經(jīng)典初中數(shù)學(xué)題
專題4 幾何證明
【知識要點(diǎn)】
1.進(jìn)一步掌握直角三角形的性質(zhì),并能夠熟練應(yīng)用;
2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)能夠熟練地寫出較難證明的求證;
3.證明要合乎邏輯,能夠應(yīng)用綜合法熟練地證明幾何命題。
【概念回顧】
1.全等三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊( ),對應(yīng)角( )對應(yīng)高線( ),對應(yīng)中線( ),對應(yīng)角的角平分線( )。
2.在Rt△ABC中,∠C=90,∠A=30,則BC:AC:AB=( )。
【例題解析】
【題1】已知在ΔABC中,,AB=AC,BD平分.求證:BC=AB+CD.
【題2】如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),點(diǎn)F為CB的延長線上的一點(diǎn),且EA⊥AF.求證:DE=BF.
【題3】如圖,AD為ΔABC的角平分線且BD=CD.求證:AB=AC.
【題4】已知:如圖,點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上,BF=CE,AB∥ED,AC∥FD,證明AB=DE,AC=DF.
【題5】已知:如圖,△ABC是正三角形,P是三角形內(nèi)一點(diǎn),PA=3,PB=4,PC=5.
A
P
C
B
求:∠APB的度數(shù).
【題6】如圖:△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,AE是BC邊上的中線,過C作CF⊥AE,垂足是F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于D。
(1) 求證:AE=CD;
(2) 若AC=12㎝,求BD的長.
【題7】等邊三角形CEF于菱形ABCD邊長相等.
求證:(1)∠AEF=∠AFE
(2)角B的度數(shù)
【題8】如圖,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分線,∠1=∠B,求證:AB=AC+CD.
【題9】如圖,在三角形ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點(diǎn),BE的延長線交AC于點(diǎn)F.
求證:AF=FC
【題10】如圖,將邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到ABCD的位置,若∠BCB=30度,求AE的長.
【題11】AD,BE分別是等邊△ABC中BC,AC上的高。M,N分別在AD,BE的延長線上,∠CBM=∠ACN.求證AM=BN.
【題12】已知:如圖,AD、BC相交于點(diǎn)O,OA=OD,OB=OC,點(diǎn)E、F在AD上,且AE=DF,∠ABE=∠DCF.
求證:BE‖CF.
【鞏固練習(xí)】
【練1】 如圖,已知BE垂直于AD,CF垂直于AD,且BE=CF.
(1) 請你判斷AD是三角形ABC的中線還是角平分線?請證明你的結(jié)論。
(2) 鏈接BF,CE,若四邊形BFCE是菱形,則三角形ABC中應(yīng)添加一個(gè)什么條件?
【練2】在等腰直角三角形ABC中,O是斜邊AC的中點(diǎn),P是斜邊上的一個(gè)動點(diǎn),且PB=PD,DE垂直AC,垂足為E。
(1) 求證:PE=BO
(2) 設(shè)AC=3a,AP=x,四邊形PBDE的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。
【練3】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),AD,BC的延長線叫MN與E、F
求證∠DEN=∠F.
【練4】如圖,若C在直線OB上,試判斷△CDM形狀。
【練5】已知△ABC,AD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊為直角邊向形外作等腰直角三角形。求證:EF=2AD
1、 【練6】如圖,等邊三角形ABC的邊長為2,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是從A和C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),做勻速運(yùn)動,且他們的速度相同,點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動,Q點(diǎn)沿點(diǎn)C在BC延長線上運(yùn)動。設(shè)PQ與直線AC相交于點(diǎn)D,作PE⊥AC于點(diǎn)E,當(dāng)P和Q運(yùn)動時(shí),線段DE的長度是否改變?證明你的結(jié)論。
【提示】
【題1】分析:在BC上截?。拢牛剑拢?,連接DE.可得ΔBAD≌ΔBED.由已知可得:,,.∴,∴CD=CE,∴BC=AB+CD.
【題2】分析:將ΔABF視為ΔADE繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可.
