年利息減去提供一年的保險(xiǎn)成本。 公式四： 理解： 的躉繳純保費(fèi)等于其未來(lái)所有年份的保險(xiǎn)成本的現(xiàn)時(shí)值之和。 第五節(jié)??????? 計(jì)算基數(shù) 一、 什么是計(jì)算基數(shù) 定義：在保險(xiǎn)精算學(xué)中，有些保費(fèi)的計(jì)算過(guò)程往往很繁瑣，為簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，引入一些換算函數(shù)，這些換算函數(shù)是一些根據(jù)假定條件事先算好的中間量，也稱(chēng)為計(jì)算基數(shù)，一般的保費(fèi)計(jì)算都可以表示成這些計(jì)算基數(shù)的函數(shù)形式。 二、 常用計(jì)算基數(shù) 三、 用計(jì)算基數(shù)表示常見(jiàn)壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)

31、 第四章?? 生存年金 第一節(jié)??????? 生存年金簡(jiǎn)介 一、 生存年金的定義和分類(lèi) 1、生存年金的定義： 以被保險(xiǎn)人存活為條件，間隔相等的時(shí)期（年、半年、季、月）支付一次保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)類(lèi)型。 2、生存年金的分類(lèi) （1）?????? 延付年金、初付年金 （2）?????? 連續(xù)年金、離散年金 （3）?????? 定期年金、終身年金 （4）?????? 非延期年金、延期年金 （5）?????? 被保險(xiǎn)人支付的保費(fèi)年金、保險(xiǎn)人支付的保險(xiǎn)賠付年金 3、生存年金與確定性年金的關(guān)系 （1）?????? 確定性年金：支付期數(shù)確定的年金（利息理論中

32、所講的年金）。 （2）?????? 生存年金與確定性年金的聯(lián)系：都是每隔一段時(shí)間的系列付款 （3）?????? 生存年金與確定性年金的區(qū)別：確定性年金的支付期數(shù)是確定的，而生存年金的支付期數(shù)是不確定的（以被保險(xiǎn)人生存為條件） 二、 生存年金的用途 1、? 被保險(xiǎn)人保費(fèi)交付常使用生存年金的方式 2、? 某些場(chǎng)合保險(xiǎn)人理賠時(shí)支付的保險(xiǎn)金采用生存年金的方式，特別在：養(yǎng)老保險(xiǎn)、殘疾保險(xiǎn)、撫恤保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等場(chǎng)合。 第二節(jié)??????? 與生存相關(guān)聯(lián)的一次性支付 一、 年期生存保險(xiǎn)定義 現(xiàn)齡 歲的人在投保 年后仍然存活，可以在第 年末獲得生存賠付的保險(xiǎn)稱(chēng)為 年期生存保險(xiǎn)。這就是我們?cè)诘谌?/p>

33、章講到的純生存保險(xiǎn)。 單位元數(shù)的 年期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為 。在生存年金研究中習(xí)慣用 表示該保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值 二、相關(guān)公式及意義 理解： 年齡 現(xiàn)時(shí)值 1 1 ? S 1 ? 第三節(jié)??????? 連續(xù)生存年金 一、 連續(xù)生存年金簡(jiǎn)介 1、定義：在保障時(shí)期內(nèi)，以被保險(xiǎn)人生存為條件，連續(xù)支付年金的保險(xiǎn)。 2、分類(lèi)： ??? 終身（永久）連續(xù)生存年金、定期連續(xù)生存年金 延期連續(xù)生存年金、非延期連續(xù)生存年金 3、連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估計(jì)方法 u?????? 當(dāng)期支付技巧：考慮未來(lái)連續(xù)支付的現(xiàn)時(shí)值之和 u?????? 綜合支付

34、技巧：考慮年金在因死亡或到期而結(jié)束時(shí)的總值。 二、終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì) 1、綜合支付技巧 步驟一：計(jì)算到死亡發(fā)生時(shí)間T為止的所有已支付的年金的現(xiàn)值之和 步驟二：計(jì)算這個(gè)年金現(xiàn)值關(guān)于時(shí)間積分所得的年金期望值，即終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值，記作： 2、當(dāng)期支付技巧 步驟一：計(jì)算在時(shí)刻 所支付的當(dāng)期年金的現(xiàn)值 步驟二：計(jì)算該當(dāng)期年金現(xiàn)值按照可能支付的時(shí)間積分，得到期望年金現(xiàn)值 3、相關(guān)公式 三、定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì) 1、綜合支付技巧 2、當(dāng)期支付技巧 3、相關(guān)公式 四、延期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì) 1、延期 年

