2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 2 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 2.3 映射學(xué)案 北師大版必修1

2.3　映　射 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.了解映射、一一映射的概念．(重點(diǎn)) 2．初步了解映射與函數(shù)間的聯(lián)系與區(qū)別．(易混點(diǎn)) 3．感受對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)和映射概念中的作用．(重點(diǎn)) 1.通過學(xué)習(xí)映射的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過學(xué)習(xí)有關(guān)映射的概念提升邏輯推理素養(yǎng). 閱讀教材P32的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題． 1．映射的概念 兩個(gè)非空集合A與B間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系f，而且對(duì)于A中的每一個(gè)元素x，B中總有唯一的一個(gè)元素y與它對(duì)應(yīng)，就稱這種對(duì)應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B. 2．像與原像的概念 在映射f：A→B中，A中的元素x稱為原像，B中的對(duì)應(yīng)元素y稱為x的像，記作f：x→y. 思考1：映射f：A→B的原像集一定是A，像集一定是B嗎？ [提示]　原像集一定是A，像集不一定是B.當(dāng)B中存在元素沒有原像時(shí)，像集不是B. 3．一一映射的概念 閱讀教材P33的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題． 一一映射是一種特殊的映射，它滿足： (1)A中每一個(gè)元素在B中都有唯一的像與之對(duì)應(yīng)； (2)A中的不同元素的像也不同； (3)B中的每一個(gè)元素都有原像． 思考2：對(duì)于一一映射f：A→B，若A中有n個(gè)元素，則B中一定也有n個(gè)元素嗎？ [提示]　B中一定有n個(gè)元素． 4．函數(shù)與映射的關(guān)系 閱讀教材P33的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題． 設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，f是A到B的一個(gè)映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函數(shù)．即函數(shù)是一種特殊的映射，是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射． 思考3：f：學(xué)生→該學(xué)生的學(xué)籍號(hào)，是映射，但它是函數(shù)嗎？ [提示]　不是函數(shù)，因?yàn)榧蟵學(xué)生}不是數(shù)集． 1．設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b，c}，則從集合A到B的一一映射的個(gè)數(shù)為(　　) A．4　 B．6　　　C．9　 D．12 B　[ 共6個(gè)．] 2．設(shè)A＝Z，B＝{0,1}，從A到B的映射是“求被2除的余數(shù)”，則A中元素－3的像是________． 1　[因?yàn)椋?＝(－2)×2＋1，所以，－3的像是1.] 3．下列集合A到集合B的映射f不是函數(shù)的有________． ①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)平方； ②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方； ③A＝N，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)． ②③　[①當(dāng)x∈A時(shí)，y＝x2∈B，是函數(shù)，②當(dāng)x＝1，y＝±1，不是函數(shù)，③當(dāng)x＝0時(shí)，像不存在．] 4．設(shè)f：x→ax－1為從集合A到B的映射，若f(2)＝3，則f(3)＝________. 5　[由f(2)＝3，得2a－1＝3，解得a＝2，所以f(3)＝2×3－1＝5.] 映射、一一映射的判斷 【例1】　已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}．判斷下列對(duì)應(yīng)是否是集合A到集合B的映射，是否是一一映射，并說明理由． (1)f：x→y＝x； (2)f：x→y＝(x－2)2； (3)f：x→y＝(x－1)2. [思路探究]　根據(jù)映射、一一映射的定義判斷． [解]　(1)因?yàn)?≤x≤3，所以0≤x≤1，所以對(duì)集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的像，所以對(duì)應(yīng)f：A→B是集合A到集合B的映射． 對(duì)于集合B中的每一個(gè)元素y，由x＝3y及0≤y≤1，有0≤3y≤3,0≤x≤3.即集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原像，且這樣的原像只有一個(gè)，所以對(duì)應(yīng)f：A→B是一一映射； (2)因?yàn)?≤x≤3，所以－2≤x－2≤1，所以0≤(x－2)2≤4，所以集合A中的某些元素，如x＝0，在集合B中沒有像，因此對(duì)應(yīng)f：A→B不是映射，更不是一一映射； (3)因?yàn)?≤x≤3，所以－1≤x－1≤2,0≤(x－1)2≤1，所以集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的像，所以對(duì)應(yīng)f：A→B是映射． 對(duì)于集合A中的元素x＝0和x＝2，都對(duì)應(yīng)于集合B中的同一個(gè)元素，所以不是一一映射． 1．映射應(yīng)滿足存在性：集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有對(duì)應(yīng)元素；唯一性：集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)． 2．一一映射，在對(duì)應(yīng)是映射的基礎(chǔ)上，若B中沒有剩余元素，且對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”，則為一一映射． 1．下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)中是一一映射的為________．