2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)

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2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科） 　 一、選擇題（每小題5分,共40分） 1．若集合，，則A∩B=（　　） A． B． C． D． 2．圓心為且過原點的圓的方程是（　?。? A． B． C． D． 3．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（　?。? A． B． C． D． 4．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（　　） 類別 人數(shù) 老年教師 中年教師 青年教師 合計 A． B． C． D． 5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（　　） A． B． C． D． 6．設(shè)是非零向量，“”是“”的（　?。? A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 7．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（　?。? A． B． C． D． 8．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況 加油時間 加油量（升） 加油時的累計里程（千米） 年月日 年月日 注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內(nèi)，該車每千米平均耗油量為 （　?。? A．升 B．升 C．升 D．升 　 二、填空題 9．復(fù)數(shù)的實部為　?。? 10．三個數(shù)中最大數(shù)的是　?。? 11．在中，，則=　?。? 12．已知是雙曲線的一個焦點，則=　?。? 13．如圖，及其內(nèi)部的點組成的集合記為，為中任意一點，則的最大值為　　． 14．高三年級位學(xué)生參加期末考試，某班位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生． 從這次考試成績看， ①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是　??； ②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是　　． 　 三、解答題（共分） 15．已知函數(shù)． （）求的最小正周期； （）求在區(qū)間上的最小值． 16．已知等差數(shù)列滿足. （1）求的通項公式； （2）設(shè)等比數(shù)列滿足，問：與數(shù)列的第幾項相等？ 17．某超市隨機選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“”表示未購買． 甲 乙 丙 丁 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ （1）估計顧客同時購買乙和丙的概率； （2）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買種商品的概率； （3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？ 18．如圖，在三棱錐中，平面⊥平面，為等邊三角形，⊥且 ，，分別為，的中點． （1）求證：∥平面； （2）求證：平面⊥平面 （3）求三棱錐的體積． 19．設(shè)函數(shù)． （1）求 的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）證明：若 存在零點，則 在區(qū)間上僅有一個零點． 20．已知橢圓:，過點且不過點的直線與橢圓交于兩點，直線與直線交于點． （1）求橢圓的離心率； （2）若垂直于軸，求直線的斜率； （3）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由． 　  2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題5分,共40分） 1．（2015?北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，則A∩B=（　?。? A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3} 【分析】直接利用集合的交集的運算法則求解即可． 【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}， 則A∩B={x|﹣3＜x＜2}． 故選：A． 　 2．（2015?北京）圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是（　　） A．（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=1 B．（x+1）^^^2+（y+1）^^^2=1 C．（x+1）^^^2+（y+1）^^^2=2 D．（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=2 【分析】利用兩點間距離公式求出半徑，由此能求出圓的方程． 【解答】解：由題意知圓半徑r=， ∴圓的方程為（x﹣1）^^^2+（y﹣1）^^^2=2． 故選：D． 　 3．（2015?北京）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（　?。? A．y=x^^^2sinx B．y=x^^^2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣^^^x 【分析】首先從定義域上排除選項C，然后在其他選項中判斷﹣x與x的函數(shù)值關(guān)系，相等的就是偶函數(shù)． 【解答】解：對于A，（﹣x）^^^2sin（﹣x）=﹣x^^^2sinx；是奇函數(shù)； 對于B，（﹣x）^^^2cos（﹣x）=x^^^2cosx；是偶函數(shù)； 對于C，定義域為（0，+∞），是非奇非偶的函數(shù)； 對于D，定義域為R，但是2﹣（﹣^^^x）=2^^^x≠2﹣^^^x，2^^^x≠﹣2﹣^^^x；是非奇非偶的函數(shù)； 故選B 　 4．（2015?北京）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（　?。? 類別 人數(shù) 老年教師 900 中年教師 1800 青年教師 1600 合計 4300 A．90 B．100 C．180 D．300 【分析】由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為900：1600=9：16，即可得出結(jié)論． 【解答】解：由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為900：1600=9：16， 因為青年教師有320人，所以老年教師有180人， 故選：C． 　 5．（2015?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，k的值，當(dāng)a=時滿足條件a＜，退出循環(huán)，輸出k的值為4． 【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 k=0，a=3，q= a=，k=1 不滿足條件a＜，a=，k=2 不滿足條件a＜，a=，k=3 不滿足條件a＜，a=，k=4 滿足條件a＜，退出循環(huán)，輸出k的值為4． 故選：B． 　 6．（2015?北京）設(shè)，是非零向量，“=||||”是“”的（　?。? A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【分析】由便可得到夾角為0，從而得到∥，而∥并不能得到夾角為0，從而得不到，這樣根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可找出正確選項． 