35、終身生存年金：當(dāng) 活到 歲之后，每年可獲1單位元數(shù)的連續(xù)支付的延期年金，其精算現(xiàn)值記作 也等價(jià)于 2、延期 年 年定期生存年金：當(dāng) 在 歲與 歲之間存活時(shí)，每年可獲1單位元數(shù)的連續(xù)支付的延期年金，其精算現(xiàn)值記作 也等價(jià)于 第四節(jié)??????? 離散生存年金 一、離散生存年金簡(jiǎn)介 1、定義：在保障時(shí)期內(nèi)，以被保險(xiǎn)人生存為條件，每隔一段時(shí)間支付一次年金的保險(xiǎn)。 2、連續(xù)生存年金與離散生存年金的關(guān)系 （1）計(jì)算精算現(xiàn)值的理論基礎(chǔ)完全相同 （2）不同的是求精算現(xiàn)值時(shí)： 連續(xù)場(chǎng)合使用積分運(yùn)算→離散場(chǎng)合使用累加求和 連續(xù)場(chǎng)合沒(méi)有初付、延付的問(wèn)題，離散場(chǎng)合要分初付、

36、延付分開(kāi)考慮 3、分類(lèi)： 初付生存年金、延付生存年金 ??? 終身離散生存年金、定期離散生存年金 延期離散生存年金、非延期離散生存年金 二、初付生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì) 由于大多數(shù)壽險(xiǎn)公司都采用的是初付年金的方式收取保費(fèi)，所以我們首先討論初付年金的精算現(xiàn)值的估計(jì)。 1、初付終身生存年金 （1）當(dāng)期支付技巧 （2）綜合支付技巧 （3）相關(guān)公式 2、初付定期生存年金 （1）?????? 期支付技巧 （2）綜合支付技巧 （3）相關(guān)公式 3、延期初付生存年金 險(xiǎn)種 延期 年終身生存年金 延期 年 年定期生存年金 精算現(xiàn)值 三、延付生

37、存年金精算現(xiàn)值的估計(jì) 1、初付生存年金與延付生存年金的關(guān)系 2、常見(jiàn)險(xiǎn)種的延付生存年金 ??????????????? 險(xiǎn)種 延付年金精算現(xiàn)時(shí)值 終身生存年金 年定期 生存年金 延期 年 終身生存年金 延期 年 年定期生存年金 第五節(jié)??????? 年付 次的生存年金 一、年付 次的終身生存年金（初付） 1、基本公式 2、UDD假定下的公式 3、近似公式 二、年付 次的定期生存年金（初付） 1、基本公式 2、UDD假定下的公式 3、近似公式 三、年付 次的延期生存年金（初付） 險(xiǎn)種 精算現(xiàn)值近似公式

38、 延期 年 終身生存年金 延期 年 年定期生存年金 第六節(jié)? 等額年金計(jì)算基數(shù)公式 險(xiǎn)種 初付 延付 終身生存年金 定期生存年金 延期終身生存年金 延期定期生存年金 第五章? 純保費(fèi)和毛保費(fèi) 第一節(jié)??? 保費(fèi)簡(jiǎn)介 一、 保費(fèi)的構(gòu)成 二、 保費(fèi)的分類(lèi) 1、? 按保費(fèi)繳納的方式分： 一次性繳納：躉繳（純/毛）保費(fèi) 以年金的方式繳納：期繳（純/毛）保費(fèi) 2、? 按保險(xiǎn)的種類(lèi)分： 只覆蓋死亡的保險(xiǎn)：純壽險(xiǎn)保費(fèi) 只覆蓋生存的保險(xiǎn)：生存險(xiǎn)保費(fèi) 既覆蓋死亡又覆蓋生存的保險(xiǎn)：兩全險(xiǎn)保費(fèi) 在前兩章中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)各險(xiǎn)種

39、場(chǎng)合躉繳純保費(fèi)的確定： （1）純壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)（死亡受益死亡即刻支付） 終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 年延期終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 年延期 年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： （2）生存險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的確定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付） 年定期生存險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 終身生存年金躉繳純保費(fèi)： 年延期終身生存年金躉繳純保費(fèi)： 年定期生存年金躉繳純保費(fèi)： 年延期 年定期生存年金躉繳純保費(fèi)： （3）兩全險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的確定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保險(xiǎn)期沒(méi)支付） 年定期兩全險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 第二節(jié)??? 凈均衡保費(fèi) 一、 凈均衡保費(fèi)與

