2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)
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2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)
2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)
一、選擇題(每小題5分,共40分)
1.若集合,,則A∩B=( ?。?
A. B.
C. D.
2.圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是( )
A. B.
C. D.
3.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( ?。?
A. B. C. D.
4.某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)如表,采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有人,則該樣本的老年教師人數(shù)為( ?。?
類別
人數(shù)
老年教師
中年教師
青年教師
合計(jì)
A. B. C. D.
5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的值為( )
A. B. C. D.
6.設(shè)是非零向量,“”是“”的( ?。?
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
7.某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為( ?。?
A. B. C. D.
8.某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況
加油時(shí)間
加油量(升)
加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)
年月日
年月日
注:“累計(jì)里程”指汽車從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程,在這段時(shí)間內(nèi),該車每千米平均耗油量為 ( ?。?
A.升 B.升 C.升 D.升
二、填空題
9.復(fù)數(shù)的實(shí)部為 ?。?
10.三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是 ?。?
11.在中,,則= ?。?
12.已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),則= .
13.如圖,及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為,為中任意一點(diǎn),則的最大值為 ?。?
14.高三年級(jí)位學(xué)生參加期末考試,某班位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī),數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谌昙?jí)的排名情況如圖所示,甲、乙、丙為該班三位學(xué)生.
從這次考試成績(jī)看,
①在甲、乙兩人中,其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是 ??;
②在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中,丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是 ?。?
三、解答題(共分)
15.已知函數(shù).
()求的最小正周期;
()求在區(qū)間上的最小值.
16.已知等差數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,問(wèn):與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等?
17.某超市隨機(jī)選取位顧客,記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“√”表示購(gòu)買,“”表示未購(gòu)買.
甲
乙
丙
丁
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率;
(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買種商品的概率;
(3)如果顧客購(gòu)買了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?
18.如圖,在三棱錐中,平面⊥平面,為等邊三角形,⊥且 ,,分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面;
(2)求證:平面⊥平面
(3)求三棱錐的體積.
19.設(shè)函數(shù).
(1)求 的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)證明:若 存在零點(diǎn),則 在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).
20.已知橢圓:,過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn).
(1)求橢圓的離心率;
(2)若垂直于軸,求直線的斜率;
(3)試判斷直線與直線的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)
參考答案與試題解析
一、選擇題(每小題5分,共40分)
1.(2015?北京)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},則A∩B=( ?。?
A.{x|﹣3<x<2} B.{x|﹣5<x<2} C.{x|﹣3<x<3} D.{x|﹣5<x<3}
【分析】直接利用集合的交集的運(yùn)算法則求解即可.
【解答】解:集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},
則A∩B={x|﹣3<x<2}.
故選:A.
2.(2015?北京)圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是( )
A.(x﹣1)^^^2+(y﹣1)^^^2=1 B.(x+1)^^^2+(y+1)^^^2=1 C.(x+1)^^^2+(y+1)^^^2=2 D.(x﹣1)^^^2+(y﹣1)^^^2=2
【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑,由此能求出圓的方程.
【解答】解:由題意知圓半徑r=,
∴圓的方程為(x﹣1)^^^2+(y﹣1)^^^2=2.
故選:D.
3.(2015?北京)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( ?。?
A.y=x^^^2sinx B.y=x^^^2cosx C.y=|lnx| D.y=2﹣^^^x
【分析】首先從定義域上排除選項(xiàng)C,然后在其他選項(xiàng)中判斷﹣x與x的函數(shù)值關(guān)系,相等的就是偶函數(shù).
【解答】解:對(duì)于A,(﹣x)^^^2sin(﹣x)=﹣x^^^2sinx;是奇函數(shù);
對(duì)于B,(﹣x)^^^2cos(﹣x)=x^^^2cosx;是偶函數(shù);
對(duì)于C,定義域?yàn)椋?,+∞),是非奇非偶的函數(shù);
對(duì)于D,定義域?yàn)镽,但是2﹣(﹣^^^x)=2^^^x≠2﹣^^^x,2^^^x≠﹣2﹣^^^x;是非奇非偶的函數(shù);
故選B
4.(2015?北京)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)如表,采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本的老年教師人數(shù)為( ?。?
