2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形學案
第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形
第1課時 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)
① 了解任意角的概念;了解終邊相同的角的意義.
② 了解弧度的意義,并能進行弧度與角度的互化.
③ 理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;了解有向線段的概念,會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切.
① 能進行角度與弧度的互化.
② 能判斷角所在的象限,會判斷半角和倍角所在的象限.
③ 準確理解任意角的三角函數(shù)的定義,熟記特殊角的三角函數(shù)值,并能準確判斷三角函數(shù)值的符號.
1. (必修4P10習題9改編)小明從家步行到學校需要15 min,則這段時間內(nèi)鐘表的分針走過的角度是________.
答案:-90°
解析:利用定義得分針是順時針走的,形成的角是負角.又周角為360°,所以×15=90°,即分針走過的角度是-90°.
2. (必修4P10習題4改編)若角θ的終邊與角的終邊相同,則在[0,2π)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角的集合為__________________.(用列舉法表示)
答案:
解析:由題意θ=+2kπ(k∈Z),∴ =+kπ(k∈Z).
由0≤<2π,即0≤+kπ<2π知-≤k<,k∈Z.
∴ k=0或1.故在[0,2π)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角的集合為.
3. (必修4P9例3改編)已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長為__________.
答案:6
解析:設(shè)扇形的半徑為R,則R2α=2,∴ R2×4=2.而R2=1,∴ R=1,∴ 扇形的周長為2R+α·R=2+4=6.
4. 已知角θ的終邊經(jīng)過點P(8,m+1),且sin θ=,則m=________.
答案:5
解析:sin θ==,解得m=5.
5. 函數(shù)y=lg(2cos x-1)的定義域為____________.
答案:(k∈Z)
解析:∵ 2cos x-1>0,∴ cos x>.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示),∴ x∈(k∈Z).
1. 任意角
(1) 角的概念的推廣
① 按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.
② 按終邊位置不同分為象限角和軸線角.
(2) 終邊相同的角
終邊與角α相同的角可寫成α+k·360°(k∈Z).
(3) 弧度制
① 1弧度的角:長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.
② 規(guī)定:正角的弧度數(shù)為正數(shù),負角的弧度數(shù)為負數(shù),零角的弧度數(shù)為零,|α|=,l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長,r為半徑.
③ 弧度與角度的換算:360°=2π rad;180°=π rad;1°= rad;1 rad=度.
④ 弧長公式:l=|α|r.
扇形面積公式:S扇形=lr=|α|r2.
2. 任意角的三角函數(shù)
(1) 任意角的三角函數(shù)的定義
設(shè)P(x,y)是角α終邊上任意一點,且|PO|=r(r>0),則有sin α=,cos α=,tan α=,它們都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).
(2) 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的正值口訣是:Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.
(3) 特殊角的三角函數(shù)值
角α
α弧度數(shù)
sin α
cos α
tan α
0°
0
0
1
0
30°
45°
1
60°
90°
1
0
/
120°
-
-
續(xù)表
角α
α弧度數(shù)
sin α
cos α
tan α
135°
-
-1
150°
-
-
180°
π
0
-1
0
270°
-1
0
/
3. 三角函數(shù)線
設(shè)角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸非負半軸重合,終邊與單位圓相交于點P,過點P作PM垂直x軸于點M,則點M是點P在x軸上的正射影.由三角函數(shù)的定義知,
點P的坐標為(cos_α,sin_α),其中cos α=OM,sin α=MP,單位圓與x軸的正半軸交于點A,單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點T,則tan α=AT.我們把有向線段OM,MP,AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線.
三角函數(shù)線
[備課札記]
, 1 象限角及終邊相同的角)
, 1) (1) 已知α=-2 017°,則與角α終邊相同的最小正角為________,最大負角為________.
(2) (必修4P10習題12改編)已知角α是第三象限角,試判斷:
① π-α是第幾象限角?② 是第幾象限角?③ 2α的終邊在什么位置?
(1) 答案:143°?。?17°
解析:α可以寫成-6×360°+143°的形式,則與α終邊相同的角可以寫成k·360°+143°(k∈Z)的形式.當k=0時,可得與角α終邊相同的最小正角為143°,當k=-1時,可得最大負角為-217°.
