中考數(shù)學(xué)考前100天復(fù)習(xí)方案設(shè)計(jì)問題.docx

中考數(shù)學(xué)考前100天復(fù)習(xí)方案設(shè)計(jì)問題 題型之一 利用方程、不等式進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 例1 (2014益陽)某電器超市銷售每臺進(jìn)價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電風(fēng)扇，下表是近兩周的銷售情況： 銷售時段 銷售數(shù)量 銷售收入 A種型號 B種型號 第一周 3臺 5臺 1 800元 第二周 4臺 10臺 3 100元 (進(jìn)價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進(jìn)貨成本) (1)求A、B兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價； (2)若超市準(zhǔn)備用不多于5 400元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共30臺，求A種型號的電風(fēng)扇最多能采購多少臺？ (3)在(2)的條件下，超市銷售完這30臺電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤為1 400元的目標(biāo)，若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由. 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)“3臺A型+5臺B型”的銷售收入=1 800以及“4臺A型+10臺B型”的銷售收入=3 100，列方程組得各自售價； (2)設(shè)購進(jìn)A型a臺，則B型(30-a)臺，利用金額不超過5 400建立不等式求解； (3)根據(jù)(2)中30臺得利潤為為1 400，建立方程，求解. 【解答】(1)設(shè)A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價分別為x元、y元.依題意，得 解得 答：A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價分別為250元、210元. (2)設(shè)采購A種型號電風(fēng)扇a臺，則采購B種型號電風(fēng)扇(30-a)臺.依題意，得 200a+170(30-a)≤5 400,解得a≤10. 答：超市最多采購A種型號電風(fēng)扇10臺時，采購金額不多于5 400元. (3)依題意有： (250-200)a+(210-170)(30-a)=1 400,解得a=20, 此時，a>10. 即在(2)的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤1 400元的目標(biāo). 方法歸納：列方程(組)或不等式組設(shè)計(jì)方案問題的關(guān)鍵是找到題目中的等量關(guān)系或者不等關(guān)系，然后根據(jù)結(jié)果設(shè)計(jì)方案. 針對訓(xùn)練 1.(2013自貢)某校住校生宿舍有大小兩種寢室若干間，據(jù)統(tǒng)計(jì)該校高一年級男生740人，使用了55間大寢室和50間小寢室，正好住滿；女生730人，使用了大寢室50間和小寢室55間，也正好住滿. (1)求該校的大小寢室每間各住多少人？ (2)預(yù)測該校今年招收的高一新生中有不少于630名女生將入住寢室80間，問該校有多少種安排住宿的方案? 2.已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸.某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物. 根據(jù)以上信息，解答下列問題： （1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？ （2）請你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案； （3）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次.請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi). 3.(2014衡陽)某班組織班團(tuán)活動，班委會準(zhǔn)備用15元錢全部用來購買筆記本和中性筆兩種獎品.已知筆記本2元/本，中性筆1元/支，且每種獎品至少買一件. (1)若設(shè)購買筆記本x本，中性筆y支，寫出y與x之間的關(guān)系式； (2)有多少種購買方案？