2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點難點突破 專題21 坐標系與參數(shù)方程教學(xué)案 文（含解析）

坐標系與參數(shù)方程 【2019年高考考綱解讀】 高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化、常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用．以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線的位置關(guān)系等解析幾何知識． 【重點、難點剖析】 1．直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 2．直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程 (1)直線過極點：θ＝α； (2)直線過點M(a,0)(a>0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程 (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. (4)圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)．圓心在點A(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 設(shè)P是直線上的任一點，則t表示有向線段的數(shù)量． 5．圓的參數(shù)方程 圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． 6．圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)雙曲線－＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 【題型示例】 題型一　極坐標方程和參數(shù)方程 【例1】(2018·全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； 【思路方法】(1)先列方程，再進一步轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程． (2)解出交點，再求得直線方程，最后轉(zhuǎn)化為極坐標方程． 【解析】(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)，依題意，得 由x＋y＝1，得x2＋2＝1， 即曲線C的方程為x2＋＝1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 【感悟提升】若極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸正半軸重合，兩坐標系的長度單位相同，則極坐標方程與直角坐標方程可以互化．求解與極坐標方程有關(guān)的問題時，可以轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標方程求解．若最終結(jié)果要求用極坐標表示，則需將直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標． 題型二　參數(shù)方程與普通方程的互化 【例2】(2018·全國Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程． 【解析】　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 . 設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是. 【感悟提升】(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若x，y有范圍限制，要標出x，y的取值范圍． 【變式探究】 【2017·江蘇】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 在平面坐標系中中,已知直線的參考方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為( 為參數(shù)).設(shè)為曲線上的動點，求點到直線的距離的最小值. 【答案】 【解析】直線的普通方程為. 因為點在曲線上，設(shè)， 從而點到直線的的距離， 當時， . 因此當點的坐標為時，曲線上點到直線的距離取到最小值. 【考點】參數(shù)方程化普通方程 【變式探究】在直角坐標系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）． 在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2：ρ=. （I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程； （II）直線C3的極坐標方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a． 【答案】（I）圓,（II）1 【解析】解：（Ⅰ）消去參數(shù)得到的普通方程. 是以為圓心，為半徑的圓. 將代入的普通方程中，得到的極坐標方程為 . （Ⅱ）曲線的公共點的極坐標滿足方程組 若，由方程組得，由已知， 可得，從而，解得（舍去），. 時，極點也為的公共點，在上.所以. 【變式探究】在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 【變式探究】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，M是C1上的動點，P點滿足＝2，點P的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程； (2)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求AB. 【解析】(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M，由于M點在C1上，所以即 從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8sin θ.射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin，射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2. 【規(guī)律方法】解決這類問題一般有兩種思路，一是將極坐標方程化為直角坐標方程，求出交點的直角坐標，再將其化為極坐標；二是將曲線的極坐標方程聯(lián)立，根據(jù)限制條件求出極坐標．要注意題目所給的限制條件及隱含條件． 【變式探究】將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程． 解　(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)镃上點(x，y)， 依題意，得 由x＋y＝1得x2＋＝1， 即曲線C的方程為x2＋＝1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)由解得：或 不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點坐標為，所求直線斜率為k＝，于是所求直線方程為y－1＝， 化為極坐標方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝. 題型三　極坐標 參數(shù)方程及其應(yīng)用 【例3】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線m：θ＝β(ρ>0)． (1)求C和l的極坐標方程； (2)設(shè)點A是m與C的一個交點(異于原點)，點B是m與l的交點，求的最大值． 解　(1)曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1， 由得2＋ρ2sin2θ＝1， 化簡得C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. 因為l的普通方程為x＋y－4＝0， 所以極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 所以l的極坐標方程為ρsin＝2. (2)設(shè)A(ρ1，β)，B(ρ2，β)， 則＝＝2cos β· ＝(sin βcos β＋cos2β)＝sin＋， 由射線m與C，直線l相交，則不妨設(shè)β∈， 則2β＋∈， 所以當2β＋＝，即β＝時，取得最大值， 即max＝. 【感悟提升】　(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義． (2)在解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時，常常將極坐標方程化為直角坐標方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于認識方程所表示的曲線，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用． 【變式探究】在平面直角坐標系中，以原點為極點，以x軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (1)若曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，求曲線C1的直角坐標方程和曲線C2的普通方程； (2)若曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，A(0,1)，且曲線C1與曲線C2的交點分別為P，Q，求＋的取值范圍． 【解析】　(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 又∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x， ∴曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0， 曲線C2的普通方程為x2＋(y－1)2＝t2. (2)將C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入C1的方程x2＋y2－2x＝0，得t2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0. ∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin2－4>0， ∴∈， ∴sin∈∪. t1＋t2＝－(2sin α－2cos α)＝－2sin， t1t2＝1>0， ∵t1t2＝1>0，∴t1，t2同號，∴|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|. 由點A在曲線C2上，根據(jù)t的幾何意義，可得 ＋＝＋＝ ＝＝ ＝2∈(2,2]． ∴＋∈(2,2]． 【變式探究】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 . （1）若a=?1，求C與l的交點坐標； （2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a. 【答案】（1）與的交點坐標為， ；（2）或. 【解析】（1）曲線的普通方程為. 當時，直線的普通方程為. 由解得或. 從而與的交點坐標為， . （2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為 . 當時， 的最大值為.由題設(shè)得，所以； 當時， 的最大值為.由題設(shè)得，所以. 綜上， 或. 【變式探究】在直角坐標系中，圓的方程為． （Ⅰ）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程； （Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）, 與交于兩點，，求的斜率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（I）由可得的極坐標方程 （II）在（I）中建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為 由所對應(yīng)的極徑分別為將的極坐標方程代入的極坐標方程得 于是 由得， 所以的斜率為或. 【變式探究】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2cos 2θ＝4，則直線l與曲線C的交點的極坐標為________． 解析　直線l的直角坐標方程為y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點為(－2，0)，其極坐標為(2，π)． 答案　(2，π) 【變式探究】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想． 【解題思路】(1)消去參數(shù)，即可求出直線l與圓C的普通方程． (2)求出圓心的坐標，利用圓心到直線l的距離不大于半徑，得到關(guān)于參數(shù)a的不等式，即可求出參數(shù)a的取值范圍． 【解析】(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. (2)因為直線l與圓C有公共點， 故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4， 解得－2≤a≤2. 【感悟提升】 1．將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參和三角恒等式消參等，往往需要對參數(shù)方程進行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件． 2．在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解． 【變式探究】在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． ①求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； ②設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 11