【解答】解：（1）； ∴時，cos=1； ∴； ∴∥； ∴“”是“∥”的充分條件； （2）∥時，的夾角為0或π； ∴，或﹣； 即∥得不到； ∴“”不是“∥”的必要條件； ∴總上可得“”是“∥”的充分不必要條件． 故選A． 　 7．（2015?北京）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，結(jié)合直觀圖求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，可得答案 【解答】解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直， 底面為正方形如圖： 其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形 ∴PB=1，AB=1，AD=1， ∴BD=，PD==． PC== 該幾何體最長棱的棱長為： 故選：C． 　 8．（2015?北京）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況 加油時間 加油量（升） 加油時的累計里程（千米） 2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 48 35600 注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為 （　　） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 【分析】由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到該車每100千米平均耗油量． 【解答】解：由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，所以該車每100千米平均耗油量486=8； 故選：B． 　 二、填空題 9．（2015?北京）復(fù)數(shù)i（1+i）的實部為　﹣1?。? 【分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則，求解即可． 【解答】解：復(fù)數(shù)i（1+i）=﹣1+i， 所求復(fù)數(shù)的實部為：﹣1． 故答案為：﹣1． 　 10．（2015?北京）2﹣^^^3，，log_____25三個數(shù)中最大數(shù)的是　log_____25　． 【分析】運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得0＜2﹣^^^3＜1，1＜＜2，log_____25＞log24=2，即可得到最大數(shù)． 【解答】解：由于0＜2﹣^^^3＜1，1＜＜2， log_____25＞log24=2， 則三個數(shù)中最大的數(shù)為log_____25． 故答案為：log_____25． 　 11．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，則∠B=　?。? 【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的邊角關(guān)系，即可得到角B． 【解答】解：由正弦定理可得， =， 即有sinB===， 由b＜a，則B＜A， 可得B=． 故答案為：． 　 12．（2015?北京）已知（2，0）是雙曲線x^^^2﹣=1（b＞0）的一個焦點，則b=　?。? 【分析】求得雙曲線x^^^2﹣=1（b＞0）的焦點為（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值． 【解答】解：雙曲線x^^^2﹣=1（b＞0）的焦點為（，0），（﹣，0）， 由題意可得=2， 解得b=． 故答案為：． 　 13．（2015?北京）如圖，△ABC及其內(nèi)部的點組成的集合記為D，P（x，y）為D中任意一點，則z=2x+3y的最大值為　7?。? 【分析】利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值． 【解答】解：由z=2x+3y，得y=， 平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過點A時，直線y=的截距最大，此時z最大． 即A（2，1）． 此時z的最大值為z=22+31=7， 故答案為：7． 　 14．（2015?北京）高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生． 從這次考試成績看， ①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是　乙　； ②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是　數(shù)學(xué)?。? 【分析】（1）根據(jù)散點圖1分析甲乙兩人所在的位置的縱坐標(biāo)確定總成績名次； （2）根據(jù)散點圖2，觀察丙的對應(yīng)的坐標(biāo)，如果橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo)，說明總成績名次大于數(shù)學(xué)成績名次，反之小于． 【解答】解：由高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況的散點圖可知 ①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是 乙； ②觀察散點圖，作出對角線y=x，發(fā)現(xiàn)丙的坐標(biāo)橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo)，說明數(shù)學(xué)成績的名次小于總成績名次，所以在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是數(shù)學(xué)； 故答案為：乙；數(shù)學(xué)． 　 三、解答題（共80分） 15．（2015?北京）已知函數(shù)f（x）=sinx﹣2sin^^^2． （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值． 【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解； （2）由x∈[0，]，可求范圍x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范圍，即可得解． 【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin^^^2 =sinx﹣2 =sinx+cosx﹣ =2sin（x+）﹣ ∴f（x）的最小正周期T==2π； （2）∵x∈[0，]， ∴x+∈[，π]， ∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]， ∴可解得f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值為：﹣． 　 16．（2015?北京）已知等差數(shù)列{an}滿足a_____1+a_____2=10，a_____4﹣a_____3=2 （1）求{an}的通項公式； （2）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b_____2=a_____3，b_____3=a7，問：b6與數(shù)列{an}的第幾項相等？ 【分析】（I）由a_____4﹣a_____3=2，可求公差d，然后由a_____1+a_____2=10，可求a_____1，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求 （II）由b_____2=a_____3=8，b_____3=a7=16，可求等比數(shù)列的首項及公比，代入等比數(shù)列的通項公式可求b6，結(jié)合（I）可求 【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d． ∵a_____4﹣a_____3=2，所以d=2 ∵a_____1+a_____2=10，所以2a_____1+d=10 ∴a_____1=4， ∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…） （II）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q， ∵b_____2=a_____3=8，b_____3=a7=16， ∴ ∴q=2，b_____1=4 ∴=128，而128=2n+2 ∴n=63 ∴b6與數(shù)列{an}中的第63項相等 　 17．