(2) 解:①∵ α是第三象限角,
∴ 2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z.
∴ -2kπ-<π-α<-2kπ,k∈Z.
∴ π-α是第四象限角.
② ∵ kπ+<<kπ+,k∈Z,
∴ 是第二或第四象限角.
③ ∵ 4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z,
∴ 2α的終邊在第一或第二象限或y軸非負半軸上.
變式訓練
(必修4P10習題5改編)終邊在直線y=x上的角的集合可表示為____________.
答案:
解析:直線y=x 經(jīng)過第一象限、第三象限,直線的傾斜角為,則終邊在該直線上的角的集合為{x|x=kπ+,k∈Z}.
, 2 三角函數(shù)的定義)
, 2) (1) 點P是始邊與x軸的正半軸重合、頂點在原點的角θ的終邊上的一點,若|OP|=2,θ=60°,則點P的坐標是__________;
(2) (2017·泰州模擬)已知角α的終邊過點P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,則m的值為________.
答案:(1) (1,) (2)
解析:(1) 設(shè)點P的坐標為(x,y),由三角函數(shù)的定義,得sin 60°=,cos 60°=,所以x=2cos 60°=1,y=2sin 60°=,故點P的坐標為(1,).
(2) ∵ r=,∴ cos α==-,
∴ m>0,∴ =,即m=.
變式訓練
(2017·無錫期末)已知角α的終邊與單位圓的交點為P,則sin α·tan α=________.
答案:-
解析:由OP2=+y2=1,得y2=,y=±.
當y=時,sin α=,tan α=-,此時sin α·tan α=-.
當y=-時,sin α=-,tan α=,此時sin α·tan α=-.
, 3 三角函數(shù)的符號及判定)
, 3) 點A(sin 2 017°,cos(-2 017°))位于第________象限.
答案:三
解析:因為2 017°=5×360°+217°是第三象限角,所以sin 2 017°<0.又-2 017°=-6×360°+143°是第二象限角,所以cos(-2 017°)<0,所以點A(sin 2 017°,cos(-2 017°))位于第三象限.
變式訓練
下列判斷正確的是________.(填序號)
① sin 300°>0;② cos(-305°)<0;③ tan>0;④ sin 10<0.
答案:④
解析:300°=360°-60°,則300°是第四象限角;
-305°=-360°+55°,則-305°是第一象限角;
-π=-8π+π,則-π是第二象限角;
因為3π<10<π,所以10是第三象限角.
故sin 300°<0,cos(-305°)>0,tan<0,sin 10<0,④正確.
, 4 弧長公式與扇形面積公式)
, 4) 扇形AOB的周長為8 cm.
(1) 若這個扇形的面積為3 cm2,求圓心角的大??;
(2) 求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.
解:設(shè)扇形AOB的半徑為r cm,弧長為l cm,圓心角為α,
(1) 由題意可得解得或
∴ α==或6.
(2) ∵ 2r+l=8,∴ S扇=lr=l·2r≤·=×=4(cm2),
當且僅當2r=l,即α==2時,扇形面積取得最大值,
∴ r=2,∴ 弦長AB=2×2sin 1=4sin 1(cm).
已知扇形的周長是4 cm,則扇形面積最大時,扇形的圓心角的弧度數(shù)是________;扇形的圓心角所對的弦長為________cm.
答案: 2 2sin 1
解析:設(shè)此扇形的半徑為r cm,弧長為l cm,則2r+l=4,面積S=rl=r(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1,故當r=1時S最大,這時l=4-2r=2 cm.從而α===2.
扇形的圓心角所對的弦長為2sin 1 cm.
1. 若tan(α+45°)<0,則sin α,cos α,sin 2α,cos 2α中一定為負數(shù)的是__________.
答案:cos 2α
解析:∵ tan(α+45°)<0,∴ k·180°-135°<α<k·180°-45°,∴ k·360°-270°<2α<k·360°-90°,∴ cos 2α<0.
2. (2017·蘇州期末)已知角θ的終邊經(jīng)過點P(4,m),且sin θ=,則m=________.