類別
人數(shù)
老年教師
900
中年教師
1800
青年教師
1600
合計(jì)
4300
A.90 B.100 C.180 D.300
【分析】由題意,老年和青年教師的人數(shù)比為900:1600=9:16,即可得出結(jié)論.
【解答】解:由題意,老年和青年教師的人數(shù)比為900:1600=9:16,
因?yàn)榍嗄杲處熡?20人,所以老年教師有180人,
故選:C.
5.(2015?北京)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的k值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的a,k的值,當(dāng)a=時(shí)滿足條件a<,退出循環(huán),輸出k的值為4.
【解答】解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得
k=0,a=3,q=
a=,k=1
不滿足條件a<,a=,k=2
不滿足條件a<,a=,k=3
不滿足條件a<,a=,k=4
滿足條件a<,退出循環(huán),輸出k的值為4.
故選:B.
6.(2015?北京)設(shè),是非零向量,“=||||”是“”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【分析】由便可得到夾角為0,從而得到∥,而∥并不能得到夾角為0,從而得不到,這樣根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可找出正確選項(xiàng).
【解答】解:(1);
∴時(shí),cos=1;
∴;
∴∥;
∴“”是“∥”的充分條件;
(2)∥時(shí),的夾角為0或π;
∴,或﹣;
即∥得不到;
∴“”不是“∥”的必要條件;
∴總上可得“”是“∥”的充分不必要條件.
故選A.
7.(2015?北京)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為( ?。?
A.1 B. C. D.2
【分析】幾何體是四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,結(jié)合直觀圖求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù),可得答案
【解答】解:由三視圖知:幾何體是四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,
底面為正方形如圖:
其中PB⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形
∴PB=1,AB=1,AD=1,
∴BD=,PD==.
PC==
該幾何體最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為:
故選:C.
8.(2015?北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況
加油時(shí)間
加油量(升)
加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注:“累計(jì)里程”指汽車從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程,在這段時(shí)間內(nèi),該車每100千米平均耗油量為 ( ?。?
A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
【分析】由表格信息,得到該車加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到該車每100千米平均耗油量.
【解答】解:由表格信息,得到該車加了48升的汽油,跑了600千米,所以該車每100千米平均耗油量486=8;
故選:B.
二、填空題
9.(2015?北京)復(fù)數(shù)i(1+i)的實(shí)部為 ﹣1?。?
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則,求解即可.
【解答】解:復(fù)數(shù)i(1+i)=﹣1+i,
所求復(fù)數(shù)的實(shí)部為:﹣1.
故答案為:﹣1.
10.(2015?北京)2﹣^^^3,,log_____25三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是 log_____25?。?
【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得0<2﹣^^^3<1,1<<2,log_____25>log24=2,即可得到最大數(shù).
【解答】解:由于0<2﹣^^^3<1,1<<2,
log_____25>log24=2,
則三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為log_____25.
故答案為:log_____25.
11.(2015?北京)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,則∠B= ?。?
【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的邊角關(guān)系,即可得到角B.
【解答】解:由正弦定理可得,
=,
即有sinB===,
由b<a,則B<A,
可得B=.
故答案為:.
12.(2015?北京)已知(2,0)是雙曲線x^^^2﹣=1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則b= ?。?
【分析】求得雙曲線x^^^2﹣=1(b>0)的焦點(diǎn)為(,0),(﹣,0),可得b的方程,即可得到b的值.
【解答】解:雙曲線x^^^2﹣=1(b>0)的焦點(diǎn)為(,0),(﹣,0),
由題意可得=2,
解得b=.
故答案為:.
13.(2015?北京)如圖,△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為D,P(x,y)為D中任意一點(diǎn),則z=2x+3y的最大值為 7 .
【分析】利用線性規(guī)劃的知識(shí),通過(guò)平移即可求z的最大值.