（2015?北京）某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“”表示未購買． 甲 乙 丙 丁 100 √ √ √ 217 √ √ 200 √ √ √ 300 √ √ 85 √ 98 √ （1）估計顧客同時購買乙和丙的概率； （2）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率； （3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？ 【分析】（1）從統(tǒng)計表可得，在這1000名顧客中，同時購買乙和丙的有200人，從而求得顧客同時購買乙和丙的概率． （2）根據(jù)在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的有300人，求得顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率． （3）在這1000名顧客中，求出同時購買甲和乙的概率、同時購買甲和丙的概率、同時購買甲和丁的概率，從而得出結(jié)論． 【解答】解：（1）從統(tǒng)計表可得，在這1000名顧客中，同時購買乙和丙的有200人， 故顧客同時購買乙和丙的概率為=0.2． （2）在這1000名顧客中，在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的有100+200=300（人）， 故顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率為=0.3． （3）在這1000名顧客中，同時購買甲和乙的概率為=0.2， 同時購買甲和丙的概率為=0.6， 同時購買甲和丁的概率為=0.1， 故同時購買甲和丙的概率最大． 　 18．（2015?北京）如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分別為AB，VA的中點． （1）求證：VB∥平面MOC； （2）求證：平面MOC⊥平面VAB （3）求三棱錐V﹣ABC的體積． 【分析】（1）利用三角形的中位線得出OM∥VB，利用線面平行的判定定理證明VB∥平面MOC； （2）證明：OC⊥平面VAB，即可證明平面MOC⊥平面VAB （3）利用等體積法求三棱錐V﹣ABC的體積． 【解答】（1）證明：∵O，M分別為AB，VA的中點， ∴OM∥VB， ∵VB?平面MOC，OM?平面MOC， ∴VB∥平面MOC； （2）∵AC=BC，O為AB的中點， ∴OC⊥AB， ∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC， ∴OC⊥平面VAB， ∵OC?平面MOC， ∴平面MOC⊥平面VAB （3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1， ∴S△VAB=， ∵OC⊥平面VAB， ∴VC﹣VAB=?S△VAB=， ∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=． 　 19．（2015?北京）設(shè)函數(shù)f（x）=﹣klnx，k＞0． （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）證明：若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，]上僅有一個零點． 【分析】（1）利用f（x）≥0或f（x）≤0求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并能求出極值； （2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極值求出最值，利用最值討論存在零點的情況． 【解答】解：（1）由f（x）= f（x）=x﹣ 由f（x）=0解得x= f（x）與f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下： X （0，） （） f（x） ﹣ 0 + f（x） ↓ ↑ 所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）； f（x）在x=處的極小值為f（）=，無極大值． （2）證明：由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（）=． 因為f（x）存在零點，所以，從而k≥e 當(dāng)k=e時，f（x）在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞減，且f（）=0 所以x=是f（x）在區(qū)間（1，）上唯一零點． 當(dāng)k＞e時，f（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，且， 所以f（x）在區(qū)間（1，）上僅有一個零點． 綜上所述，若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，]上僅有一個零點． 　 20．（2015?北京）已知橢圓C：x^^^2+3y^^^2=3，過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M． （1）求橢圓C的離心率； （2）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率； （3）試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由． 【分析】（1）通過將橢圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，利用離心率計算公式即得結(jié)論； （2）通過令直線AE的方程中x=3，得點M坐標(biāo)，即得直線BM的斜率； （3）分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，利用韋達定理，計算即可． 【解答】解：（1）∵橢圓C：x^^^2+3y^^^2=3， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+y^^^2=1， ∴a=，b=1，c=， ∴橢圓C的離心率e==； （2）∵AB過點D（1，0）且垂直于x軸， ∴可設(shè)A（1，y_____1），B（1，﹣y_____1）， ∵E（2，1），∴直線AE的方程為：y﹣1=（1﹣y_____1）（x﹣2）， 令x=3，得M（3，2﹣y_____1）， ∴直線BM的斜率kBM==1； （3）結(jié)論：直線BM與直線DE平行． 證明如下： 當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由（2）知kBM=1， 又∵直線DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE； 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x﹣1）（k≠1）， 設(shè)A（x_____1，y_____1），B（x_____2，y_____2）， 則直線AE的方程為y﹣1=（x﹣2）， 令x=3，則點M（3，）， ∴直線BM的斜率kBM=， 聯(lián)立，得（1+3k^^^2）x^^^2﹣6k2x+3k^^^2﹣3=0， 由韋達定理，得x_____1+x_____2=，x_____1x_____2=， ∵kBM﹣1= = = =0， ∴kBM=1=kDE，即BM∥DE； 綜上所述，直線BM與直線DE平行． 　  參與本試卷答題和審題的老師有：qiss；劉長柏；changq；w3239003；wkl197822；sdpyqzh；雙曲線；maths；呂靜；caoqz；雪狼王；cst（排名不分先后） 菁優(yōu)網(wǎng) 2017年2月3日 第21頁（共21頁）