答案:3
解析:sin θ==,解得m=3.
3. 若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),則下列關(guān)于角α與β的終邊的位置關(guān)系的說法正確的是________.(填序號)
① 重合;② 關(guān)于原點對稱;③ 關(guān)于x軸對稱;④ 關(guān)于y軸對稱.
答案:③
解析:顯然角α與角θ的終邊相同,角β與角-θ的終邊相同,而θ與-θ的終邊關(guān)于x軸對稱,故說法正確的是③.
4. 已知一扇形的圓心角為α (α>0),扇形所在圓的半徑為R.
(1) 若α=90°,R=10 cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積;
(2) 若扇形的周長是一定值C cm(C>0),當α為多少弧度時,該扇形有最大面積?
解:(1) 設(shè)弧長為l,弓形面積為S弓,又α=90°=,R=10,則l=×10=5π(cm),
S弓=S扇-S三角形=×5π×10-×102=25π-50 (cm2).
(2) 扇形周長C=2R+l=(2R+αR)cm,∴ R=cm,
∴ S扇=α·R2=α·=·=·≤.
當且僅當α2=4,即α=2時,扇形面積有最大值 cm2.
1. 給出下列命題:
① 第二象限角大于第一象限角;
② 三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;
③ 不論用角度制還是用弧度制度量一個角,它們與扇形所在半徑的大小無關(guān);
④ 若sin α=sin β,則α與β的終邊相同;
⑤ 若cos θ<0,則θ是第二或第三象限的角.
其中正確的命題是________.(填序號)
答案:③
解析:由于第一象限角370°大于第二象限角100°,故①錯;當三角形的內(nèi)角為90°時,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②錯;③正確;正弦值相等,但角的終邊不一定相同,故④錯;當θ=π時,cos θ=-1<0,θ既不是第二象限角,也不是第三象限角,故⑤錯.綜上可知,只有③正確.
2. 已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos 2θ=________.
答案:-
解析:取終邊上一點(a,2a)(a≠0),根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,可得cos θ=±,故cos 2θ=2cos2θ-1=-.
3. (2017·揚州一中月考改編)已知角α的終邊與單位圓x2+y2=1交于點P,則cos α=________.
答案:
解析:∵ r=1,∴ cos α==.
4. (2017·蘇北四市期末)已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,則實數(shù)a的取值范圍是________.
答案:(-2,3]
解析:∵ cos α≤0,sin α>0,
∴ 角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.
∴ ∴ -2<a≤3.
1. (1) 要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再根據(jù)條件解方程或不等式.
(2) 已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點的坐標,求出此點到原點的距離,然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題.若直線的傾斜角為特殊角,也可直接寫出角.
2. 已知角α終邊上一點P的坐標,則可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解α的三角函數(shù)值.
3. 弧度制下的扇形的弧長與面積公式,比角度制下的扇形的弧長與面積公式要簡潔得多,用起來也方便得多.因此,我們要熟練地掌握弧度制下扇形的弧長與面積公式.
4. 利用單位圓解有關(guān)三角函數(shù)的不等式(組)的一般步驟
(1) 用邊界值定出角的終邊位置.
(2) 根據(jù)不等式(組)定出角的范圍.
(3) 求交集,找單位圓中公共的部分.
(4) 寫出角的表達式.
第2課時 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與
誘導公式(對應(yīng)學生用書(文)、(理)51~52頁)
① 會運用同角三角函數(shù)進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明.
② 能運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),會運用它們進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明.
① 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,=tan α.② 理解正弦、余弦、正切的誘導公式[2kπ+α(k∈Z),-α,π±α,±α].
1. 已知sin α=,且α∈,則tan α=__________.
答案:-
解析:由sin α=,α∈,得cos α=-,
則tan α==-.
2. (必修4P20練習2改編)sin(-585°)的值為__________.
答案:
解析:sin(-585°)=-sin 585°=-sin(360°+225°)=-sin 225°=-sin(180°+45°)=sin 45°=.
3. (2017·蘇北四市摸底)已知sin=,則cos α的值為________.
答案:
解析:∵ sin=sin=cos α,∴ cos α=.
