點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué) 主講人吳洪博PPT課件

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1、第一章 集合論初步 v1.2 關(guān)系,等價(jià)關(guān)系v1.1 集 合v1.3 映 射v1.4 集族及其運(yùn)算 v1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集v1.6 基 數(shù)第1頁/共99頁1.1 集 合 重點(diǎn):熟悉有關(guān)集合的等式和性質(zhì) 難點(diǎn):有關(guān)集合的有限笛卡爾積的等式和性質(zhì)第2頁/共99頁 集合一詞，我們在高中階段已經(jīng)接觸過，在那里，集合是指具有某種屬性的對象的全體.在這里，我們?nèi)圆捎脤系倪@種直觀的描述性定義，以后我們還將經(jīng)常遇到像這樣直觀的描述性定義或一些直觀的結(jié)論.雖然這樣做邏輯性差一些，不及公理集合論的嚴(yán)密性，但這樣做卻是我們易于理解和接受的，不致使讀者陷入邏輯困惑之中，從而盡快地進(jìn)入拓樸學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)程序.第3

2、頁/共99頁BA 定義1.1.1 對于兩個(gè)集合A,B,如果A的每個(gè)元素都是集合B的元素,我們稱A包含于B,或B包含A,或A是B的子集,記作 .BA ByBA 如果 ，而且存在使得 ，稱A是B的真子集，記作 .BA 如果AB ，同時(shí)記作A=B.，稱集合A與集合B相等，第4頁/共99頁不含任何元素的集合稱為空集，用符號 表示.規(guī)定空集是任意集合的子集.含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，不是有限集的集合叫做無限集.第5頁/共99頁BA定義定義1.1.2 給定集合A,B,由A與B的全部元素構(gòu)成的集合叫做A與B的并集,記作 .,|BxAxxBA或用描述法表示是: .BA定義定義1.1.3 給定集合A,B,

3、由A和B的公共元素構(gòu)成的集合叫做A與B的交集,記作 .xB用描述法表示就是:,|AxxBA 而且 .第6頁/共99頁BA定義定義1.1.4 給定集合A,B，把由屬于A而不屬于B的元素構(gòu)成的集合叫做A與B的差集,記作 .,|BxAxxBA用描述法表示是 .而此時(shí)可稱B為全集，全集在一個(gè)問題中是事先指定的或者是不言自明的.AABBA 如果 , 稱 為A在B中的補(bǔ)集，記作 .第7頁/共99頁對于集合之間的運(yùn)算，有時(shí)用圖象表示更直觀一些.在下面的圖中，我們用兩個(gè)圓分別表示集合A,B，而用陰影部分表示兩個(gè)集合運(yùn)算的結(jié)果.圖1.1.1第8頁/共99頁)()()()(ABBABABBABA觀察圖我們不難得出

4、下面的等式:BA這樣做的好處在于將并集 轉(zhuǎn)化成互不相交的集合并集.該集合等式也可以用定義證明.第9頁/共99頁集合中的運(yùn)算律 設(shè)X是全集，A，B，C是X的子集，則以下運(yùn)算律成立：(1)交換律 ABBAABBA,(2)結(jié)合律 )()(),()(CBACBACBACBA(3)零元,單位元 AXAAA,(4)吸收律 ABAAABAA)(,)(第10頁/共99頁),()()(CABACBA)()()(CABACBA(5)分配律 (6)冪等律 AAAAAA,(7)對合律 AA (8)對偶律 BABABABA)(,)(9)互補(bǔ)律 AAXAA,第11頁/共99頁以上運(yùn)算定律由定義或作圖不難驗(yàn)證,我們僅以對偶

5、律的驗(yàn)證為例,其余讀者自己完成.圖1.1.2第12頁/共99頁.BABA)(AB)(BA圖(a)中陰影部分表示 ,圖(b)中右斜線表示，左斜線表示 . 由圖1.1.2可得： .,| ),(YyXxyxYX( , )x yYX,YyXx,YX 定義定義1.1.5 對給定的非空集合 我們把由二元有序?qū)?(其中 ) 構(gòu)成的集合叫做X與Y的笛卡 用描述法表示是:爾積，記作 第13頁/共99頁XX 2X其中x是第一個(gè)坐標(biāo),y是第二個(gè)坐標(biāo),X稱為第一個(gè)坐標(biāo)集,Y稱為第二個(gè)坐標(biāo)集.特別地，記 為 稱為X的二重笛卡爾積.( , ),( ,)x yx yR對于有序?qū)暗芽柗e，讀者并不陌生，我們學(xué)過的笛卡爾直角