【解答】解:由z=2x+3y,得y=,
平移直線y=,由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線y=的截距最大,此時(shí)z最大.
即A(2,1).
此時(shí)z的最大值為z=22+31=7,
故答案為:7.
14.(2015?北京)高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試,某班37位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī),數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谌昙?jí)的排名情況如圖所示,甲、乙、丙為該班三位學(xué)生.
從這次考試成績(jī)看,
①在甲、乙兩人中,其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是 乙 ;
②在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中,丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是 數(shù)學(xué)?。?
【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖1分析甲乙兩人所在的位置的縱坐標(biāo)確定總成績(jī)名次;
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖2,觀察丙的對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),如果橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo),說(shuō)明總成績(jī)名次大于數(shù)學(xué)成績(jī)名次,反之小于.
【解答】解:由高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試,某班37位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī),數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谌昙?jí)的排名情況的散點(diǎn)圖可知
①在甲、乙兩人中,其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是 乙;
②觀察散點(diǎn)圖,作出對(duì)角線y=x,發(fā)現(xiàn)丙的坐標(biāo)橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo),說(shuō)明數(shù)學(xué)成績(jī)的名次小于總成績(jī)名次,所以在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中,丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是數(shù)學(xué);
故答案為:乙;數(shù)學(xué).
三、解答題(共80分)
15.(2015?北京)已知函數(shù)f(x)=sinx﹣2sin^^^2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,]上的最小值.
【分析】(1)由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f(x)=2sin(x+)﹣,由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解;
(2)由x∈[0,],可求范圍x+∈[,π],即可求得f(x)的取值范圍,即可得解.
【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣2sin^^^2
=sinx﹣2
=sinx+cosx﹣
=2sin(x+)﹣
∴f(x)的最小正周期T==2π;
(2)∵x∈[0,],
∴x+∈[,π],
∴sin(x+)∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x+)﹣∈[﹣,2﹣],
∴可解得f(x)在區(qū)間[0,]上的最小值為:﹣.
16.(2015?北京)已知等差數(shù)列{an}滿足a_____1+a_____2=10,a_____4﹣a_____3=2
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b_____2=a_____3,b_____3=a7,問(wèn):b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等?
【分析】(I)由a_____4﹣a_____3=2,可求公差d,然后由a_____1+a_____2=10,可求a_____1,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
(II)由b_____2=a_____3=8,b_____3=a7=16,可求等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比,代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求b6,結(jié)合(I)可求
【解答】解:(I)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
∵a_____4﹣a_____3=2,所以d=2
∵a_____1+a_____2=10,所以2a_____1+d=10
∴a_____1=4,
∴an=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)
(II)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,
∵b_____2=a_____3=8,b_____3=a7=16,
∴
∴q=2,b_____1=4
∴=128,而128=2n+2
∴n=63
∴b6與數(shù)列{an}中的第63項(xiàng)相等
17.(2015?北京)某超市隨機(jī)選取1000位顧客,記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“√”表示購(gòu)買,“”表示未購(gòu)買.
甲
乙
丙
丁
100
√
√
√
217
√
√
200
√
√
√
300
√
√
85
√
98
√
(1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率;
(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率;
(3)如果顧客購(gòu)買了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?
【分析】(1)從統(tǒng)計(jì)表可得,在這1000名顧客中,同時(shí)購(gòu)買乙和丙的有200人,從而求得顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率.
(2)根據(jù)在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的有300人,求得顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率.
(3)在這1000名顧客中,求出同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率、同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率、同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率,從而得出結(jié)論.
【解答】解:(1)從統(tǒng)計(jì)表可得,在這1000名顧客中,同時(shí)購(gòu)買乙和丙的有200人,
故顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率為=0.2.
(2)在這1000名顧客中,在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的有100+200=300(人),
故顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率為=0.3.
(3)在這1000名顧客中,同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率為=0.2,
同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率為=0.6,
同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率為=0.1,
故同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率最大.
18.(2015?北京)如圖,在三棱錐V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求證:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱錐V﹣ABC的體積.