40、躉繳純保費(fèi)的關(guān)系 1、純保費(fèi)厘定原則——平衡原則：保險(xiǎn)人的潛在虧損均值為零。 L=給付金現(xiàn)值-純保費(fèi)現(xiàn)值 E（L）=0 E（給付金現(xiàn)值）=E（純保費(fèi)現(xiàn)值） 2、凈均衡保費(fèi)與躉繳純保費(fèi)的關(guān)系 E（躉繳純保費(fèi)現(xiàn)值）=E（凈均衡保費(fèi)現(xiàn)值） 二、 各險(xiǎn)種凈均衡保費(fèi)的厘定 1、? 完全連續(xù)凈均衡年保費(fèi)的厘定 （1）?????? 終身壽險(xiǎn)完全連續(xù)凈均衡年保費(fèi)的厘定 ????????? 假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)） ????????? 厘定過(guò)程： ????????? ? （2）?????? 常見(jiàn)險(xiǎn)種完

41、全連續(xù)凈均衡年保費(fèi)總結(jié) 險(xiǎn)種 完全連續(xù)凈均衡年保費(fèi) 終身人壽保險(xiǎn) 年定期壽險(xiǎn) 年兩全保險(xiǎn) 年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn) 年繳費(fèi) 年兩全保險(xiǎn) 年生存保險(xiǎn) 年遞延終身生存保險(xiǎn) 2、? 完全離散凈均衡年保費(fèi)的厘定 （1）?????? 終身壽險(xiǎn)完全離散凈均衡年保費(fèi)的厘定 ????????? 假定條件： 死亡年末給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起每年年初交付保費(fèi)（給付離散，繳費(fèi)也離散） ????????? 厘定過(guò)程： ????????? ? （2）?????? 常見(jiàn)險(xiǎn)種完全離散凈均衡年保費(fèi)的厘定 險(xiǎn)種 完全連續(xù)凈均衡年保

42、費(fèi) 終身人壽保險(xiǎn) 年定期壽險(xiǎn) 年兩全保險(xiǎn) 年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn) 年繳費(fèi) 年兩全保險(xiǎn) 年生存保險(xiǎn) 年遞延終身生存保險(xiǎn) 3、? 半連續(xù)純年保費(fèi)的厘定 （1）?????? 終身壽險(xiǎn)半連續(xù)凈均衡年保費(fèi)的厘定 ????????? 假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起每年年初交付保費(fèi)（給付連續(xù)，繳費(fèi)離散，這是實(shí)際中最常見(jiàn)的給付、繳費(fèi)方式） ????????? 厘定過(guò)程： ????????? ? （2）?????? 常見(jiàn)險(xiǎn)種完全離散凈均衡年保費(fèi)的厘定 險(xiǎn)種

43、 完全連續(xù)凈均衡年保費(fèi) 終身人壽保險(xiǎn) 年定期壽險(xiǎn) 年兩全保險(xiǎn) 年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn) 年繳費(fèi) 年兩全保險(xiǎn) 年生存保險(xiǎn) 年遞延終身生存保險(xiǎn) 4、每年繳納數(shù)次保費(fèi)的純保費(fèi)的厘定 ????????? 終身壽險(xiǎn)年繳 次保險(xiǎn)假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起每年繳費(fèi) 次，每期期初繳費(fèi)（給付連續(xù)，繳費(fèi)離散） ??????? 厘定過(guò)程： 第三節(jié)??? 毛保費(fèi) 一、 保險(xiǎn)費(fèi)用簡(jiǎn)介 1、定義：保險(xiǎn)公司支出的除了保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的保險(xiǎn)金給付外，其它的維持保險(xiǎn)公司正常運(yùn)

44、作的所有費(fèi)用支出統(tǒng)稱(chēng)為經(jīng)營(yíng)費(fèi)用。這些費(fèi)用必須由保費(fèi)和投資收益來(lái)彌補(bǔ)。 2、保險(xiǎn)費(fèi)用范圍：稅金、許可證、保險(xiǎn)產(chǎn)品生產(chǎn)費(fèi)用、保單銷(xiāo)售服務(wù)費(fèi)用、合同成立后的維持費(fèi)、投資費(fèi)用等。 3、保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)營(yíng)業(yè)費(fèi)用的一種分類(lèi)方案： 費(fèi)用分類(lèi) 分類(lèi) 投資 （1）?????? 分析 （2）?????? 購(gòu)買(mǎi)、銷(xiāo)售及服務(wù)成本 保險(xiǎn) 新契約費(fèi) （1）?????? 銷(xiāo)售費(fèi)用（含廣告費(fèi)及代理人傭金） （2）?????? 風(fēng)險(xiǎn)分類(lèi)（含體檢費(fèi)用） （3）?????? 準(zhǔn)備新保單及會(huì)計(jì) 維持費(fèi) （1）?????? 保費(fèi)收取及會(huì)計(jì) （2）?????? 收益變更及受益選擇權(quán)選擇 （3）?????? 與保單