6、坐標(biāo)系中的點(diǎn)就是有序數(shù)對 ,因而整個(gè)直角坐標(biāo)系平面就是集合R的二重笛卡爾積R 2 (R表示實(shí)數(shù)集合).第14頁/共99頁雖然對于任意給定集合,它們的元素不必有序,但我們可以把集合的元素串在一起,這樣就可用線段或直線表示集合.進(jìn)而將集合的笛卡爾積就可用“平面圖形”直觀的表現(xiàn)出來.)()()()(DCBDBACADCBA)()(DCBDBADBCA YDCXBA,例例1.1.1 設(shè) 由下面的圖1.1.3很容易得第15頁/共99頁（A-B）（C-D）圖該集合等式也可用定義證明,其過程讀者自己做為練習(xí)完成.第16頁/共99頁習(xí)題 1.1 1. 試判斷下列關(guān)系式的正確與錯(cuò)誤 ;AA ;AA ; ; ;

7、(); 的元素. nAAA,212n121AAAAnnAAA212. 設(shè)都是集合，其中,證明：如果, 則 12 ,nXx xxn3. 設(shè)，即X有 個(gè)互不相同的元素，X的冪集P (X)有多少個(gè)互不相同4. 設(shè),dcbaX ， 用列舉法給出P (X).BAAAB BBAAB 5. 設(shè)A，B是集合，證明 的充要條件是 ,， 的充要條件是.且 第17頁/共99頁BA AABB)(6. 設(shè)A，B都是集合,證明:若，則.；,ACBABA)()(BAABBABA7. 設(shè)某一個(gè)全集已經(jīng)給定，證明 XBABA,BA AB 若，并且 ，則 )()()(21212211BBAABABA8. 設(shè)A，B，C，D是全集X

8、的子集,試判斷下列命題的正確性.若正確，給出證明，若不正確，給出反例.BBAA)(BAABA)()()()(CABACBA)()()(CABACBA ()(),()()ABABA ABAB DB DCBA 若， 則DCBA,AC BD 若 ，則)()()()(DBCADCBA)()()()(DBCADCBADBCADCBA)()( 第18頁/共99頁，AxxE( |9. 設(shè)A，B，C表示集合，試用A，B，C及集合運(yùn)算符號表示下面集合.AxxD|)(CxBx或而且)CxBx或而且，AxxF|)(CxBx而且， 第19頁/共99頁1.2 關(guān)系,等價(jià)關(guān)系 重點(diǎn)：熟悉關(guān)系像，逆關(guān)系，復(fù)合關(guān)系和 等價(jià)關(guān)

9、系的性質(zhì) 難點(diǎn)：對命題演算知識的欠缺將影響性質(zhì) 證明的嚴(yán)謹(jǐn)性第20頁/共99頁YX YXR定義定義1.2.1 設(shè)X,Y是兩個(gè)集合,如果,即R是X的一個(gè)子集,則稱R是從X到Y(jié)的與Y的笛卡爾積 一個(gè)關(guān)系. YXR定義定義 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,即Ryx),(.(1)如果,則稱x與y是R相關(guān)的,并且記作xRy;XA ,則稱Y的子集(2)如果 ( )|R AyBAxxRy存在使得A的象集,或者稱為集合A的R象,R(X)稱為關(guān)系R的值域; 為集合A相對于關(guān)系R而言的象集,或者簡單地稱為集合第21頁/共99頁YB (3)如果,則稱X的子集:1( )|RBxXBy存在使得xRy為集合B相對于R)