【分析】(1)利用三角形的中位線得出OM∥VB,利用線面平行的判定定理證明VB∥平面MOC;
(2)證明:OC⊥平面VAB,即可證明平面MOC⊥平面VAB
(3)利用等體積法求三棱錐V﹣ABC的體積.
【解答】(1)證明:∵O,M分別為AB,VA的中點(diǎn),
∴OM∥VB,
∵VB?平面MOC,OM?平面MOC,
∴VB∥平面MOC;
(2)∵AC=BC,O為AB的中點(diǎn),
∴OC⊥AB,
∵平面VAB⊥平面ABC,OC?平面ABC,
∴OC⊥平面VAB,
∵OC?平面MOC,
∴平面MOC⊥平面VAB
(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,
∴S△VAB=,
∵OC⊥平面VAB,
∴VC﹣VAB=?S△VAB=,
∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=.
19.(2015?北京)設(shè)函數(shù)f(x)=﹣klnx,k>0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)證明:若f(x)存在零點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(1,]上僅有一個(gè)零點(diǎn).
【分析】(1)利用f(x)≥0或f(x)≤0求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并能求出極值;
(2)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極值求出最值,利用最值討論存在零點(diǎn)的情況.
【解答】解:(1)由f(x)=
f(x)=x﹣
由f(x)=0解得x=
f(x)與f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的情況如下:
X
(0,)
()
f(x)
﹣
0
+
f(x)
↓
↑
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,);
f(x)在x=處的極小值為f()=,無(wú)極大值.
(2)證明:由(1)知,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最小值為f()=.
因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn),所以,從而k≥e
當(dāng)k=e時(shí),f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減,且f()=0
所以x=是f(x)在區(qū)間(1,)上唯一零點(diǎn).
當(dāng)k>e時(shí),f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減,且,
所以f(x)在區(qū)間(1,)上僅有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,若f(x)存在零點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(1,]上僅有一個(gè)零點(diǎn).
20.(2015?北京)已知橢圓C:x^^^2+3y^^^2=3,過(guò)點(diǎn)D(1,0)且不過(guò)點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),直線AE與直線x=3交于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率;
(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【分析】(1)通過(guò)將橢圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,利用離心率計(jì)算公式即得結(jié)論;
(2)通過(guò)令直線AE的方程中x=3,得點(diǎn)M坐標(biāo),即得直線BM的斜率;
(3)分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論,利用韋達(dá)定理,計(jì)算即可.
【解答】解:(1)∵橢圓C:x^^^2+3y^^^2=3,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+y^^^2=1,
∴a=,b=1,c=,
∴橢圓C的離心率e==;
(2)∵AB過(guò)點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸,
∴可設(shè)A(1,y_____1),B(1,﹣y_____1),
∵E(2,1),∴直線AE的方程為:y﹣1=(1﹣y_____1)(x﹣2),
令x=3,得M(3,2﹣y_____1),
∴直線BM的斜率kBM==1;
(3)結(jié)論:直線BM與直線DE平行.
證明如下:
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),由(2)知kBM=1,
又∵直線DE的斜率kDE==1,∴BM∥DE;
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=k(x﹣1)(k≠1),
設(shè)A(x_____1,y_____1),B(x_____2,y_____2),
則直線AE的方程為y﹣1=(x﹣2),
令x=3,則點(diǎn)M(3,),
∴直線BM的斜率kBM=,
聯(lián)立,得(1+3k^^^2)x^^^2﹣6k2x+3k^^^2﹣3=0,
由韋達(dá)定理,得x_____1+x_____2=,x_____1x_____2=,
∵kBM﹣1=
=
=
=0,
∴kBM=1=kDE,即BM∥DE;
綜上所述,直線BM與直線DE平行.
參與本試卷答題和審題的老師有:qiss;劉長(zhǎng)柏;changq;w3239003;wkl197822;sdpyqzh;雙曲線;maths;呂靜;caoqz;雪狼王;cst(排名不分先后)
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2017年2月3日
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