4. (必修4P23習題11改編)已知tan α=2,則=__________.
答案:1
解析:因為tan α=2,所以===1.
5. (必修4P21例4改編)若sin=,則cos+cos2=__________.
答案:
解析:∵ sin =,
∴ sin=,
∴ cos =.
∴ cos2=1-sin2=1-sin2
=1-sin2=1-=.
∴ cos+cos2=+=.
1. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1) 平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.
(2) 商數(shù)關(guān)系:tan_α=.
2. 誘導公式
組數(shù)
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
-cos α
cos α
-cos α
sin α
-sin α
正切
tan α
tan α
-tan α
-tan α
口訣
函數(shù)名不變符號看象限
函數(shù)名改變符號看象限
k·±α(k∈Z)與α的三角函數(shù)關(guān)系的記憶規(guī)律:奇變偶不變,符號看象限.
, 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式)
, 1) (必修4P23習題20改編)已知-<x<0,sin x+cos x=.
(1) 求sin2x-cos2x的值;
(2) 求的值.
解:由sin x+cos x=,得1+2sin xcos x=,
則2sin xcos x=-.
∵ -<x<0,∴ sin x<0,cos x>0,即sin x-cos x<0.
則sin x-cos x=-=-=-.
(1) sin2x-cos2x=(sin x+cos x)(sin x-cos x)
=×=-.
(2) 由得則tan x=-.
即==.
變式訓練
(2017·鹽城模擬)已知sin αcos α=,且<α<,則cos α-sin α的值為________.
答案:
解析:∵ <α<,∴ cos α<0,sin α<0,且cos α>sin α,∴ cos α-sin α>0.
又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,
∴ cos α-sin α=.
, 2) (必修4P23習題12(2)改編)化簡:
(-)·(-).
解:原式=[-]·[-]=(-)·(-)=·
=
若α為第二象限角,則cos α+sin α=________.
答案:0
解析:原式=cos α+sin α=cos α+sin α.因為α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α+sin α=-1+1=0,即原式等于0.
, 2 誘導公式及其運用)
, 3) 已知sin=,則sin+sin2的值為__________.
答案:
解析:由誘導公式得sin =-sin=-,sin2=cos2=,則sin+sin2=-=.
變式訓練
已知cos=a(|a|≤1),則cos+sin=__________.
答案:0
解析:由題意知,cos=cos=
-cos=-a.
sin=sin=cos=a,
∴ cos+sin=0.
, 3 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式的綜合應(yīng)用)
, 4) (1) 設(shè)tan(5π+α)=m,求的值;
(2) 在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三個內(nèi)角.
解:(1) 由tan(5π+α)=m,得tan α=m,
∴ ===.
(2) 由已知得
①2+②2得2cos2A=1,即cos A=±.
(ⅰ) 當cos A=時,cos B=.
又∵ A,B是三角形的內(nèi)角,
∴ A=,B=,∴ C=π-(A+B)=.
(ⅱ) 當cos A=-時,cos B=-.
又∵ A,B是三角形的內(nèi)角,
∴ A=,B=,不合題意.
綜上知,A=,B=,C=.
變式訓練
(1) (2017·江西聯(lián)考)已知tan(π-α)=-,且α∈,求的值;
(2) 在△ABC中,若sin(3π-A)=sin(π-B),cos=cos(π-B).試判斷三角形的形狀.
解:(1) 由已知得tan α=,====-.
(2) 由題設(shè)條件,得sin A=sin B,-sin A=-cos B,
∴ sin B=cos B,∴ tan B=1.
∵ B∈(0,π),∴ B=,
∴ sin A=×=1.
又A∈(0,π),∴ A=,∴ C=.
∴ △ABC是等腰直角三角形.
1. 已知cos 31°=a,則sin 239°·tan 149°的值是________.
答案:
解析:sin 239°·tan 149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=(-cos 31°)·(-tan 31°)=sin 31°=.
2. 已知α為銳角,且tan(π-α)+3=0,則sin α的值是________.
答案:
解析:(解法1)由tan(π-α)+3=0,得tan α=3,即=3,sin α=3cos α,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α=.因為α為銳角,所以sin α=.