(填序號(hào)) ①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x； ②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝； ③A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→y＝±； ④A＝{平面內(nèi)邊長(zhǎng)不同的等邊三角形}，B＝{平面內(nèi)半徑不同的圓}，f：作等邊三角形的內(nèi)切圓． ②④　[①是映射，不是一一映射，因?yàn)榧螧中有些元素(正整數(shù))沒有原像．②是映射，是一一映射．不同的正實(shí)數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)且仍是正實(shí)數(shù)，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都存在倒數(shù)．③不是映射，因?yàn)榧螦中的元素(如4)對(duì)應(yīng)集合B中的兩個(gè)元素(2和－2)．④是一一映射．] 求像與原像 【例2】　設(shè)f：A→B是一個(gè)映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y) (1)求A中元素(－1,2)的像； (2)求B中元素(－1,2)的原像． [思路探究]　從f：(x，y)→(x－y，x＋y)入手，其中(x，y)是原像，(x－y，x＋y)是像． [解]　(1)當(dāng)x＝－1，y＝2時(shí)，x－y＝－1－2＝－3，x＋y＝－1＋2＝1. 所以(－1,2)的像是(－3,1)． (2)由得 所以(－1,2)的原像是. 1．(變條件)設(shè)A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且從A到B的映射是f：x→2x－1，從B到C的映射是g：y→，則經(jīng)過兩次映射，A中元素1在C中的像為________． 　[f：1→2×1－1＝1，g：1→＝.] 2．(變結(jié)論)已知f：x→y＝|x|＋1是從集合R到R的一個(gè)映射，若b不是該映射的像，則b的取值范圍是________． (－∞，1)　[∵y＝|x|＋1≥1，∴該映射的像集是[1，＋∞)．∴b的取值范圍是(－∞，1)．] 在求像和原像時(shí)要分清原像和像，特別注意原像到像的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)A中元素求像，只需將原像代入對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.對(duì)B中元素求原像，可先設(shè)出它的原像，然后利用對(duì)應(yīng)關(guān)系列出方程(組)求解. 求映射個(gè)數(shù) [探究問題] 1．已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2,3}，試建立一個(gè)從A到B像集為{1,2}的映射． 提示：或 2．對(duì)于探究1中的集合A，B，可以建立多少個(gè)從A到B的映射？ 提示：像集分別為{1}，{2}，{3}的映射各1個(gè)； 像集分別為{1,2}，{1,3}，{2,3}的映射各2個(gè)， 所以，從A到B可以建立9個(gè)映射． 3．對(duì)于探究1中的集合A，B，可以建立多少個(gè)從B到A的映射？ 提示：像集分別為{a}，的映射各1個(gè)，像集為{a，b}的映射有6個(gè)，如下： 所以，從B到A可以建立8個(gè)映射． 【例3】　已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2,3}，映射f：A→B，則滿足f(a)≤f(b)的映射有多少個(gè)？ [思路探究]　建立映射就是給原像找像，一種找法對(duì)應(yīng)一個(gè)映射，為了避免重與漏，可以按f(a)的可能取值分類尋找． [解]　因?yàn)閒(a)≤f(b)， 所以，當(dāng)f(a)＝1時(shí)，f(b)＝1,2,3； 當(dāng)f(a)＝2時(shí)，f(b)＝2,3； 當(dāng)f(a)＝3時(shí)，f(b)＝3. 所以，滿足條件的映射共6個(gè)． 1．確定映射，就是給每個(gè)原像找像，每種找法對(duì)應(yīng)一個(gè)映射． 2．對(duì)于求滿足某些特定要求的映射個(gè)數(shù)時(shí)，可將映射具體化、形象化(如列表、畫圖等)． 2．設(shè)A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，若從A到B的映射滿足f(a)＋f(b)＝f(c)，求這樣的映射f的個(gè)數(shù)． [解]　列表如下： f(b) f(c) f(a) －1 0 1 －1 －1 0 0 －1 0 1 1 0 1 由上表可知，所求的映射有7個(gè)． 1．映射的特征 (1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y與之對(duì)應(yīng)． (2)唯一性：A中任意元素x在B中都有唯一元素y與之對(duì)應(yīng)． (3)方向性：f：A→B與f：B→A一般是不同的映射． 2．一一映射和映射的區(qū)別與聯(lián)系 映射f：A→B 一一映射f：A→B 對(duì)應(yīng)方式 “多對(duì)一”或 “一對(duì)一” 一對(duì)一 原像 B中的一些元素可能沒有原像 B中的任何元素都有唯一的原像 像 A中的幾個(gè)元素可能對(duì)應(yīng)同一個(gè)像 A中的任何元素都對(duì)應(yīng)不同的像 方向性 B到A不一定是映射 B到A是一一映射 1．思考辨析 (1)對(duì)于映射f：A→B，集合B中的每一個(gè)元素都有原像．(　　) (2)若A＝Z，B＝Q，則f：x→y＝是由集合A到集合B的映射．(　　) (3)f：x→y＝x＋1是由自然數(shù)集到自然數(shù)集的一一映射．(　　) [解析]　(1)×；(2)×， 0∈A，但沒有像；(3)×，0∈N，但沒有原像． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．若映射f：x→y＝x－1，則1的像是________． －　[當(dāng)x＝1時(shí)，y＝×1－1＝－.] 3．若映射f：x→y＝x2－3x－2，則2的原像是________． －1或4　[當(dāng)x2－3x－2＝2時(shí)，x＝－1或4. 所以，2的原像為－1或4.] 4．判斷下列對(duì)應(yīng)是否是從集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函數(shù)？ (1)A＝{平面內(nèi)的圓}，B＝{平面內(nèi)的矩形}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：“作圓的內(nèi)接矩形”； (2)A＝B＝Z，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x＋1； (3)A＝B＝N，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝(x－2)2. [解]　(1)不是映射，(2)與(3)是映射，也是函數(shù)，其中(2)是一一映射． - 7 -