45、持有者聯(lián)絡(luò) 營(yíng)業(yè)費(fèi)用 （1）?????? 研究 （2）?????? 精算與一般法律服務(wù) （3）?????? 普通會(huì)計(jì) （4）?????? 稅金、許可證等費(fèi)用 支付費(fèi)用 （1）?????? 理賠調(diào)查及辯護(hù)費(fèi) （2）?????? 受益支付費(fèi)用 二、 毛保費(fèi)的確定 1、毛保費(fèi)的定義： 保險(xiǎn)公司實(shí)際收取的保費(fèi)為用于保險(xiǎn)金給付的純保費(fèi)和用于各種經(jīng)營(yíng)費(fèi)用開(kāi)支的附加費(fèi)用之和，即毛保費(fèi)，簡(jiǎn)記為：G 2、毛保費(fèi)厘定原則 基本原則：精算等價(jià)原則 毛保費(fèi)精算現(xiàn)值=純保費(fèi)精算現(xiàn)值+附加費(fèi)用的精算現(xiàn)值 ??? ??????????????=各種給付精算現(xiàn)值+各種費(fèi)用支出精算現(xiàn)值 三、 單

46、位保單費(fèi)用 1、 保單費(fèi)用：在保險(xiǎn)費(fèi)用中，有一部分附加費(fèi)用只與保單數(shù)目有關(guān)，與保險(xiǎn)金額或保險(xiǎn)費(fèi)無(wú)關(guān)，這部分費(fèi)用稱(chēng)為保單費(fèi)用，如準(zhǔn)備新保單、建立會(huì)計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知的費(fèi)用等。 2、? 毛保費(fèi)的分析 （1）毛保費(fèi)可分為三部分： 第一部分：跟保險(xiǎn)金額有關(guān)的費(fèi)用，如承保費(fèi)用等 第二部分：跟保費(fèi)數(shù)額有關(guān)的費(fèi)用。如代理人傭金、保險(xiǎn)費(fèi)稅金等 第三部分：只與保單數(shù)目有關(guān)的費(fèi)用（保單費(fèi)用）。如準(zhǔn)備新保單、建立會(huì)計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知單等。 ? （2）毛保費(fèi)構(gòu)成分析 3、 ? 其中： ：保險(xiǎn)金額為 的保單的毛保費(fèi)。 ??? ：保險(xiǎn)成本中與保險(xiǎn)金額相關(guān)的部分，其中單位保險(xiǎn)的純保

47、費(fèi)是它的主要部分。 ? ：每份保單平攤的費(fèi)用，即單位保單費(fèi)用。 ?：附加費(fèi)用在毛保費(fèi)中所占的百分比。 3、費(fèi)率函數(shù) （1）定義 （2）近似費(fèi)率公式 如果 ，近似總保費(fèi)等于真實(shí)總保費(fèi)。 如果 ，近似總保費(fèi)高于真實(shí)總保費(fèi)。 如果 ，近似總保費(fèi)低于真實(shí)總保費(fèi)。 （2）帶狀費(fèi)率公式 根據(jù)保險(xiǎn)面額不同，分成不同的“bands”（區(qū)間帶） 如果 ，近似總保費(fèi)等于真實(shí)總保費(fèi)。 如果 ，近似總保費(fèi)高于真實(shí)總保費(fèi)。 如果 ，近似總保費(fèi)低于真實(shí)總保費(fèi)。 第六章 責(zé)任準(zhǔn)備金 第一節(jié)??????? 凈責(zé)任準(zhǔn)備金（受益責(zé)任準(zhǔn)備金） 一、責(zé)任準(zhǔn)備金的定義 1、

48、責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生原因 除了保單發(fā)行日以外，以保障期內(nèi)任意某個(gè)時(shí)刻為參照點(diǎn)，未來(lái)收支的現(xiàn)時(shí)值都有可能不平衡。 2、凈責(zé)任準(zhǔn)備金定義： 保險(xiǎn)公司在任一時(shí)刻對(duì)每個(gè)現(xiàn)存被保險(xiǎn)人的未盡責(zé)任現(xiàn)時(shí)值，就稱(chēng)為凈責(zé)任準(zhǔn)備金。也就是在該時(shí)刻每個(gè)現(xiàn)存的被保險(xiǎn)人將來(lái)收益的現(xiàn)時(shí)值，所以也稱(chēng)為受益責(zé)任準(zhǔn)備金。 它的實(shí)質(zhì)是現(xiàn)存被保險(xiǎn)人未來(lái)收益與未來(lái)繳費(fèi)現(xiàn)時(shí)值之差 。 3、責(zé)任準(zhǔn)備金的分類(lèi) （1）按覆蓋責(zé)任分 凈責(zé)任準(zhǔn)備金（受益責(zé)任準(zhǔn)備金）：覆蓋被保險(xiǎn)人將來(lái)的保險(xiǎn)收益 費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金：覆蓋保險(xiǎn)公司將來(lái)的費(fèi)用支出 修正責(zé)任準(zhǔn)備金：對(duì)第一年的費(fèi)用支出作修正，等價(jià)調(diào)節(jié)各年責(zé)任準(zhǔn)備金，以利于保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)均勻溢出。

