2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第七講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 微專題1 函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 理

微專題1　函數(shù)的圖象與性質(zhì) 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計(jì) 考 情 點(diǎn) 擊 2018·全國(guó)卷Ⅱ·T3·函數(shù)的圖象 2018·全國(guó)卷Ⅱ·T11·函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性 2018·全國(guó)卷Ⅲ·T7·函數(shù)的圖象 1.高考對(duì)此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)等方面，多以選擇、填空題形式考查，難度一般。主要考查函數(shù)的定義域，分段函數(shù)求值或分段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的判斷。 2.此部分內(nèi)容有時(shí)出現(xiàn)在選擇、填空題壓軸題的位置，多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題結(jié)合命題，難度較大。 考向一 函數(shù)的概念及其表示 【例1】　(1)(2018·重慶調(diào)研)函數(shù)y＝log2(2x－4)＋的定義域是(　　) A．(2,3) B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞) (2)(2018·石家莊模擬)已在f (x)＝(0<a<1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，則f (f (－3))＝(　　) A．－2　　　B．2 C．3　　　　D．－3 解析　(1)由題意，得解得x>2且x≠3，所以函數(shù)y＝log2(2x－4)＋的定義域?yàn)?2,3)∪(3，＋∞)。故選D。 (2)由題意得，f (－2)＝a－2＋b＝5?、?，f (－1)＝a－1＋b＝3?、冢?lián)立①②，結(jié)合0<a<1，得a＝，b＝1，所以f (x)＝則f (－3)＝－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log39＝2。故選B。 答案　(1)D　(2)B (1)函數(shù)定義域的求法 求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可。 (2)分段函數(shù)問題常見類型及解題策略 ①求函數(shù)值：弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對(duì)應(yīng)的解析式，求“層層套”的函數(shù)值，要從最內(nèi)層逐層往外計(jì)算。②求函數(shù)最值：分別求出每個(gè)區(qū)間上的最值，然后比較大小。③解不等式：根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應(yīng)的解析式求解，但要注意取值范圍的大前提。④求參數(shù)：“分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程。 變|式|訓(xùn)|練 1．函數(shù)f (x)＝的定義域是(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1,2)∪(2，＋∞) D．(－1,2)∪(2，＋∞) 解析　要使f (x)＝有意義，需使即所以函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?－1，2)∪(2，＋∞)。故選D。 答案　D 2．若函數(shù)f (x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。 解析　當(dāng)x≤2時(shí)，y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，符合條件；所以只需使y＝2＋logax(x>2)的值域是[4，＋∞)的子集，即其最小值ymin≥4，故當(dāng)a>1時(shí)，ymin＝2＋loga2≥4，即loga2≥2，解得1<a≤。當(dāng)0<a<1時(shí)，無(wú)最小值，故無(wú)解。綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，]。 答案　(1，] 考向二 函數(shù)的圖象及應(yīng)用 微考向1：函數(shù)圖象的識(shí)別(基礎(chǔ)型) 【例2】　(2018·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f (x)＝的圖象大致為(　　) 解析　因?yàn)閤≠0，f (－x)＝＝－f (x)，所以f (x)為奇函數(shù)，排除A；因?yàn)閒 (1)＝e－e－1>0，所以排除D；x→＋∞時(shí)，y→＋∞，所以排除C。故選B。 答案　B 辨識(shí)函數(shù)圖象的兩種方法 (1)直接根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，或者是根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象。 (2)利用間接法排除、篩選錯(cuò)誤與正確的選項(xiàng)，可以從如下幾個(gè)方面入手： ①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置。 ②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)。 ③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性：如奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。 ④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)。 ⑤從特殊點(diǎn)出發(fā)，排除不符合要求的選項(xiàng)。靈活應(yīng)用上述方法，可以很快判斷出函數(shù)的圖象。 變|式|訓(xùn)|練 (2018·湘東五校聯(lián)考)函數(shù)f (x)＝cosx的圖象的大致形狀是(　　) 解析　因?yàn)閒 (x)＝cosx，所以f (－x)＝cos(－x)＝－cosx＝－f (x)，所以函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除A、C，又當(dāng)x∈時(shí)，ex>e0＝1，－1<0，cosx>0，所以f (x)<0，可排除D。故選B。 