A版高中選修2-2《函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)》教案設(shè)計(jì)-劉冰
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A版高中選修2-2《函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)》教案設(shè)計(jì)-劉冰
課題:函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)
---導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
教材:普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教版A版選修2-2
一.【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識目標(biāo)
(1)理解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系。
(2)掌握用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最大值與最小值的方法和步驟。
2.能力目標(biāo)
(1)通過在教師引導(dǎo)下學(xué)生自主探索新知的過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的自學(xué)能力,為學(xué)生學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。
(2)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)和數(shù)學(xué)符號表示能力。
3.情感和價(jià)值目標(biāo)
(1)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)問題探索的樂趣和成功的喜悅,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。
(2)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和理性精神。
二.【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】
1.教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值。
2.教學(xué)難點(diǎn):函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別和聯(lián)系。
三.【教學(xué)方法與手段】
1. 教學(xué)方法:啟發(fā)探究式教學(xué)法
2. 教學(xué)手段:多媒體、實(shí)物投影
四.【教學(xué)過程】
【復(fù)習(xí)引入】
復(fù)習(xí):函數(shù)極大值、極小值是怎樣定義的?
函數(shù)最大值、最小值又是怎樣定義的?
【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)的極值的概念,也通過展現(xiàn)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的書寫形式:把寫成,從而回顧函數(shù)最值的概念。為后面探索最值與極值的關(guān)系作了鋪墊。
【探究新知】
觀察圖中定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象。
圖中哪些是極大值,哪些是極小值
你能找出所給函數(shù)的最大值和最小值嗎?
答:是極大值,與是極小值。
是最大值,是最小值
觀察所給的4個(gè)圖像,探究:函數(shù)的最值與極值有什么關(guān)系?
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生觀察所給出的函數(shù)圖像,討論函數(shù)最值與極值的聯(lián)系與區(qū)別,同時(shí)讓學(xué)生發(fā)表各自的見解。在學(xué)生討論的過程中可以作適當(dāng)?shù)奶崾尽?
比如:
1)閉區(qū)間上的函數(shù)的最值一定存在嗎?個(gè)數(shù)是多少?那極值?
2)函數(shù)最值可以在哪里取得?函數(shù)極值可以在哪里取得?
3)函數(shù)的極值與最值之間有沒有必然的聯(lián)系?
小結(jié)1:函數(shù)的最值與極值之間的聯(lián)系與區(qū)別:
(1)整體與局部的關(guān)系
函數(shù)的最值是一個(gè)整體性概念,是比較整個(gè)定義域內(nèi)的所有函數(shù)值得出,具有絕對性;
函數(shù)的極值是一個(gè)局部性概念,是比較極值點(diǎn)左右的函數(shù)值得出的,具有相對性。
(2)存在性及個(gè)數(shù):
在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必有最大值與最小值,且各有一個(gè);
區(qū)間上的函數(shù)的極值不一定存在,如果存在,可能不止一個(gè)。
(3)取值位置:函數(shù)的最值可以在端點(diǎn)取得;
極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,不能在端點(diǎn)取得。
(4)有最值的函數(shù)未必有極值,極值可能成為最值,最值只要不在端點(diǎn)必為極值。
【設(shè)計(jì)意圖】正是學(xué)生的探究總結(jié),尤其是(4)中提到的最值與極值關(guān)系,才可以引出小結(jié)2。
小結(jié)2:只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可以得出閉區(qū)間上的函數(shù)的最值。
【設(shè)計(jì)意圖】這給出了求最值的一種思路:比較區(qū)間上的所有極值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,可得出最后的結(jié)論。(既然提到了極值,為后面引出函數(shù)極值的求解步驟作了提示)
復(fù)習(xí):求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟:
(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù);
(2)求方程的根;
(3)列表;
(4)結(jié)論:說明極大(小)值。
【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合小結(jié)2,對求極值的求解步驟,改成求最值的步驟,應(yīng)作如何的修改,從而引出了對求最值步驟的思考。
小結(jié)3:導(dǎo)數(shù)法求閉區(qū)間函數(shù)的最值的步驟:
(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù);
(2)求方程的根;
(3)列表(注意端點(diǎn)的函數(shù)值);
(4)結(jié)論:說明最大(小)值。
【設(shè)計(jì)意圖】為學(xué)生求最值提供了又一方法和步驟。
【內(nèi)化新知】
學(xué)生練習(xí):
練習(xí)1:函數(shù)的最小值( )
(A)0; (B); (C); (D);
【設(shè)計(jì)意圖】主要是讓學(xué)生熟悉導(dǎo)數(shù)法求最值的思想方法。
練習(xí)2:求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值。
解:因?yàn)?