10、(1YR稱為關(guān)系R的定義域.的原象集,或者簡單地稱為集合B的原象,或者稱為集合B的R原象,YX 關(guān)系，一個(gè)是自身，一個(gè)是進(jìn)行簡單地考查. 關(guān)系是一個(gè)外延十分廣泛的概念.讀者很快便會(huì)看到在數(shù)學(xué)學(xué)科中學(xué)過的映射，等價(jià),運(yùn)算，序等概念都是關(guān) 系的特例，這里有兩個(gè)特別簡單的從集合X到集合Y的，請讀者自己對它第22頁/共99頁1( , )|,Ry xYXxRy xX yYYXRXY 定義定義1.2.3 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,即,這時(shí)笛卡爾積的子集: 是從集合Y到集合X的一個(gè)關(guān)系，我們稱它為關(guān)系R的 逆，因此 當(dāng)且僅當(dāng) .1yR xxRy 顯然，若YB ，集合B相對于關(guān)系R-1的象集就是集合B

11、相對于關(guān)系R的原象集.特別地關(guān)系R-1的值域就是關(guān)關(guān)系R的定義域.第23頁/共99頁集合,.RXYSYZ 定義定義1.2.4 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,S是從集合Y到集合Z的一個(gè)關(guān)系,即| ),(zxYy,xRy ySz存在使得ZX 是笛卡爾積. RzxS Yy,.xRy ySz當(dāng)且僅當(dāng)存在使得因此 RS 1()( ).R XSZ 顯然，當(dāng)且僅當(dāng).S R系R與關(guān)系S的復(fù)合,記作X的一個(gè)子集,即從到 的一個(gè)關(guān)系,Z稱此關(guān)系為關(guān)第24頁/共99頁定理1.2.1 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,S是從集合Y到集合Z的一個(gè)關(guān)系,T是從集合Z到集合U的 一個(gè)關(guān)系,則(1)RR11)( (2)1

12、11)(SRRS(3)RSTRST)()( 第25頁/共99頁 證明：(1)11)(),( RyxyRx11)(當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng)xyR1xRy( , ).x yR11().RR,而這當(dāng)且僅當(dāng),這又當(dāng)且僅當(dāng)于是我們證明了. (2)和(3)的證明類似于(1)，可根據(jù)定義直接驗(yàn)證,請讀者 自己完成.第26頁/共99頁定理1.2.2 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,S是從A和B,我們有:集合Y到集合Z的一個(gè)關(guān)系,則對于X中的任意兩個(gè)子集 (1)()()(BRARBAR (2)()( )( )R ABR AR B (3) ()( )( ( )SR AS R A(4) ( )( )()R AR BR

13、AB第27頁/共99頁， ， ，AxxRyBxxRy僅當(dāng)存在或存在，,當(dāng)且僅當(dāng) . , ，)(BARy證明(1)BAx當(dāng)且僅當(dāng)存在使得xRyAxBxxRy當(dāng)且僅當(dāng)存在或存在使得當(dāng)且 )()(BRARy. )(ARy)(BRy或，當(dāng)且僅當(dāng)于是 我們證明了)()()(BRARBAR .)(BARyBAxxRy(2) 設(shè)，則存在使得即存在 AxBx.xRy，使得 因此( )( ).yR AR B第28頁/共99頁)(ARSzAx,xS RzAx(3)由于當(dāng)且僅當(dāng)存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在使得 YyySzxRy,)(ARyySA(存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在使得. )，)()(BRARy)(),(BRyARy(4)

14、設(shè),即. AxxRy因此存在，使得. BxxRy)(BRy此時(shí)假設(shè)，由于，因此， )(BRy這與 ,Bx矛盾，因此因此存在 xRyBAx,)(BARy，因此， ( )( )().R AR BR AB第29頁/共99頁| ),(Xxxx)(X定義定義1.2.5 設(shè)X是一個(gè)集合,從集合X到集合X的一個(gè)稱為恒同關(guān)系，或恒同、對角線.記作或.關(guān)系簡稱為集合X中的一個(gè)關(guān)系.集合X中的關(guān)系:(),XRxXxRx定義定義 設(shè)R是集合X中的一個(gè)關(guān)系,如果即對于任意,有,則稱關(guān)系R為自反的; 如果 1RRXyx,xRy.yRx,即對于任何,如果,則 則稱關(guān)系R為對稱的; 1RR如果,即對于任何第30頁/共99頁