請列舉所有可能的結(jié)果； (3)從上述方案中任選一種方案購買，求買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的概率. 題型之二 利用函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 例2 (2013桂林)在“美麗廣西，清潔鄉(xiāng)村”活動中，李家村村長提出兩種購買垃圾桶方案：方案1：買分類垃圾桶，需要費(fèi)用3 000元，以后每月的垃圾處理費(fèi)用250元；方案2：買不分類垃圾桶，需要費(fèi)用1 000元，以后每月的垃圾處理費(fèi)用500元；設(shè)方案1的購買費(fèi)和每月垃圾處理費(fèi)共為y1元，設(shè)方案2的購買費(fèi)和每月垃圾處理費(fèi)共為y2元，交費(fèi)時間為x個月. (1)直接寫出y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)y1、y2的圖象； (3)在垃圾桶使用壽命相同的情況下，哪種方案省錢？ 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意可直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)分別過兩點(diǎn)畫圖象； (3)根據(jù)圖象得到方案. 【解答】(1)y1=250x+3 000，y2=500x+1 000. (2)如圖： (3)由(2)得當(dāng)x＞8時，方案1省錢； 當(dāng)x=8時，兩種方案一樣； 當(dāng)x＜8時，方案2省錢. 方法歸納：運(yùn)用一次函數(shù)判斷何種方式更合算，通常用分類討論的方法列出方程和不等式，求自變量取值范圍，但如果題目中有畫好的函數(shù)圖象，也可以直接觀察圖象解決. 針對訓(xùn)練 1.我市某醫(yī)藥公司把一批藥品運(yùn)往外地，現(xiàn)有兩種運(yùn)輸方式可供選擇： 方式一：使用快遞公司的郵車運(yùn)輸，裝卸收費(fèi)400元，另外每公里再加收4元； 方式二：使用快遞公司的火車運(yùn)輸，裝卸收費(fèi)820元，另外每公里再加收2元. (1)請分別寫出郵車、火車運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用y1，y2(元)與運(yùn)輸路程x(公里)之間的函數(shù)關(guān)系； (2)你認(rèn)為選用哪種運(yùn)輸方式較好，為什么？ 2.(2014涼山)我州某校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共1 000株用以綠化校園.甲種樹苗每株25元，乙種樹苗每株30元，通過調(diào)查了解，甲、乙兩種樹苗的成活率分別是90%和95%. (1)若購買這兩種樹苗共用去28 000元，則甲、乙兩種樹苗各購買多少株？ (2)要使這批樹苗的成活率不低于92%，則甲種樹苗最多購買多少株？ (3)在(2)的條件下，應(yīng)如何選購樹苗，使購買樹苗的費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用. 3.某教育行政部門計(jì)劃今年暑假組織部分教師到外地進(jìn)行學(xué)習(xí)，預(yù)訂賓館住宿時，有住宿條件一樣的甲、乙兩家賓館供選擇，其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)均為每人每天120元，并且各自推出不同的優(yōu)惠方案：甲家是35人(含35人)以內(nèi)的按標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超過35人的，超出部分按九折收費(fèi)；乙家是45人(含45人)以內(nèi)的按標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超過45人的，超出部分按八折收費(fèi).如果你是這個部門的負(fù)責(zé)人，你應(yīng)選哪家賓館更實(shí)惠些？ 4.(2014麗水)為了保護(hù)環(huán)境，某開發(fā)區(qū)綜合治理指揮部決定購買A，B兩種型號的污水處理設(shè)備共10臺.已知用90萬元購買A型號的污水處理設(shè)備的臺數(shù)與用75萬元購買B型號的污水處理設(shè)備的臺數(shù)相同，每臺設(shè)備價格及月處理污水量如下表所示： 污水處理設(shè)備 A型 B型 價格(萬元/臺) m m-3 月處理污水量(噸/臺) 220 180 （1）求m的值； （2）由于受資金限制，指揮部用于購買污水處理設(shè)備的資金不超過165萬元，問有多少種購買方案？并求出每月最多處理污水量的噸數(shù). 題型之三 圖形問題中的方案設(shè)計(jì) 例3 (2014濟(jì)寧)在數(shù)學(xué)活動課上，王老師發(fā)給每位同學(xué)一張半徑為6個單位長度的圓形紙板，要求同學(xué)們：(1)從帶刻度的三角板、量角器和圓規(guī)三種作圖工具中任意選取作圖工具，把圓形紙板分成面積相等的四部分；(2)設(shè)計(jì)的整個圖案是某種對稱圖形.