答案　B 微考向2：函數(shù)圖象的應(yīng)用(應(yīng)用型) 【例3】　已知函數(shù)f (x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若對(duì)任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________。 解析　 對(duì)任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，即f (x)max≤g(x)min。觀察f (x)＝的圖象可知，當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f (x)max＝。因?yàn)間(x)＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，所以g(x)min＝|k－1|。所以|k－1|≥，解得k≤或k≥。故實(shí)數(shù)k的取值范圍是∪。 答案　∪ 對(duì)于一些函數(shù)與方程、不等式等問題，可通過轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)，再借助函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律求解有關(guān)問題，這樣非常直觀簡(jiǎn)潔，也是數(shù)形結(jié)合思想的充分體現(xiàn)。 變|式|訓(xùn)|練 (2018·南寧摸底)設(shè)函數(shù)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f (x＋2)＝f (2－x)，當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f (x)＝x－1，若在區(qū)間(－2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)有且只有4個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A． B．(1,4) C．(1,8) D．(8，＋∞) 解析　因?yàn)?x∈R，f (x＋2)＝f (2－x)，所以f (x＋4)＝f (2＋(x＋2))＝f (2－(x＋2))＝f (－x)＝f (x)，所以函數(shù)f (x)是一個(gè)周期函數(shù)，且T＝4。又因?yàn)楫?dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f (x)＝x－1＝()－x－1，所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f (x)＝f (－x)＝()x－1，于是x∈[－2，2]時(shí)，f (x)＝()|x|－1，根據(jù)f (x)的周期性作出f (x)的圖象如圖所示。若在區(qū)間(－2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0有且只有4個(gè)不同的根，則a>1且y＝f (x)與y＝loga(x＋2)(a>1)的圖象在區(qū)間(－2,6)內(nèi)有且只有4個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)閒 (－2)＝f (2)＝f (6)＝1，所以對(duì)于函數(shù)y＝loga(x＋2)(a>1)，當(dāng)x＝6時(shí)，loga8<1，解得a>8，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(8，＋∞)。故選D。 答案　D 考向三 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 微考向1：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(應(yīng)用型) 【例4】　(1)函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)x1，x2(x1<x2)，都有x2f (x1)>x1f (x2)，記a＝f (2)，b＝f (1)，c＝－f (－3)，則a，b，c之間的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a(chǎn)>c>b (2)已知函數(shù)f (x)＝(a－2)ax(a>0且a≠1)，若對(duì)任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>0，則a的取值范圍是________。 解析　(1)因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)正數(shù)x1，x2(x1<x2)，都有x2f (x1)>x1f (x2)，所以>，得函數(shù)g(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又c＝－f (－3)＝f (3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c。故選B。 (2)當(dāng)0<a<1時(shí)，a－2<0，y＝ax單調(diào)遞減，所以f (x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<a<2時(shí)，a－2<0，y＝ax單調(diào)遞增，所以f (x)單調(diào)遞減；當(dāng)a＝2時(shí)，f (x)＝0；當(dāng)a>2時(shí)，a－2>0，y＝ax單調(diào)遞增，所以f (x)單調(diào)遞增。又由題意知f (x)單調(diào)遞增，故a的取值范圍是(0,1)∪(2，＋∞)。 答案　(1)B　(2)(0,1)∪(2，＋∞) (1)比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。 (2)對(duì)于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0或>0，則f (x)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)。 (3)若函數(shù)f (x)在定義域(或某一區(qū)間)上是增函數(shù)，則f (x1)<f (x2)?x1<x2，利用上式，可以去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式。 變|式|訓(xùn)|練 1．(2018·晉城一模)已知函數(shù)f (x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f (0)<0，則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．[－1,1) D．(－3，－1] 解析　令g(x)＝－x2－2x＋3，由題意知g(x)>0，可得－3<x<1，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－3<x<1}。