∵.∴.
又∵,AB=AD.∴ΔABF≌ΔADE.(ASA)∴DE=DF.
【題3】分析:延長AD到E使得AD=ED.易證ΔABD≌ΔECD.∴EC=AB.
∵.∴.∴AC=EC=AB.
【題4】本題比較簡單,難點(diǎn)在BF+CF=CE+CF這,一般剛接觸三角形證明的人會在這失手。
證明:∵BF=CE
又∵BF+CF=BC
CE+CF=EF
∴BC=EF
∵AB∥DE,AC∥FD
∴∠B=∠E,∠DFE=∠BCA
又∵BF=CE
∴△DEF≌△ABC(ASA)
∴AB=DE,AC=DF
【題5】順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP 600 ,連接PQ ,則△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500 。
【題6】解析:如果遇到這類題,有時(shí)在圖形中隱藏著一些不明顯的條件,你就先試試一個(gè)角加公共角等于90,再試其它角加這個(gè)公共角是否能等于90,能說明它倆相等。
證明:(1)∵BD⊥BC,CF⊥AE
∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90
∵∠D+∠BCD=90
∠FEC+∠BCD=90
∴∠D=∠FEC
又∵∠DBC=∠ACE=90,AC=BC
∴△DBC≌△ACE(HL)
∴AE=CD
(2)由(1)可知 △BDC≌△ACE
∴BC=AC=12㎝,BD=CE
∵AE是BC邊上的中線
∴BE=EC=BC=6㎝
∵BD=CE
∴BD=6㎝
【題7】解:
∵CB=CE,CD=CF
∴∠B=∠CEB,∠D=∠CFD
∵∠B=∠D(菱形的對角相等)
∴∠CEB=∠CFD
∵∠CEF=∠CFE=60
∠CEB+∠CEF+∠AEF=180
∠CED+∠CFE+∠AFE=180
∴∠AEF=∠AFE
(2)設(shè)∠B=X,則∠A=180—X,∠CEB=X
∵∠AEF=∠AFE,∠A=∠AEF+∠AFE=180
∴ (180-X ) +2∠AEF=180
∴∠AEF=X/2
∵∠CEB+∠CEF+∠AEF=180
∴X+60+X/2=180
∴X=80
∴∠B=80
【題8】解析:這種類型的題,一般是一條長的線段被分為兩段,只能證AC、CD這兩條線段與AB這條線段平分的兩條線段AE、BE相等,從而證明出來。
證明:∵∠AED是△EDB的一個(gè)外角
又∵∠1=∠B
∴∠AED=2∠B
∴∠AED=∠C=2∠B
∵AD是△ABC的角平分線
∴∠CAD=∠DAE
又∵∠AED=∠C,AD=DA
∴△ACD≌△AED(AAS)
∴AC=AE,CD=DE
∵∠1=∠B
∴DE=BE
∴CD=BE
∵AB=AE+BE
又∵AC=AE,CD=BE
∴AB=AC+CD
【題9】解析:作CF的中點(diǎn)G,連接DG,則FG=GC
又∵BD=DC
∴DG∥BF
∴AE∶ED=AF∶FG
∵AE=ED
∴AF=FG
∴=
∴即AF=FC
【題10】提示:證明三角形ABD和三角形CAF全等。AEBD四點(diǎn)共圓。四邊形EDCF是平行四邊形。(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
【題11】
證明:因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,AD垂直于BC、BE垂直于AC,
所以 ∠BAM=∠CBN ,
又因?yàn)椤螩BM=∠ACN 所以∠ABM=∠BCN
在△ABM和△BCN中,有AB=BC
∠BAM=∠CBN
∠ABM=∠BCN
由三角形全等的判定ASA得
△ABM和△BCN全等
所以 AM=BN
【題12】分析: 要證明BE‖CF,只要證明∠E=∠F;已知∠ABE=∠DCF,又由三角形的外角性質(zhì)可知∠E=∠BAO﹣∠ABE,∠F=∠CDO﹣∠DCF,因此只要證明∠BAO=∠CDO.