王老師給出了方案一，請你用所學(xué)的知識再設(shè)計(jì)兩種方案，并完成下面的設(shè)計(jì)報(bào)告. 名稱 四等分圓的面積 方案 方案一 方案二 方案三 選用的工具 帶刻度的三角板 畫出示意圖 簡述設(shè)計(jì)方案 作⊙O兩條互相垂直的直徑AB、CD，將⊙O的面積分成相等的四份. 指出對稱性 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 【思路點(diǎn)撥】方案二：由題意得分割成的一部分面積為9π，故在圓心O處以3個單位長度為半徑作圓，然后將圓環(huán)三等分即可；方案三：作出圓的直徑AB，分別畫兩個半徑為3個單位長度的小圓即可. 【解答】 名稱 四等分圓的面積 方案 方案一 方案二 方案三 選用的工具 帶刻度的三角板 帶刻度三角板、量角器、圓規(guī). 帶刻度三角板、圓規(guī). 畫出示意圖 簡述設(shè)計(jì)方案 作⊙O兩條互相垂直的直徑AB、CD，將⊙O的面積分成相等的四份. （1）以點(diǎn)O為圓心，以3個單位長度為半徑作圓；（2）在大⊙O上依次取三等分點(diǎn)A、B、C；(3)連接OA、OB、OC.則小圓O與三等分圓環(huán)把⊙O的面積四等分. (1)作⊙O的一條直徑AB;(2)分別以O(shè)A、OB的中點(diǎn)為圓心，以3個單位長度為半徑作⊙O1、⊙O2；(3)則⊙O1、⊙O2和⊙O中剩余的兩部分把⊙O的面積四等分. 指出對稱性 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 軸對稱圖形 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形. 方法歸納：圖形方案設(shè)計(jì)問題通常先給出一個圖形(可能是規(guī)則的也可能是不規(guī)則的)，然后讓你用直線或弧線將圖形分成形狀或面積相等的幾部分.解決這類問題可借助對稱的性質(zhì)、角度的大小、面積公式等進(jìn)行分割. 針對訓(xùn)練 1.某市要在一塊平行四邊形ABCD的空地上建造一個四邊形花園，要求花園所占面積是□ABCD面積的一半，并且四邊形花園的四個頂點(diǎn)作為出入口，要求四點(diǎn)頂點(diǎn)分別在□ABCD的四條邊上，請你設(shè)計(jì)兩種方案： 方案(1)：如圖1所示，兩個出入口E，F(xiàn)已確定，請?jiān)趫D1上畫出符合要求的四邊形花園，并簡要說明畫法； 方案(2)：如圖2所示，一個出入口M已確定，請?jiān)趫D2上畫出符合要求的梯形花園，并簡要說明畫法. 2.(2014拱墅模擬)請用直尺和圓規(guī)在所給的兩個矩形中各作一個不為正方形的菱形，且菱形的四個頂點(diǎn)都在矩形的邊上，面積相同的圖形視為同一種.(保留作圖痕跡). 題型之四 測量問題中的方案設(shè)計(jì) 例4 如圖，EF是一條筆直的河岸，A村與B村相距4千米，A，B兩村到河岸EF的距離分別是5千米，3千米，現(xiàn)要在河岸EF上選一地址C建一個自來水廠，并鋪設(shè)水管把水引至A，B兩村. 問：如圖1，圖2，圖3所示的三條鋪設(shè)水管的路徑(圖中實(shí)線部分)哪條最短？并說明理由. 【思路點(diǎn)撥】圖1，圖2中鋪設(shè)水管路徑長都可以一眼看出，在圖3中由對稱性可得：BC=B′C，AB′=BC+AC，以AB′為斜邊構(gòu)造一個直角三角形(要求直角邊平行EF或垂直EF)，若再能求出A，B兩村的垂直距離，問題就不難解決了. 【解答】圖1：4+5=9（千米）； 圖2：3+4=7（千米）； 圖3：BC=B′C，過B′作B′M∥EF，過A作AN∥BB′交B′M于D，則構(gòu)成Rt△ADB′.B′D=2， ∴AB′=. ∵7＜＜9，∴圖2的路徑最短. 方法歸納：這是一道判斷方案題，題中給出了三種不同方案，由同學(xué)們根據(jù)所學(xué)圖形與空間的知識按題中要求選擇方案. 針對訓(xùn)練 1.某高速鐵路即將動工，工程需要測量長江某一段的寬度.如圖1，一測量員在江岸邊的A處測得對岸岸邊的一根標(biāo)桿B在它的正北方向，測量員從A點(diǎn)開始沿岸邊向正東方向前進(jìn)100米到達(dá)點(diǎn)C處，測得∠ACB=68. (1)求所測之處江的寬度(sin 68≈0.93,cos 68≈0.37,tan 68≈2.48)； (2)除(1)的測量方案外，請你再設(shè)計(jì)一種測量江寬的方案，并在圖2中畫出圖形. 2.恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷(A)和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山(B)位于筆直的滬渝高速公路x同側(cè)，AB=50 km，A、B到直線x的距離分別為10 km和40 km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小明設(shè)計(jì)了兩種方案，圖1是方案一的示意圖(AP與直線x垂直，垂足為P)，P到A、B的距離之和s1=PA+PB，圖2是方案二的示意圖(點(diǎn)A關(guān)于直線x的對稱點(diǎn)是A′，連接BA′交直線x于點(diǎn)P)，P到A、B的距離之和s2=PA+PB. (1)求s1、s2，并比較它們的大??； (2)請你說明s2=PA+PB的值為最小； (3)恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，B到直線y的距離為30 km，請你在x旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值. 參考答案 題型之一 利用方程、不等式進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 1.(1)設(shè)該校大寢室每間住x人，小寢室每間住y人，則 解得 答：該校大寢室每間住8人，小寢室每間住6人. (2)設(shè)應(yīng)安排小寢室z間，則有 6z+8(80-z)≥630，解得z≤5. ∵z為自然數(shù)，∴z=0,1,2,3,4,5. 答：共有6種安排住宿方案. 2.（1）設(shè)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨x噸、y噸，根據(jù)題意，得 解得 答：1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨3噸、4噸. （2）根據(jù)題意可得3a+4b=31. 因?yàn)樽廛嚁?shù)a，b都是自然數(shù)，使a，b都為整數(shù)的情況共有a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1三種情況. 故租車方案分別為： ①A型車1輛，B型車7輛； ②A型車5輛，B型車4輛； ③A型車9輛，B型車1輛. （3）方案①花費(fèi)為1001+1207=940(元)； 方案②花費(fèi)為1005+1204=980(元)； 方案③花費(fèi)為1009+1201=1 020(元). 故方案①最省錢，即租用A型車1輛，B型車7輛. 3.(1)y=15-2x； (2)設(shè)筆記本和中性筆兩種獎品各a，b件， 則a≥1，b≥1，2a+b=15. 當(dāng)a=1時，b=13；當(dāng)a=2時，b=11；當(dāng)a=3時，b=9；當(dāng)a=4時，b=7；當(dāng)a=5時，b=5；當(dāng)a=6時，b=3；當(dāng)a=7時，b=1.故有7種購買方案； (3)買到的筆記本和中性筆數(shù)量相等的購買方案有1種，共有7種購買方案. ∵17=，∴買到的筆記本和中性筆數(shù)量相等的概率為. 題型之二 利用函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 1.(1)由題意得，y1=4x+400，y2=2x+820. (2)當(dāng)y1=y2時，4x+400=2x+820.解得x=210. ∴當(dāng)運(yùn)輸路程小于210 km時，y1＜y2，選擇郵車運(yùn)輸較好； 當(dāng)運(yùn)輸路程等于210 km時，y1=y2，選擇兩種方式一樣； 當(dāng)運(yùn)輸路程大于210 km時，y1＞y2，選擇火車運(yùn)輸較好. 2.(1)設(shè)購甲種樹苗x株，乙種樹苗y株，則 解得 答：購甲種樹苗400株，乙種樹苗600株. (2)設(shè)購買甲種樹苗z株，則乙種樹苗(1 000-z)株，列不等式： 90%z+95%(1 000-z)≥92%1 000，解得z≤600. 答：甲種樹苗至多購買600株. (3)設(shè)購買樹苗的總費(fèi)用為w元，則 w=25z+30(1 000-z)=-5z+30 000. ∵-5＜0，∴w隨z的增大而減小. ∵0＜z≤600，∴當(dāng)z=600時，w最小值為30 000-5600=27 000(元). 答：當(dāng)購甲種樹苗600株，乙種樹苗400株時，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是27 000元. 3.設(shè)有x(x>0)名教師到外地進(jìn)行學(xué)習(xí)，甲賓館費(fèi)用為y甲，乙賓館費(fèi)用為y乙，當(dāng)x>45時，由題意，得 y甲=12035+(x-35)12090%=108x+420； y乙=12045+(x-45)12080%=96x+1 080. 分三種情況： ①當(dāng)y甲>y乙時，108x+420＞96x+1 080.解得x>55； ②當(dāng)y甲=y乙時，108x+420=96x+1 080.