15、,x yX xRyyRx和不能同時(shí)成立,則稱 關(guān)系R為非對稱的;RRRXzyx,如果,即對于任何,如果 ,xRy yRz ，則xRz ，則稱關(guān)系R是傳遞的.定義1.2.7 設(shè)R是集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.集合X中的兩個(gè)元素x,y,如果滿足條 件:xRy,則稱x與y是R等價(jià)的, 或簡稱等價(jià)的;對于每一個(gè) Xx,集合X中的子集|xRyXy稱為x的R等價(jià)類或等價(jià)類,記Rxx作或,并且任何一個(gè) RxyRx都稱為R等價(jià)類的一個(gè)代表元素; 第31頁/共99頁,XxRxxRx(1)如果則 , 因而.RRyx.|XxxR由等價(jià)類組成的集合 稱為集合X相對于RX.等價(jià)關(guān)系R而言的商集,記作 .定理1.2.3 設(shè)R

16、是非空集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,則:,RyxRRyx(2)對于任意或者，或者,XxxRx,RxxRx證明：設(shè)由于R是自反的，所以，因此因而.第32頁/共99頁有Xyx,RRyx(2)對于任意,如果,設(shè)RRyxz,如圖1.2.1,因此必 ,zRx zRy,又由于RxRz,又由于R是傳遞的,所以xRy .是對稱的,所以第33頁/共99頁tRx,Rxt 對于任何一個(gè) 有xRy ，由上述 以及R的傳RRyx . RyRyt ，由 定義即得 .因此證明了zRy遞性可得RRxyRRyx 同理可證 .因此 .例例1.2.1 給出平面上的一個(gè)關(guān)系 |),(),(2211yxyx,2222221122xyxyRR

17、),(),(2211yxyx的意義是指 和 到原點(diǎn) 的距離相等,容易驗(yàn)證11( ,)x y22(,)xy(0,0)是平面 上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系. 相對于等價(jià)關(guān)系2R2R而言的商集 2R為222( , )|,0 x yxyrrR r， 第34頁/共99頁即商集是由單點(diǎn)集(0,0)和以原點(diǎn)為中心的所有圓周組成的集合.習(xí) 題 1.2 ,cbaX ,gfedY ),(),(),(fbeadaR ,caA ,gedB 1. 設(shè) ， , ，. 試求RBRAR),(),(1的值域，R的定義域.2. 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,證明下列條件等價(jià):,()A BP X)()()(BARBRAR(1) 對于任意

18、，第35頁/共99頁yx Xyx,( )( )RxRy (2) 對于任意 ，.)(00AAC限制定義為 ，證明:一個(gè)等價(jià)關(guān)系的限制仍是等價(jià)關(guān)系.XA 00A3. 設(shè)C是X上的一個(gè)關(guān)系， ，關(guān)系C在上的4. 設(shè)R是集合X中的一個(gè)對稱的，傳遞的關(guān)系.證明R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)R的定義域?yàn)閄.21RR 1221RRRR5. 設(shè)R1，R2是集合X中的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系，證明仍是集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng).6. 實(shí)數(shù)集合R中的一個(gè)關(guān)系定義為：第36頁/共99頁2( , )|.Rx yRxyZRR 證明關(guān)系R是實(shí)數(shù)集合R上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并且 ，即給出實(shí)數(shù)集R關(guān)于關(guān)系R的商集.給出第37頁/共99頁1.3

19、 映 射重點(diǎn)：熟悉由映射所誘導(dǎo)的逆關(guān)系得所有性質(zhì)難點(diǎn)：對映射的逆關(guān)系性質(zhì)的理解第38頁/共99頁定義定義1.3.1 設(shè)f是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,即YyYXf,xX ,如果對每一個(gè)使得果 f 滿足：Yy,Xx,)(1XYf(1) 即對 存在.使得xfy；那么稱關(guān)系f是從集合X到集合Y的一個(gè)映射.Yyy21,Xx(2)設(shè),如果對于有xfy1和xfy2,則y1=y2.fyx),( , 則稱關(guān)系 f 是從集合X到集合Y的一映,fXY:.fXY射,并且記作換言之，設(shè) 如第39頁/共99頁fYXf:定義定義1.3.2 設(shè)X和Y是兩個(gè)集合, ,即使得xfy的,Xx是從集合X到集合Y的映射,對每個(gè)Yy唯