49、 （2）按被保險(xiǎn)人繳費(fèi)、保險(xiǎn)人賠付的方式分 完全連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡即刻賠付，連續(xù)繳費(fèi)） 完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡年末賠付，生存期初繳費(fèi)） 半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡即刻賠付，生存期初繳費(fèi)） 二、凈責(zé)任準(zhǔn)備金確定原理 以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例 1、前瞻虧損（prospective loss） 其中： 2、凈責(zé)任準(zhǔn)備金的 確定 前瞻虧損的期望即該時(shí)刻的凈責(zé)任準(zhǔn)備金，記作 。 用這種原理確定責(zé)任準(zhǔn)備金的方法稱(chēng)為前瞻方法。 前瞻虧損的方差 三、用前瞻法確定常見(jiàn)險(xiǎn)種的責(zé)任準(zhǔn)備金 1、終身壽險(xiǎn)，終身繳費(fèi) 2、 年定期壽險(xiǎn)， 年繳費(fèi) 3、 年兩全險(xiǎn)， 年

50、繳費(fèi) 4、 次繳費(fèi)終身壽險(xiǎn) 5、 次繳費(fèi) 年定期壽險(xiǎn) 6、 年延期， 年繳費(fèi)的終身生存年金 四、凈責(zé)任準(zhǔn)備金的其它確定公式 1、保費(fèi)差公式 （1）理解：責(zé)任準(zhǔn)備金等于剩余繳費(fèi)期內(nèi)保費(fèi)差的精算現(xiàn)值。 （2）推導(dǎo)：（以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例） 2、繳清保險(xiǎn)公式 （1）理解：責(zé)任準(zhǔn)備金等于部分受益的精算現(xiàn)值。 （2）推導(dǎo)：（以完全連續(xù) 年定期兩全保險(xiǎn)為例） 3、后顧方法 （1）理解：責(zé)任準(zhǔn)備金是已付保費(fèi)積累值與保險(xiǎn)成本積累值（accumulated cost of insurance）之差。 （2）推導(dǎo)： 4、應(yīng)用前瞻公式和后顧公式的原則 （1

51、）在保障時(shí)間超過(guò)繳費(fèi)期的場(chǎng)合，使用前瞻法更為方便 （2）在尚未提供受益的遞延期內(nèi)，使用后顧法更為方便 5、其它公式 五、完全離散場(chǎng)合責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式 1、責(zé)任準(zhǔn)備金的含義： 解釋?zhuān)贺?zé)任準(zhǔn)備金為未來(lái)的保險(xiǎn)責(zé)任的現(xiàn)時(shí)值減去未來(lái)保費(fèi)收入的現(xiàn)時(shí)值。 2、 解釋?zhuān)?第年死亡受益， 為第年初繳付保費(fèi)。則第 年為每個(gè)現(xiàn)存的被保險(xiǎn)人準(zhǔn)備的責(zé)任準(zhǔn)備金 加上每個(gè)現(xiàn)存的被保險(xiǎn)人繳付的保費(fèi) 積累到年末正好可以為每個(gè)在這一年內(nèi)死亡的被保險(xiǎn)人提供 元的死亡賠付，并為在該年末存活的每位被保險(xiǎn)人準(zhǔn)備 元責(zé)任準(zhǔn)備金。 3、 解釋?zhuān)?稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)凈值，是指一旦這一年中有死亡發(fā)生，死亡受益超

52、過(guò)責(zé)任準(zhǔn)備金部分的數(shù)額。 該遞推公式說(shuō)明每一位年初存活的被保險(xiǎn)人所繳保費(fèi)及年初所繳保費(fèi)與年初責(zé)任準(zhǔn)備金所產(chǎn)生的利息之和有兩個(gè)用途：一是彌補(bǔ)年末責(zé)任準(zhǔn)備金與年初責(zé)任準(zhǔn)備金的差值；二是彌補(bǔ)該年死亡發(fā)生時(shí)而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)凈值。 六、半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金的確定 根據(jù)死亡年末給付與死亡即刻給付之間的關(guān)系，根據(jù)半連續(xù)保費(fèi)與完全離散保費(fèi)之間的關(guān)系，半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金都可以轉(zhuǎn)換為完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金的函數(shù)。 以 次繳費(fèi) 年定期壽險(xiǎn)為例 其他險(xiǎn)種場(chǎng)合可以同理推導(dǎo)。 七、一年繳費(fèi)若干次責(zé)任準(zhǔn)備金的確定 一年繳費(fèi)若干次的責(zé)任準(zhǔn)備金可以表示為一年繳費(fèi)一次的完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金加上一個(gè)損失保費(fèi)的額外附加責(zé)任準(zhǔn)備金