解得x=55； ③當(dāng)y甲＜y乙時，108x+420＜96x+1 080.解得45<x<55. 當(dāng)x≤45時，又分兩種情況： ①當(dāng)0＜x≤35時，y甲=y乙=120x; ②當(dāng)35<x≤45時，y甲=108x+420,y乙=120x. 此時y甲<y乙. 綜上所述當(dāng)人數(shù)大于55人時選乙賓館，當(dāng)人數(shù)大于0小于等于35人或等于55人時甲乙賓館均可，當(dāng)人數(shù)大于35人小于55人時選甲賓館. 4.(1)根據(jù)題意，得 =，解得m=18. 經(jīng)檢驗(yàn)，m=18是所列方程的解，且符合題意. 答：m的值為18. (2)由(1)可知，A型號的污水處理設(shè)備每臺18萬元，B型號的污水處理設(shè)備每臺15萬元. 設(shè)購買A型號的污水處理設(shè)備x臺，則 18x+15(10-x)≤165，解得x≤5. 又∵0＜x＜10，且x為整數(shù)，∴x可取0,1,2,3,4,5，即共有6種購買方案. 設(shè)某種方案每月能處理的污水量為w噸，則 w=220x+180(10-x)=40x+1 800. ∵w隨x的增大而增大， ∴當(dāng)x=5時，w有最大值，其最大值為2 000. 即購買A型號、B型號的污水處理設(shè)備分別為5臺、5臺時，月處理的污水量最多，為2 000噸. 題型之三 圖形問題中的方案設(shè)計(jì) 1.方案(1)： 畫法1（如圖甲)：①過F作FH∥AB交AD于點(diǎn)H. ②在DC上任取一點(diǎn)G，連接EF,FG,GH,HE，則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形. 畫法2（如圖乙)：①過F作FH∥AB交AD于點(diǎn)H. ②過E作EG∥AD交DC于點(diǎn)G，連接EF、FG、GH、HE，則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形. 畫法3（如圖丙)：①在AD上取一點(diǎn)H，使DH=CF. ②在CD上任取一點(diǎn)G，連接EF,FG,GH,HE，則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形. 方案(2)： 畫法（如圖2)：①過M點(diǎn)作MP∥AB交AD于點(diǎn)P. ②在CD上取一點(diǎn)N，連接MN. ③過點(diǎn)P作PQ∥MN交AB于點(diǎn)Q,連接QM，PN.則四邊形QMNP就是所要畫的四邊形. 2.所作菱形如圖1，圖2所示.說明：作法相同的圖形視為同一種.例如：類似圖3，4的圖形視為與圖2是同一種. 題型之四 測量問題中的方案設(shè)計(jì) 1.(1)在Rt△BAC中，∠ACB=68，AC=100米， ∴AB=ACtan 68≈1002.48=248(米). 答：所測之處江的寬度約為248米. (2)可以利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知識來解決問題的，只要正確即可. 如：方案2，如圖2，測量員從A點(diǎn)開始沿岸邊向正東方向前進(jìn)到E處，再從E點(diǎn)開始向點(diǎn)E的正南方向上插上標(biāo)桿F，并在線段AE的中點(diǎn)C處插上標(biāo)桿C，當(dāng)標(biāo)桿B，C，F(xiàn)在同一直線上時，直接測出EF的長也就是江的寬度. 2.(1)圖1中過B作BC⊥x于C，過A作AD⊥BC于D，則BC=40. 又∵AP=10，∴BD=BC-CD=40-10=30. 由勾股定理可得AD=40. 在Rt△PBC中，BP==40. s1=(40+10)km. 圖2中，過B作BC⊥AA′，垂足為C，AA′與直線x交于點(diǎn)N，則A′C=NC+NA′=NC+AN=50， 又AC=CN-AN=40-10=30,AB=50, 則在Rt△BCA中，BC=40， ∴BA′==10， 由軸對稱知：PA=PA′， ∴s2=PA+PB=PA′+PB=BA′=10 km. ∴s1＞s2. (2)如圖2，在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA，MB，MA′，由軸對稱知MA=MA′， ∴MB+MA=MB+MA′＞A′B， ∴s2=BA′=PA+PA為最小. (3)如圖3過A作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，過B作關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)Q，則P，Q即為所求. 過A′、B′分別作x軸、y軸的平行線交于點(diǎn)G， B′G=40+10=50，A′G=30+30+40=100，A′B′==50， ∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50， ∴所求四邊形的周長為（50+50）km.