廣東省廣州市越秀區(qū)高三上學(xué)期摸底考試文科數(shù)學(xué)試卷解析版

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1、廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三上學(xué)期摸底考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 一、選擇題 1．已知全集，集合，，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：，，，又，. 考點(diǎn)：集合的補(bǔ)集與并集 2．已知，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：，. 考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算 3．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 （ ） A.

2、 B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋?，? ，故函數(shù)不是偶函數(shù)；函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意；對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，即函數(shù)為奇函數(shù)；對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ，故函數(shù)為偶函數(shù)，答案選. 考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性 4．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 試題分析：若直線與直線平行，則，

3、解得，故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件. 考點(diǎn)：兩直線的位置關(guān)系、充分必要條件 5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是底邊長(zhǎng)為6、腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，且圓錐的底面直徑為，母線長(zhǎng)為，用表示圓錐的底面半徑，表示圓錐的母線長(zhǎng)，則，，故該圓錐的側(cè)面積為. 考點(diǎn)：三視圖、圓錐的側(cè)面積 6．某校高二年級(jí)100名

4、學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：，，，，，則這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為（ ） A.45 B.50 C.55 D.60 【答案】C 【解析】 試題分析：由于在頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為，則有 ，即，故學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘念l率為 ，故這個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為. 考點(diǎn)：頻率分布直方圖 7．在△ABC中，，，則△ABC的面積為（ ） A. B.3

5、 C. D.6 【答案】B 【解析】 試題分析：，，由于，故，，， 即的面積為. 考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、三角形的面積 8．已知，則的最小值是（ ） A.2 B. C.4 D.5 【答案】C 【解析】 試題分析：，，， 當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且時(shí)，上式取等號(hào)，故的最小值為. 考點(diǎn)：基本不等式 9．若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25，則可以是（ ）

6、 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析：對(duì)于選項(xiàng)，函數(shù)的零點(diǎn)為，若函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過，則函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間，由于函數(shù) 單調(diào)遞增，且， ，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，函數(shù)的零點(diǎn)為，則函數(shù) 的零點(diǎn)在區(qū)間，，， ，由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間在，故答案為，由同樣的方法，可知選項(xiàng)、均不正確. 考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)、零點(diǎn)存在定理 10．若過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則的值為 （ ） A.2 B.

7、 C.2或 D.3或 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)過曲線上的點(diǎn)的切線過點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，故曲線上的點(diǎn)的切線方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入此切線方程得，即，解得或，（1）當(dāng)時(shí)，則切線方程為，即切線為軸，此時(shí)曲線與軸相切，則；（2）當(dāng)時(shí)，切線的方程為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，則有 ，解得，將代入得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為代入切線方程得，化簡(jiǎn)得，解得，綜上所述或. 考點(diǎn)：函數(shù)圖象的切線方程 二、填空題 11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 【答案】 【解析】 試題分析：，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為. 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

8、、復(fù)數(shù)的幾何意義 12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是 . 【答案】 【解析】 試題分析：成立，執(zhí)行第一次循環(huán)體，,；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)體，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)體，， ；；成立，執(zhí)行第十次循環(huán)體，，； 不成立，跳出循環(huán)體，輸出的. 考點(diǎn)：算法與程序框圖、等差數(shù)列求和 13．在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率是 . 【答案】 【解析】 試題分析：由于，二次函數(shù)的圖象開口朝上，對(duì)稱軸方程為，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，記事件關(guān)于的二次函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，則事件構(gòu)成的平面區(qū)域如下圖的陰影部分所示，聯(lián)立

9、與，解得，，則事件構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為，總事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)等腰直角三角形，且腰長(zhǎng)為，其面積，故事件“關(guān)于的二次函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)”發(fā)生的概率. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃、幾何概型 14．如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD相交于點(diǎn)P，若，，則的值為 . 【答案】 【解析】 試題分析：如下圖所示，連接，由于圓是的外接圓，且是圓的直徑，故有， 由正弦定理得，而， . 考點(diǎn)：正弦定理、誘導(dǎo)公式 15．已知曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程是

10、. 【答案】 【解析】 試題分析：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），它表示以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為一般方程即，化為極坐標(biāo)方程得 ，即，兩邊約去得. 考點(diǎn)：參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化 三、解答題 16．已知函數(shù)，的最大值是1，最小正周期是，其圖像經(jīng)過點(diǎn)． （1）求的解析式； （2）設(shè)、、為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題中的已知條件確定函數(shù)中各未知量的值進(jìn)而求出函數(shù)的解析式；（2）在求出函數(shù)的解析式之后，利用三角形的內(nèi)角和定理，將的值轉(zhuǎn)化為與的和角的三角函數(shù)求解，具體

11、轉(zhuǎn)化思路為，然后再利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及兩角和的余弦公式進(jìn)行求值. 試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最大值是1，且，所以. 因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，且，所以，解得. 所以.因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以. 因?yàn)?，所?所以. （2）由（1）得，所以，. 因?yàn)椋裕? 因?yàn)闉椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角，所以. 所以 . 考點(diǎn)：三角函數(shù)的基本性質(zhì)、兩角和的余弦函數(shù)、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系 17．為了對(duì)某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所科研單位A、B、C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）： 科研單位 相關(guān)人數(shù) 抽取人數(shù) A 16 B 1