53、。 以一年 次繳費(fèi)的完全離散終身壽險(xiǎn)為例 該責(zé)任準(zhǔn)備金推導(dǎo)： 同理，一年 次繳費(fèi)的完全離散 年兩全保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金為 解釋?zhuān)骸皳p失保費(fèi)”部分形成的額外責(zé)任準(zhǔn)備金等于繳費(fèi)期內(nèi)每次繳納??????? 元（終身壽險(xiǎn)為 ）純保費(fèi)的純壽險(xiǎn)完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金 （終身壽險(xiǎn)為 ）的一部分，比例為 。 ? 八、分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的確定 UDD假定下，近似方法： 第二節(jié)??????? 修正責(zé)任準(zhǔn)備金 一、責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生原因 1、費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金 （1）凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金（受益責(zé)任準(zhǔn)備金）覆蓋的責(zé)任：保險(xiǎn)人將來(lái)的凈責(zé)任 （2）費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金覆蓋的責(zé)任：由于保險(xiǎn)

54、業(yè)的特殊性，第一年的費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于以后各年的費(fèi)用，所以分期繳付保費(fèi)場(chǎng)合，保險(xiǎn)人的費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金實(shí)際上一直是負(fù)的。 換言之，在保險(xiǎn)費(fèi)用這一方面是保險(xiǎn)人先墊付了被保險(xiǎn)人的費(fèi)用，被保險(xiǎn)人用將來(lái)的分期付款逐期償還首年欠付費(fèi)用。 2、修正責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因 如果不考慮費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金的因素，始終以?xún)舯ＹM(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為準(zhǔn)計(jì)算保險(xiǎn)公司的債務(wù)，會(huì)使保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)初年的負(fù)擔(dān)很重，而且利潤(rùn)溢出各年變動(dòng)非常大。 為了保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)溢出比較平滑，也同時(shí)兼顧被保險(xiǎn)人的利益，有了修正責(zé)任準(zhǔn)備金的概念。 二、修正責(zé)任準(zhǔn)備金方法 1、修正責(zé)任準(zhǔn)備金原理——階梯保費(fèi)制 原始等額凈保費(fèi)示圖 修正后階梯（凈）保費(fèi)

55、 ? ? ? ? ? ? 沒(méi)有修正前是等額凈保費(fèi)： 。 修正后成為階梯保費(fèi)： 。 。 有 2、常用修正責(zé)任準(zhǔn)備金方法 （1）完全初年修正方法 條件：第一年的修正凈保費(fèi)等于第一年的死亡受益現(xiàn)值： 則有： （2）美國(guó)保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn) 產(chǎn)生背景：FPT適用于低費(fèi)率保單，如果是高費(fèi)率保單，第一年沖銷(xiāo)的費(fèi)用就過(guò)多了。 美國(guó)保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)： 如果是

56、低保費(fèi)保單： 采用FPT調(diào)節(jié) 如果是高保費(fèi)保單： ，則 （3）加拿大修正制 加拿大保險(xiǎn)法允許有更大力度的修正。 條件： ，其中 為第一年費(fèi)用按均衡保費(fèi)衡量的額外補(bǔ)貼，有 其中：a＝150％凈均衡保費(fèi)，b＝新契約費(fèi)，c＝仍然提供的管理費(fèi)用及保單持有人分紅時(shí)在第二年及以后年中可收回費(fèi)用的精算現(xiàn)值。 第七章 多元生命函數(shù) 第一節(jié)? 多元生命函數(shù)簡(jiǎn)介 一、多元生命函數(shù)的定義：涉及多個(gè)生命剩余壽命的函數(shù)。 二、多元生命函數(shù)的作用 養(yǎng)老金給付場(chǎng)合 n????????? 合伙人聯(lián)保場(chǎng)合 n遺產(chǎn)稅的計(jì)算場(chǎng)合 三、多元剩余壽命的聯(lián)合分布 1、? 聯(lián)合密度函數(shù) 2、? 聯(lián)