根據(jù)f (0)＝loga3<0，可得0<a<1，則本題即求函數(shù)g(x)在(－3,1)內(nèi)的減區(qū)間。利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)g(x)在(－3,1)內(nèi)的減區(qū)間為[－1,1)。故選C。 答案　C 2．(2018·鄭州一模)若函數(shù)y＝在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值為M，最小值為m，則M－m＝(　　) A．　　　　B．2 C．　　　　D． 解析　可令|x|＝t，則1≤t≤4，y＝－，易知y＝－在[1,4]上遞增，所以其最小值為1－1＝0；最大值為2－＝，則m＝0，M＝，則M－m＝。故選A。 答案　A 微考向2：函數(shù)奇偶性、周期性、對(duì)稱性的應(yīng)用(綜合型) 【例5】　(1)已知f (x)為奇函數(shù)，函數(shù)f (x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱，若g(1)＝4，則f (－3)＝(　　) A．2　　　B．－2 C．－1　　　D．4 (2)(2018·安徽“江南十?！甭?lián)考)f (x)是R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f (x)＝－f ，當(dāng)x∈時(shí)，f (x)＝log2(2x－1)，則f (2 018)＋f (2 019)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f (x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱，點(diǎn)(1,4)與點(diǎn)(3,2)關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱，又g(1)＝4，則f (3)＝2，因?yàn)閒 (x)為奇函數(shù)，所以f (－3)＝－2。故選B。 (2)因?yàn)閒 (x)是R上的奇函數(shù)，且f (x)＝－f ，所以f ＝－f (x)。所以f ＝－f ＝f (x)，即f (x＋3)＝f (x)。所以函數(shù)f (x)的最小正周期為3，所以f (2 018)＋f (2 019)＝f (672×3＋2)＋f (673×3＋0)＝f (2)＋f (0)＝f (－1＋3)＋f (0)＝f (－1)＋f (0)＝－f (1)＝0。故選A。 答案　(1)B　(2)A 利用函數(shù)性質(zhì)求值的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及函數(shù)的周期性將自變量轉(zhuǎn)化到指定區(qū)間內(nèi)，然后代入函數(shù)解析式求值。記住以下結(jié)論： 若對(duì)于函數(shù)f (x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有： (1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，則函數(shù)f (x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期。 (2)f (x＋a)＝(a≠0，f (x)≠0)，則函數(shù)f (x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期。 (3)f (x＋a)＝－(a≠0，f (x)≠0)，則函數(shù)f (x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期。 變|式|訓(xùn)|練 1．(2018·貴陽(yáng)摸底)函數(shù)f (x)＝a＋(a，b∈R)是奇函數(shù)，且圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)f (x)的值域?yàn)?　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) 解析　函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，且函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，所以f (0)＝a＋＝0　①，又因?yàn)楹瘮?shù)f (x)的圖象過點(diǎn)，所以a＋＝a＋＝?、冢鶕?jù)①②可得a＝1，b＝－2，所以f (x)＝1＋。ex＋1>1?－2<<0?－1<1＋<1，所以函數(shù)f (x)的值域?yàn)?－1，1)。故選A。 答案　A 2．函數(shù)y＝f (x)滿足對(duì)任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)成立，且函數(shù)y＝f (x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，f (1)＝4，則f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值為________。 解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝f (x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以f (x)是R上的奇函數(shù)，f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，故f (x)的周期為4，所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 016＋2)＝f (2 016)－f (2 016)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4。 答案　4 考向四 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì) 【例6】　(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析　解法一：因?yàn)閍＝log2e>1，b＝ln2∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e>1，所以c>a>b。故選D。 解法二：log＝log23，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝log2x，y＝lnx的圖象，由圖知c>a>b。故選D。 答案　D 對(duì)數(shù)值的大小比較方法 (1)化為同底的對(duì)數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性比較。 (2)利用作差或作商法比較。 (3)利用中間值(0或1)比較。 (4)化為同真數(shù)的對(duì)數(shù)后利用圖象比較。 