2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3講 柯西不等式與排序不等式 2 一般形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5

二　一般形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握三維形式和多維形式的柯西不等式．(重點(diǎn))2.會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 教材整理1　三維形式的柯西不等式 閱讀教材P37～P38“探究”以上部分，完成下列問題． 設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，則(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.當(dāng)且僅當(dāng)b1＝b2＝b3＝0或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)時，等號成立．我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式． 已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是(　　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．2 B　[根據(jù)柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.] 教材整理2　一般形式的柯西不等式 閱讀教材P38～P40，完成下列問題． 設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立． 已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，則a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝＝1時取等號， ∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.] 利用柯西不等式求最值 【例1】　已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值． [精彩點(diǎn)撥]　由于＋＋＝2，可考慮把已知條件與待求式子結(jié)合起來，利用柯西不等式求解． [自主解答]　∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴·(a＋2b＋3c)＝＋＋[()2＋()2＋()2] ≥＝(1＋2＋3)2＝36. 又＋＋＝2，∴a＋2b＋3c≥18， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時等號成立， 綜上，當(dāng)a＝b＝c＝3時，a＋2b＋3c取得最小值18. 利用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是對原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果．同時，要注意等號成立的條件． 1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值． [解]　由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)． 又x＋4y＋9z＝1， ∴x2＋y2＋z2≥，(*) 當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝時，等號成立， ∴x＝，y＝，z＝時，(*)取等號． 因此，x2＋y2＋z2的最小值為. 運(yùn)用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍 【例2】　已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍． [精彩點(diǎn)撥]　“恒成立”問題需求＋＋的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值． [自主解答]　∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. ∴＋＋＝1. 又＋＋ ≤＝ ≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z， 即x＝y(tǒng)＝z＝時等號成立． ∴＋＋的最大值為. 故＋＋≤λ恒成立時， 應(yīng)有λ≥. 因此λ的取值范圍是. 應(yīng)用柯西不等式，首先要對不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性”應(yīng)用定理． 2．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，試求a的取值范圍． [解]　由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a， 由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， (2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由條件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,2]. 利用柯西不等式證明不等式 [探究問題] 在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以嗎？ [提示]　不可以．若bi＝0而ai≠0，則k不存在． 【例3】　已知a，b，c∈R＋，求證：＋＋≥9. [精彩點(diǎn)撥]　對應(yīng)三維形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得證． [自主解答]　∵a，b，c∈R＋， 由柯西不等式，知 ＝＋＋×＋＋≥ ＝(1＋1＋1)2＝9， ∴≥9. 1．當(dāng)ai，bi是正數(shù)時，柯西不等式變形為(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2. 2．本題證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩組數(shù)，創(chuàng)造使用柯西不等式的條件．在運(yùn)用柯西不等式時，要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，正確配湊出公式兩側(cè)的數(shù)組． 3．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. [解]　(1)因?yàn)閒(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1. (2)證明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥ ＝9. 1．設(shè)a＝(－2,1,2)，|b|＝6，則a·b的最小值為(　　) A．18　　　　　　　 B．6 C．－18 D．12 C　[|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18. ∴－18≤a·b≤18，當(dāng)a，b反向時，a·b最小，最小值為－18.] 2．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，則a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D．[－1,1] B　[∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4， ∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2， 即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)ai＝bi(i＝1,2，…，n)時，右邊等號成立； 當(dāng)且僅當(dāng)ai＝－bi(i＝1,2，…，n)時，左邊等號成立，故選B.] 3．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則 的最小值為________． [解析]　根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值為. [答案]　 4．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(a＋b＋c)的最小值為________． [解析]　由a，b，c為正數(shù)， ∴(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥＝121， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝k(k>0)時等號成立． 故(a＋b＋c)的最小值是121. [答案]　121 5．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值． [解]　由柯西不等式得 (x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝時等號成立．故x2＋4y2＋z2的最小值為. - 6 -