20、一元素 稱為x的象或值,記作f(x)，即y=f(x);Yy（值得注意的是 可以沒有原象,也可以有不止一)(1yf個(gè)原象 不必是單元素集,)(1yf 有時(shí)也記作)(1yf .x是y的一個(gè)原像.XxYy對于 ,如果存在使得xfy(即y是x的象),則稱第40頁/共99頁YXf:由于映射是滿足一定條件的關(guān)系，因此如果11),(),(fBfAfYBXA,即f是從集合X到集合Y的映射， ，則都是有意義的.xfy| )(AxxfAxYyAf)(1) |存在 ,使得并稱f(A)為A在映射f下的象.)(1Bf 并稱 為B在映射f下的原象.)(|BxfXx|)(1xfyByXxBf使得存在 (2)(4)f(X)叫

21、映射f的值域.(3) (Y)=X,即映射f的定義域是X.1f第41頁/共99頁 (6) f -1作為Y到X的關(guān)系有定義,但一般說來f -1不是一個(gè)從Y到X的映射.,則關(guān)系f和g的ZYg:(5)如果Z是一個(gè)集合并且fg 復(fù)合 作為從X到Z的關(guān)系有定義.)()(xfgxfgfg 定理定理1.3.1 設(shè)X、Y、Z都是集合，如果f是從集合X 到集合Y的映射，g 是從集合Y 到集合 Z 的映射，則f和g關(guān)系的復(fù)合 是從集合X到集合Z的映射，并且對Xx于任何 ，有 第42頁/共99頁fg 證明：第一步驗(yàn)證復(fù)合關(guān)系是映射.再結(jié)合定理1.2.2(3)得)()()(111ZgfZfgYZgXYf)(,)(11Y

22、Xf:ZYg:(1)由于 ， ,因此根據(jù)定理1.2.1得.)()(1111ZgfZgfXYfZgfZfg)()()()(1111因此，.21,fzxgfzxgZzz21,Xx(2)對 ,設(shè) 使得 21zz 2211,gzygzy, ,2222111gzygyxgzyxfyYyy21,因此，存在 ,使得ZYg:21yy ,1xfy2xfyYXf:由 和 得 由 和 21yy 以及 得fg 因此， 是從X到Z的映射. 第43頁/共99頁YXf: .如果YBA,YX定理定理1.3.2 設(shè) 和 是兩個(gè)集合, ，則)()()(111BfAfBAf(2)()()(111BfAfBAf(3)1fYXf:簡單

23、地說，設(shè)，則 保持交，并，差運(yùn)算.)(1Bf)()(11AfBAf(1) 第二步證明)()(xfgxfg,這由定理1.2.2 (3)直接可證.第44頁/共99頁)()()(111BfAfBAff1f證明：(1)由于是關(guān)系 的逆關(guān)系,因此由定理 1.2.2 直接可得(2)由于1f 是關(guān)系,由定理1.2.2 可得)()()(111BfAfBAf,因此)()()(111BAfBfAf,這就證明了)(1BAfx因此,)(BAxf,因此Bxf)(得,由Axf)()(1Afx)()(11BfAfx)()()(111BfAfBAf;又設(shè)得,由)(1Bfx第45頁/共99頁)()()(111BfAfBAfBA

24、xf)()(1BAfx(3)由于 ,當(dāng)且僅當(dāng) ,當(dāng)且僅當(dāng))(),(11BfxAfx)(,)(BxfAxf ,當(dāng)且僅當(dāng))()(11BfAfx當(dāng)且僅當(dāng) ,因此YXf:需要說明兩點(diǎn)：設(shè) ，則 f 是保并運(yùn)算.(見定理1.2.2),但f不必是保交或保差運(yùn)算; 其逆關(guān)系R-1是保并運(yùn)算(見定理1.2.2),但R -1不必是保差或保交運(yùn)算.其中原因留給讀者自己思考.,YXR對于一般關(guān)系第46頁/共99頁YXf: 定義定義1.3.3 設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,. 如果f(X)=Y，)(xfy XxYy即對任意 , 存在 使得 (也就是xfy), 則稱f是一個(gè)滿射,或者稱f為從X到Y(jié)上的映射;如果對于 X中任意互異