57、合分布函數(shù) 3、? 聯(lián)合生存函數(shù) 4、? 邊際生存函數(shù) 第二節(jié)? 多元生命狀況 ??? 一、連生狀況 1、? 連生狀況定義 （1）定義：當(dāng)所有成員都活著時(shí)的狀況，稱(chēng)為連生狀況。當(dāng)有一個(gè)成員死亡時(shí)，連生狀況就結(jié)束了。簡(jiǎn)記連生狀況為： （2）連生狀況剩余壽命的定義： （3）連生狀況剩余壽命的性 質(zhì)：連生狀況的剩余壽命的實(shí)質(zhì)上就是 個(gè)生命的最小次序統(tǒng)計(jì)量 2、? 兩個(gè)體連生狀況的生命函數(shù) （1）分布函數(shù) （2）生存函數(shù) 特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合 （3）密度函數(shù) 特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合 （4）死亡效力函數(shù) 特別：兩個(gè)體剩余壽

58、命獨(dú)立場(chǎng)合 （5）兩個(gè)體至少有一個(gè)在第 年內(nèi)死亡的概率 （6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率 （7）剩余壽命的期望 二、最后生存狀況 1、? 最后生存狀況的定義 （1）定義：只要至少有一個(gè)成員活著時(shí)的狀況，稱(chēng)為最后生存狀況。當(dāng)所有的成員都死亡時(shí)，最后生存狀況就結(jié)束了。簡(jiǎn)記最后生存狀況為： （2）最后生存狀況剩余壽命的定義： （3）最后生存狀況剩余壽命的性 質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命的實(shí)質(zhì)上就是 個(gè)生命的最大次序統(tǒng)計(jì)量 2、? 多生命狀況剩余壽命的關(guān)系 （1） （2） （3） （4） 3、兩個(gè)體最后生存狀況的生命函數(shù) （1）分布函數(shù)

59、 等價(jià)公式 （2）生存函數(shù) 等價(jià)公式 （3）密度函數(shù) 等價(jià)公式 （4）死亡效力函數(shù) （5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率 等價(jià)公式 （6）剩余壽命期望 4、聯(lián)合生命狀態(tài)剩余壽命協(xié)方差分析 第三節(jié)??????? 聯(lián)合生命模型 一、 簡(jiǎn)介 聯(lián)合生命模型分為兩類(lèi)：Common Shock 模型和Copulas模型。 Common Shock 模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量相互獨(dú)立的模型。這種模型假定有時(shí)與現(xiàn)實(shí)情況不符，但易于分析。 Copulas模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量不獨(dú)立的模型。這種模型假定更符合實(shí)際情況，

60、但不易于分析。 我們主要研究簡(jiǎn)單的Common Shock 模型。 二、 Common Shock 模型 1、定義：如果有 滿足 且有一個(gè)Common Shock 隨機(jī)變量 ，它獨(dú)立于 ，且服從指數(shù)生存函數(shù) 令 則 2、聯(lián)合生命狀況分析 記 則 （1）邊際生存函數(shù)為 （2）連生狀況剩余壽命生存函數(shù)為 （3）最后生存狀況剩余壽命生存函數(shù)為 特別， 獨(dú)立時(shí)，等價(jià)于 。 第四節(jié)? 人壽保險(xiǎn)與生存年金 一、聯(lián)合生命狀況躉繳純保費(fèi)的確定 1、? 躉繳純保費(fèi)的確定原理 2、? 聯(lián)合多生命狀況躉繳純保費(fèi)的確定 （1）?????? 連生狀

61、況 （2）?????? 最后生存狀況 二、聯(lián)合生命狀況生存年金的確定 1、? 生存年金確定原理 2、? 聯(lián)合生命狀況生存年金的確定 （1）連生狀況 （2）最后生存狀況 三、 連生狀況合最后死亡狀況的關(guān)系 四、 繼承年金 1、? 繼承年金的定義：在聯(lián)合生命狀態(tài)中，只有在其中一個(gè)生命（v）死亡之后，另一個(gè)生命（u）才能開(kāi)始獲得年金。這種年金叫做繼承年金，簡(jiǎn)記為 。 2、? 終身繼承年金 3、? 定期繼承年金 第五節(jié)? 在特殊死亡律假定下求值 一、Gomperz 和Makeham假定 1、? Gomperz假定下 尋找能替代連生狀態(tài)的單個(gè)