令,得或
列表:
-2
-1
2
-
0
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以,所求的最大值是22,最小值是-5
【設(shè)計(jì)意圖】主要是讓學(xué)生熟悉導(dǎo)數(shù)法求最值的基本步驟和格式。
通過練習(xí)1與練習(xí)2對比,讓學(xué)生領(lǐng)會到小題可以小做,大題大做:作為小題,把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可以得出閉區(qū)間上的函數(shù)的最值;作為大題,必須要注意書寫格式,尤其要列表時(shí)要注意:比如區(qū)間端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值不存在,區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值要算出來等。
變式1:已知函數(shù),,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
變形:,,
【設(shè)計(jì)意圖】在練習(xí)2的基礎(chǔ)上,引出了變式1的問題。像這樣的不等式恒成立問題,學(xué)生以前已經(jīng)接觸過。只是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值而已。而前面的練習(xí)2也已經(jīng)求出了最大值,從而可以快速找出了的取值范圍。從而強(qiáng)化了新舊知識間的聯(lián)系。
“變式1中,像這樣的不等式,還可以作什么樣的變化?”通過這樣的設(shè)問,引發(fā)學(xué)生對問題的思考,也再次掀起學(xué)生探究問題的熱情。同時(shí)也啟發(fā)學(xué)生一題多變,避免了題海戰(zhàn)術(shù)。
變式2:已知函數(shù)在區(qū)間的最大值為20。
1)求a的值;2)求函數(shù)在該區(qū)間上的最小值。
解:因?yàn)?
令,得或
列表:
-2
-1
2
-
0
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
又,則
又函數(shù)在區(qū)間的最大值為20
所以,則
【設(shè)計(jì)意圖】變式2是在練習(xí)1的基礎(chǔ)上引入一個(gè)參數(shù)。通過比較變式2與練習(xí)1,啟發(fā)學(xué)生如何去修改原有的解答過程,從而使問題的解決水到渠成;同時(shí)也讓學(xué)生消除對含參問題的懼怕的心理陰影。
變式3:已知函數(shù),試問是否存在實(shí)數(shù),使在區(qū)間上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出的值,若不存在,請說明理由。
解:因?yàn)?
令,得或
當(dāng)時(shí),列表得:
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
+
0
-
-7a+b
單調(diào)遞增
極大值b
單調(diào)遞減
-16a+b
則
則,所以
當(dāng)時(shí),列表得:
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
-
0
+
-7a+b
單調(diào)遞減
極大值b
單調(diào)遞增
-16a+b
則
則,所以
所以或
【設(shè)計(jì)意圖】有了變式2作基礎(chǔ),含參的變式3也就有了解題的思路了。不同的是該函數(shù)在區(qū)間上的增減性,以及函數(shù)的最大值和最小值的取得,必須由的正負(fù)來決定。從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分類處理問題,強(qiáng)化學(xué)生的分類思想意識。當(dāng)然,通過變形3的練習(xí),也讓學(xué)生體會到導(dǎo)數(shù)法求最值中表格的優(yōu)勢所在:從表格中可以快速找出函數(shù)的最大值和最小值,優(yōu)化了解題的過程。
【課堂小結(jié)】
1)函數(shù)的極值與最值的關(guān)系;
2)導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的步驟;
【設(shè)計(jì)意圖】
讓學(xué)生自己去總結(jié),深化學(xué)生對知識理解,完善認(rèn)識結(jié)構(gòu),領(lǐng)悟思想方法;也強(qiáng)化了學(xué)生的情感體驗(yàn),提高認(rèn)識能力。
【課后作業(yè)】
A組:求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。
B組:已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為4。(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)求函數(shù)在該區(qū)間上的最大值。
【設(shè)計(jì)意圖】
A組題是必做題,是檢測所有學(xué)生特別是中下層學(xué)生的聽課效果;而B組題是選做題,在原有的基礎(chǔ)上作更深一層的研究,是檢測中上層學(xué)生分析處理問題的能力。當(dāng)然,這課外作業(yè)也有利于教師發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的不足,及時(shí)反饋調(diào)節(jié)。
教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本節(jié)課旨在加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想去分析和解決問題的意識和能力,即利用導(dǎo)數(shù)知識求閉區(qū)間上可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)的最值,這是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具的一個(gè)具體體現(xiàn),整堂課通過“比較函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系,從而由求極值的求解步驟過渡到函數(shù)最值的求解步驟,到導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值”為線索展開。
1.由于學(xué)生對極值的概念還談不上深入了解,因此教學(xué)中從直觀性和新舊知識的矛盾沖突中激發(fā)學(xué)生的探究熱情,充分利用學(xué)生已有的知識體驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn),遵循學(xué)生認(rèn)知的心理規(guī)律,努力實(shí)現(xiàn)課程改革中以“學(xué)生的發(fā)展為本”的基本理念。
2.關(guān)于教學(xué)過程,對于本節(jié)課的重點(diǎn):求閉區(qū)間上連續(xù),開區(qū)間上可導(dǎo)的函數(shù)的最值的方法和一般步驟,必須讓學(xué)生在課堂上就能掌握。對于難點(diǎn):函數(shù)的最值與極值的聯(lián)系與區(qū)別,主要是通過觀察所給圖像,探究出其聯(lián)系和區(qū)別的,從而探討出求最值問題的優(yōu)化方法。層層遞進(jìn)逐步提出,讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂,師生共同探究解決,知識的建構(gòu)過程充分調(diào)動學(xué)生的主觀能力性。
3.關(guān)于教學(xué)法,為充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,讓學(xué)生能夠主動愉快地學(xué)習(xí),本節(jié)課始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的數(shù)學(xué)教學(xué)思想,引導(dǎo)學(xué)生主動參與到課堂教學(xué)全過程中。
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