12、2 3 C 8 （1）確定與的值； （2）若從科研單位A、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這2人都自科研單位A的概率. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)列式求與的值；（2）先將科研單位、中抽取的人用不同的符號(hào)進(jìn)行表示，然后利用列舉法將總事件中的基本事件以及問題中所考查事件的基本事件列舉出，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算出即可. 試題解析：（1）依題意得，，解得，. （2）記從科研單位A抽取的4人為，從科研單位C抽取的2人為，則從科研單位A、C抽取的6人中選2人作專題發(fā)言的基本事件有： 共15種. 記“選中的2人都自科研

13、單位A”為事件，則事件包含的基本事件有： 共6種. 則.所以選中的2人都自科研單位A的概率為. 考點(diǎn)：分層抽樣、古典概型 18．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，.將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）求三棱錐的體積. 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）. 【解析】 試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應(yīng)的底邊證明，然后結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先利用翻折時(shí)與的相對(duì)位置不變證明，然后利用勾股定理證明，并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理先證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平

14、面平面；（3）利用（2）中的結(jié)論平面，利用等體積法將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為以點(diǎn)為頂點(diǎn)，所在平面為底面的三棱錐的體積計(jì)算，則三棱錐的高為，的面積為底面積，然后利用錐體的體積公式即可計(jì)算三棱錐的體積，在計(jì)算的面積時(shí)，首先應(yīng)確定的形狀，然后選擇合適的公式計(jì)算計(jì)算的面積. 試題解析：（1）因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以. 因?yàn)槠矫鍭BD，平面ABD，所以平面. （2）因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，，所以在三棱錐中，. 在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)， 所以.因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以. 因?yàn)?，所以，? 因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，，所以

15、平面ABC. 因?yàn)槠矫鍰OM，所以平面平面. （3）由（2）得，平面BOM，所以是三棱錐的高. 因?yàn)?，? 所以. 考點(diǎn)：直線與平面平行、平面與平面平行、等體積法 19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且的最大值為4. （1）確定常數(shù)k的值，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； （2）令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Tn與的大小. 【答案】（1），；（2）詳見解析. 【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及的最大值為這些條件確定的值，再根據(jù)與之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)其通項(xiàng)結(jié)構(gòu)選擇錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，并根據(jù)的表達(dá)式確

16、定與的大小. 試題解析：（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值. 依題意得，又，所以.從而. 當(dāng)時(shí)，. 又也適合上式，所以. （2）由（1）得，所以. 所以①， ②. 由①－②得，， 所以. 因?yàn)椋? 考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)、錯(cuò)位相減法 20．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線的漸近線與圓相切. （1）求雙曲線的方程； （2）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線的右支上的任意一點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由. 【答案】（1）；（2）外切. 【解析】 試題分析：（1）利用“點(diǎn)在雙曲線上”以及“雙曲線的漸近線與圓”這兩個(gè)條件列兩個(gè)方程，求解與，進(jìn)而確定

17、雙曲線的方程；（2）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法，考查兩圓連心線的長(zhǎng)度與兩圓半徑之間的相互關(guān)系，同時(shí)注意將點(diǎn)與左焦點(diǎn)連接起，注意到兩圓圓心分別為與的中點(diǎn)，利用中位線以及雙曲線的定義確定兩圓半徑與連心線長(zhǎng)度之間的關(guān)系，進(jìn)而確定兩圓的位置關(guān)系. 試題解析：（1）因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以①. 因?yàn)殡p曲線的的漸近線與圓相切， 所以圓心到直線的距離等于2， 即，整理得②. 聯(lián)立①與②，解得所以雙曲線的方程為． （2）由（1）得，，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為. 設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上， 所以，即， 所以. 因?yàn)橐噪p曲線的實(shí)軸為直徑的圓的圓心為，半徑為； 以為直徑的圓的圓

18、心為，半徑為， 所以兩圓圓心之間的距離為. 因?yàn)椋? 所以以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓外切. 考點(diǎn)：雙曲線、點(diǎn)到直線的距離、兩圓的位置關(guān)系 21．已知函數(shù). （1）試問的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由； （2）定義，其中，求； （3）在（2）的條件下，令.若不等式對(duì)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)直接代入計(jì)算的值；（2）利用（1）中條件的條件，并注意到定義中第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和這一條件，并利用倒序相加法即可求出的表達(dá)式，進(jìn)而可以求出的值；（3）先利用和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后在不等式中將與含的代數(shù)式進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化為恒成立的問題進(jìn)行處理，最終利用導(dǎo)數(shù)或作差（商）法，通過利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最小值，最終求出實(shí)數(shù)的取值范圍. 試題解析：（1）的值為定值2. 證明如下： . （2）由（1）得. 令，則. 因?yàn)棰伲? 所以②， 由①+②得，所以. 所以. （3）由（2）得，所以. 因?yàn)楫?dāng)且時(shí)， . 所以當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立. 設(shè)，則. 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增. 因?yàn)?，所以? 所以當(dāng)且時(shí)，. 由，得，解得. 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 考點(diǎn)：函數(shù)、倒序相加法、導(dǎo)數(shù)