62、生命狀態(tài) ，即 已知在Gomperz假定下有 ，則在兩生命獨(dú)立假定下有 由這個(gè)等式可求出 ，于是 2、? Makeham假定下 由于Makeham假定的死亡效力函數(shù)含有常數(shù)項(xiàng)，所以無(wú)法用單個(gè)生命狀態(tài)替換連生狀態(tài)，但是可以考慮用兩個(gè)同年齡的連生狀態(tài) 作替換，即 已知在Makeham假定下有 ，則在兩生命獨(dú)立假定下有 由這個(gè)等式可求出 ，于是 二、均勻分布假定 ??? 在均勻分布假定下，躉繳純保費(fèi)和生存年金具有單生命狀態(tài)下近似的性質(zhì) 第七章 多元生命函數(shù) 第一節(jié)? 多元生命函數(shù)簡(jiǎn)介 一、多元生命函數(shù)的定義：涉及多個(gè)生命剩余壽命的函數(shù)。 二、多元生命函

63、數(shù)的作用 養(yǎng)老金給付場(chǎng)合 n????????? 合伙人聯(lián)保場(chǎng)合 n遺產(chǎn)稅的計(jì)算場(chǎng)合 三、多元剩余壽命的聯(lián)合分布 1、? 聯(lián)合密度函數(shù) 2、? 聯(lián)合分布函數(shù) 3、? 聯(lián)合生存函數(shù) 4、? 邊際生存函數(shù) 第二節(jié)? 多元生命狀況 ??? 一、連生狀況 1、? 連生狀況定義 （1）定義：當(dāng)所有成員都活著時(shí)的狀況，稱(chēng)為連生狀況。當(dāng)有一個(gè)成員死亡時(shí)，連生狀況就結(jié)束了。簡(jiǎn)記連生狀況為： （2）連生狀況剩余壽命的定義： （3）連生狀況剩余壽命的性 質(zhì)：連生狀況的剩余壽命的實(shí)質(zhì)上就是 個(gè)生命的最小次序統(tǒng)計(jì)量 2、? 兩個(gè)體連生狀況的生命函數(shù) （1）分布函數(shù)

64、（2）生存函數(shù) 特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合 （3）密度函數(shù) 特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合 （4）死亡效力函數(shù) 特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合 （5）兩個(gè)體至少有一個(gè)在第 年內(nèi)死亡的概率 （6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率 （7）剩余壽命的期望 二、最后生存狀況 1、? 最后生存狀況的定義 （1）定義：只要至少有一個(gè)成員活著時(shí)的狀況，稱(chēng)為最后生存狀況。當(dāng)所有的成員都死亡時(shí)，最后生存狀況就結(jié)束了。簡(jiǎn)記最后生存狀況為： （2）最后生存狀況剩余壽命的定義： （3）最后生存狀況剩余壽命的性 質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命的實(shí)質(zhì)上就是 個(gè)

65、生命的最大次序統(tǒng)計(jì)量 2、? 多生命狀況剩余壽命的關(guān)系 （1） （2） （3） （4） 3、兩個(gè)體最后生存狀況的生命函數(shù) （1）分布函數(shù) 等價(jià)公式 （2）生存函數(shù) 等價(jià)公式 （3）密度函數(shù) 等價(jià)公式 （4）死亡效力函數(shù) （5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率 等價(jià)公式 （6）剩余壽命期望 4、聯(lián)合生命狀態(tài)剩余壽命協(xié)方差分析 第三節(jié)??????? 聯(lián)合生命模型 一、 簡(jiǎn)介 聯(lián)合生命模型分為兩類(lèi)：Common Shock 模型和Copulas模型。 Common Shock 模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨

66、機(jī)變量相互獨(dú)立的模型。這種模型假定有時(shí)與現(xiàn)實(shí)情況不符，但易于分析。 Copulas模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量不獨(dú)立的模型。這種模型假定更符合實(shí)際情況，但不易于分析。 我們主要研究簡(jiǎn)單的Common Shock 模型。 二、 Common Shock 模型 1、定義：如果有 滿足 且有一個(gè)Common Shock 隨機(jī)變量 ，它獨(dú)立于 ，且服從指數(shù)生存函數(shù) 令 則 2、聯(lián)合生命狀況分析 記 則 （1）邊際生存函數(shù)為 （2）連生狀況剩余壽命生存函數(shù)為 （3）最后生存狀況剩余壽命生存函數(shù)為 特別， 獨(dú)立時(shí)，等價(jià)于 。 第四節(jié)? 人壽保險(xiǎn)與生存年金 一、聯(lián)合生命狀況躉繳純保費(fèi)的確定 1、? 躉繳純保費(fèi)的確定原理 2、? 聯(lián)合多生命狀況躉繳純保費(fèi)的確定 （1）?????? 連生狀況 （2）?????? 最后生存狀況 二、聯(lián)合生命狀況生存年金的確定 1、? 生存年金確定原理 2、? 聯(lián)合生命狀況生存年金的確定 （1）連生狀況 （2）最后生存狀況 三、 連生狀況合最后死亡狀況的關(guān)系