變|式|訓(xùn)|練 解析　 答案　B 2．已知a是大于0的常數(shù)，把函數(shù)y＝ax和y＝＋x的圖象畫在同一平面直角坐標(biāo)系中，不可能出現(xiàn)的是(　　) 解析　因?yàn)閍>0，所以y＝＋x是對(duì)勾函數(shù)，若0<a≤1，則當(dāng)x>0時(shí)，y＝＋x的值大于等于2，函數(shù)y＝ax和y＝＋x的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)。故選D。 答案　D 1．(考向一)(2018·江蘇高考)函數(shù)f (x)滿足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2,2]上，f (x)＝則f (f (15))的值為________。 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f (x)滿足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，所以函數(shù)f (x)的最小正周期是4。因?yàn)樵趨^(qū)間(－2,2]上，f (x)＝所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ＝cos＝。 答案　 2．(考向二)(2018·重慶六校聯(lián)考)函數(shù)f (x)＝的大致圖象為(　　) 解析　易知函數(shù)f (x)＝為奇函數(shù)且定義域?yàn)閧x|x≠0}，只有D滿足。故選D。 答案　D 3．(考向二)函數(shù)f (x)＝與g(x)＝|x＋a|＋1的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．R B．(－∞，－e] C．[e，＋∞) D．? 解析　 設(shè)y＝h(x)與y＝f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則h(x)＝f (－x)＝作出函數(shù)y＝h(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，因?yàn)閒 (x)與g(x)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以y＝h(x)與y＝g(x)的圖象有交點(diǎn)，所以－a≤－e，即a≥e。故選C。 答案　C 4．(考向三)已知函數(shù)f (x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于(　　) A．4 B．2 C．1 D．0 解析　設(shè)t＝x－1，則f (x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2,2]，記g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，則函數(shù)y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函數(shù)，由已知y＝g(t)－2的最大值為M－2，最小值為m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4。故選A。 答案　A 5．(考向四)(2018·洛陽(yáng)聯(lián)考)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c 解析　因?yàn)閍＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因?yàn)閘og32>log52>log72，所以a>b>c。故選D。 答案　D 6．(拓展型)(2018·廣州調(diào)研)對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f (x)，若滿足①f (0)＝0；②當(dāng)x∈R，且x≠0時(shí)，都有xf ′(x)>0；③當(dāng)x1<0<x2，且|x1|＝|x2|時(shí)，都有f (x1)<f (x2)，則稱f (x)為“偏對(duì)稱函數(shù)”?，F(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：f1(x)＝－x3＋x2；f 2(x)＝ex－x－1；f3(x)＝f4(x)＝則其中是“偏對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　f1(0)＝0，f2(0)＝e0－0－1＝0，f 3(0)＝ln1＝0，f4(0)＝0，即四個(gè)函數(shù)均滿足條件①。f 1′(x)＝－3x2＋3x，xf 1′(x)＝x(－3x2＋3x)＝－3x2(x－1)，當(dāng)x>1時(shí)，xf 1′(x)<0，不滿足條件②，則函數(shù)f 1(x)不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；f 2′(x)＝ex－1，xf 2′(x)＝x(ex－1)，當(dāng)x≠0時(shí)，恒有xf 2′(x)>0，故滿足條件②；f 3′(x)＝故xf 3′(x)＝故xf 3′(x)>0在x≠0時(shí)恒成立，故滿足條件②；因?yàn)楫?dāng)x≠0時(shí)，f4(x)＝x＝x·＝· ，所以f4(－x)＝·＝·＝·＝f4(x)，所以當(dāng)x≠0時(shí)，f4(x)是偶函數(shù)，所以當(dāng)x1<0<x2，且|x1|＝|x2|時(shí)，有f4(x1)＝f4(x2)，不滿足條件③，所以f 4(x)不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；當(dāng)x1<0<x2，且|x1|＝|x2|時(shí)，有f 2(x2)－f 2(x1)＝ex2－x2－1－ex1＋x1＋1＝ex2－e－x2－2x2，構(gòu)造函數(shù)H(x)＝ex－e－x－2x，則有H′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，即H(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，則x∈(0，＋∞)時(shí)，H(x)>H(0)＝0，故f 2(x2)－f 2(x1)>0恒成立，所以f 2(x)滿足條件③；當(dāng)x1<0<x2，且|x1|＝|x2|時(shí)，有f 3(x2)－f 3(x1)＝2x2－ln(－x1＋1)＝2x2－ln(x2＋1)，構(gòu)造函數(shù)T(x)＝2x－ln(1＋x)。則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，T′(x)＝2－＝>0，所以T(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，T(x)>T(0)＝0，故f 3(x2)－f 3(x1)>0恒成立，故f 3(x)滿足條件③。綜上可知“偏對(duì)稱函數(shù)”有2個(gè)。故選C。 答案　C 12