25、的兩點(diǎn)x1,x2一定有)()(21xfxf(換言之,)()(21xfxf如果 ,一定有x1=x2). 則稱f是一個(gè)單射;如果f即是一個(gè)單射又是一個(gè)滿射,則稱f是一個(gè)一一映射.0y的映射.)(0yXf并且當(dāng) 時(shí)，稱f是一個(gè)取常值如果f(X)是一個(gè)單元素集，則稱f是一個(gè)常值映射 第47頁/共99頁根據(jù)下面的定理一一映射又稱為可逆映射.YXiffiff11,),并且也是一一映射,此外還有XYf:1如果f是個(gè)一一映射，則其逆關(guān)系f-1便是從Y到X的映射(因此可以寫作 YXf:定理1.3.3 設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,又設(shè).XYf:1 的映射，即證明了Y到X 1f是從由定義1.3.1知21xx 是單射，因此有

26、f ,由于yxfxf)()(21 則有x1fy，x2fy，因此2111,xyfxyf 使得Xxx21,YyYXfXf)()()(11YXf)(f1f證明: 是一個(gè)映射.由于 是滿射，因而由定理1.2.1得 ,又設(shè)存在第48頁/共99頁Xiff1)(11xffx)(11xffxXxXiff1XYf)(1,因此由定義1.3.1有1f 是滿射.由于f是映射Yyy21,1f1f因此 是滿射.是單射.若存在使得xfyxfy1211,xyfyf)()(2111即,因此由逆21yy f21,xfyxfy關(guān)系定義 ,由于是映射，因此有.對于任意,設(shè)，由定理1.2.2有1xx f)()(1xfxf因此有由于是單

27、射,因此有xxff)(1Xx因此對于任意有,這就證明了第49頁/共99頁Yiff1)(11yffyYyYiff1 ,對于, 令 ,由定理1.2.2得1f)()(111yfyf)(11yffy .因此 ,由于已證 是單映射yyffYy)(,11yy 因此有 ,亦對任意 ,因此 是滿射;如果fZYg:YXf:ZYX和,定理定理1.3.4 設(shè) 都是集合,ZXfg:ZXfg:gf如果 和 都是滿射,則和g都是單射,則 也是單射.因此如果f和gZXfg:都是一一映射，則 也是一一映射.證明：結(jié)合定理和單射、滿射定義容易證明, 本定理,略.第50頁/共99頁| )(,(Aaaga|)(,(Xxxfxfg

28、YAg:YXf:XA 定義定義1.3.4 設(shè)X和Y是兩個(gè)集合, .映射 和 如果滿足條件 ,即:XAAiX:|XXiX:Afg|)()(agafAa即對于有 ,則稱映射g是映射f的限制,或稱f是g的擴(kuò)張,記作 .特別地,恒同映射 在子集A上的限制 稱為內(nèi)射. 從關(guān)系出發(fā)定義映射的本意使得我們在本書的理論體系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定義對象.但是，如果每次定義一個(gè)映射都要將映射寫成它的定義域與值域的笛卡爾積的一個(gè)子集，畢竟是件不太方便的事，因此在定義映射時(shí)仍采用我們習(xí)慣的方法：對定義域中的每一個(gè)元素指定值域中的唯一一個(gè)元素作為它的象.第51頁/共99頁iixxpXXxxx)(,),(

29、212121XX 21,XX定義定義1.3.5 設(shè) 兩個(gè)給定集合，從笛卡爾積iiXXXp21:iX到它的第i個(gè)坐標(biāo)集的投射(或稱第i個(gè)投射) 定義為對于每一個(gè)),(21xx21XX iXXX)(21| ),(21iixxxp 事實(shí)上，第i個(gè)投射pi關(guān)系定義便是容易驗(yàn)證pi是一個(gè)滿映射.,xX定義1.3.6 設(shè)是集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.從集合X到它的商集 的自然投射定義為對于每一個(gè) 這個(gè)自然投射用關(guān)系定義便是：X( ) .p xx| ) ,(XXXxxxp第52頁/共99頁習(xí) 題 1.3 )()(|),(21221xfxfXxxR2XR YXf: 1. 設(shè) 是一個(gè)滿射,關(guān)系 定義為： RXXF:

30、 證明 R是X上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系. 證明存在滿射RX (其中 是X關(guān)于R的商集).)(,XCBAPBA),(BA其中 是 的簡寫. )()()(:XXXPPP2. 設(shè)X是一個(gè)給定集合，)()(ABBABA定義為稱其為 A與B的對稱差.證明集合的對稱差滿足交換群公理,即設(shè) 則ABBA (1) AA(2) )( AA(3) 存在集合-A，使得CBACBA)()(4) 第53頁/共99頁YXf:YX,4.設(shè) 是兩個(gè)集合，,證明下列條件等價(jià): f是單射.)(,1AffAXA 對于任意 ).)()()(,AfXfAXfXA 對于任意YXf:3. 設(shè)X和Y是兩個(gè)集合, ,證明 )(,1AffAXA 對于任意

31、 ,而且如果f 是一個(gè)單射,)(1AffA則BBff)(1,而且如果f是一個(gè)滿射,則BBff)(1YB 對于任意 , )()()(,BfAfBAfXBA 對于任意第54頁/共99頁),()(, 2yaykaYyYXYka:, 2 定義映射 ,使得對任意 有ipip 在什么情況下 是滿射？在什么情況下 是單射？)(1iiapiiXa 設(shè) ，寫 出集合 ),()(, 1bxxKbXxYXXkb:, 1YbXa,YX,6. 設(shè) 是兩個(gè)集合，,定義映射,使得對任意 有YXkpb:, 11XYkpa:, 21YaXbiRpikp, 22, 11,YaYkbXXkab)(,)(, 2, 1 (2)bk,

32、1ak,2證明：(1) 和 都是單射; (3) (4) 為取常值a的映射,為取常值b的映射.2 , 1iiiXXXp21:2X1X5. 設(shè) 和 是兩個(gè)集合, 是第i 個(gè)投射 其中第55頁/共99頁 構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f使它有右逆，但沒有左逆. 使得XYh:YXf:YX,7. 設(shè) 是兩個(gè)集合，.若存在YigfXYg:Xifh，則稱h為f 的左逆，若存在 ,使得，則稱g是f是右逆. 證明:如果f有左逆，則f是單射，如果f是右逆，則f是滿射.1fhg 能否構(gòu)造一個(gè)函數(shù) f 使其有兩個(gè)左逆. 若函數(shù)f 即有左逆元h，又有右逆元g，則是f一一映射，且第56頁/共99頁1.4 集族及其運(yùn)算重點(diǎn):集族的交與并的理

33、解難點(diǎn)：集族交與并的理解第57頁/共99頁第58頁/共99頁第59頁/共99頁第60頁/共99頁第61頁/共99頁第62頁/共99頁第63頁/共99頁第64頁/共99頁第65頁/共99頁1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集 重點(diǎn):可數(shù)集合的定義和性質(zhì) 難點(diǎn)：不可數(shù)集合的存在性第66頁/共99頁對于有限集，我們今后使用下面的定義.定義 設(shè)X是一個(gè)集合,如果X是空集或者存在正整數(shù)使得集合X和集合1,2,n之間有一個(gè)一一映射,則稱集合X是一個(gè)有限集. 定義 不是有限集的集合稱為無限集;如果存在一個(gè)從集合X到正整數(shù)集Z+的雙射,則稱集合X是一個(gè)可數(shù)無限集,不是可數(shù)無限集的無限集合稱為不可數(shù)集.有限集和可數(shù)無限集統(tǒng)

34、稱為可數(shù)集.第67頁/共99頁定理 如果C C是Z+Z+的一個(gè)無限子集, ,那么C C是可數(shù)無限集. . 第68頁/共99頁第69頁/共99頁第70頁/共99頁第71頁/共99頁第72頁/共99頁第73頁/共99頁第74頁/共99頁第75頁/共99頁第76頁/共99頁第77頁/共99頁第78頁/共99頁第79頁/共99頁第80頁/共99頁習(xí) 題 1.5 第81頁/共99頁第82頁/共99頁第83頁/共99頁 1.6 基 數(shù)第84頁/共99頁圖1.6.1第85頁/共99頁第86頁/共99頁圖1.6.2)(1)(1XXhTkZk現(xiàn)在設(shè) 顯然 21XT 并設(shè) 11)(TXXT第87頁/共99頁第88頁/共99頁第89頁/共99頁 第90頁/共99頁閱讀材料（二）序關(guān)系第91頁/共99頁第92頁/共99頁第93頁/共99頁第94頁/共99頁第95頁/共99頁y第96頁/共99頁習(xí)題第97頁/共99頁第98頁/共99頁感謝您的觀看。第99頁/共99頁