(解法2)因為α為銳角,且tan(π-α)+3=0,所以-tan α+3=0即tan α=3.在如圖所示的直角三角形中,令∠A=α,BC=3,則AC=1,所以AB==,故sin α==.
3. (2017·南通調(diào)研)已知sin θ+cos θ=,θ∈,則sin θ-cos θ=________.
答案:-
解析:∵ sin θ+cos θ=,∴ 2sin θcos θ=,
∴ (sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,∴ sin θ-cos θ=或-.∵ θ∈,∴ sin θ<cos θ,∴ sin θ-cos θ=-.
4. 已知=2,則(cos θ+3)(sin θ+1)的值為__________.
答案:4
解析:因為=2,所以sin2θ+4=2cos θ+2,即cos2θ+2cos θ-3=0,解得cos θ=1或cos θ=-3(舍去).由cos θ=1得sin θ=0,故(cos θ+3)(sin θ+1)=4.
1. 已知sin(3π-α)=-2sin,則sin αcos α=__________.
答案:-
解析:因為sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin,所以sin α=-2cos α,所以tan α=-2,所以sin αcos α===-.
2. 已知cos(-80°)=k,那么tan 100°=__________.
答案:-
解析:因為cos(-80°)=cos 80°=k,所以sin 80°==.所以tan 100°=-tan 80°=-=-.
3. (2017·鹽城調(diào)研)若3sin α+cos α=0,則=________.
答案:
解析:∵ 3sin α+cos α=0,且cos α≠0,∴ tan α=-,∴ ====.
4. (2017·南京、鹽城模擬)已知cos=,且-π<α<-,則cos=________.
答案:-
解析:因為+=,所以cos=sin=sin.
因為-π<α<-,所以-<α+<-.
又cos=>0,所以-<α+<-,
所以sin=-=-=-.
1. 利用平方關(guān)系解決問題時,要注意開方運算結(jié)果的符號,需要根據(jù)角α的范圍進行確定.
2. 應(yīng)熟練應(yīng)用誘導公式.誘導公式的應(yīng)用原則是:負化正、大化小、化到銳角為終了.誘導公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值,其一般步驟:① 負角變正角,再寫成2kπ+α(k∈Z),0≤α<2π的形式;② 轉(zhuǎn)化為銳角.
3. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系可用于統(tǒng)一函數(shù);誘導公式主要用于統(tǒng)一角,其主要作用是進行三角函數(shù)的求值、化簡和證明,如已知一個角的某一三角函數(shù)值,求這個角的其他三角函數(shù)值時,要特別注意平方關(guān)系的使用.
4. 三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ),在求值與化簡時,常用方法有:
① 弦切互化法:主要利用公式tan x=進行切化弦或弦化切,如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等類型可進行弦化切.
② 和積轉(zhuǎn)換法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化.
③ 注意變角技巧:如π+α為π+或2π-等.
④ 巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ=tan=…
5. 在△ABC中常用到以下結(jié)論:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,
sin=sin=cos,
cos=cos=sin .[備課札記]
第3課時 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(對應(yīng)學生用書(文)、(理)53~55頁)
① 知道三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的周期為T=.
② 能根據(jù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上,正切函數(shù)在上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等).
③ 會用“五點法”畫出y=Asin(ωx+φ)在一個周期上的簡圖,能由正弦曲線y=sin x通過相位、周期和振幅變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象.
① 了解三角函數(shù)的周期性.
② 能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,并能根據(jù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上,正切函數(shù)在上的性質(zhì).
③ 了解三角函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的實際意義及其參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖象變化的影響.
1. (2017·南京期初)若函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的最小正周期為π,則f的值是________.
答案:
解析:由題意,得=π,所以ω=2,f(x)=sin.因此f=sin=sin =.
2. 將函數(shù)f(x)=2sin 2x的圖象上每一點向右平移個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)=____________.
答案:2sin
解析:將函數(shù)f(x)=2sin 2x的圖象上每一點向右平移個單位,得到函數(shù)g(x)=2sin 2=2sin的圖象.本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換(平移變換).
3. 已知函數(shù)y=2cos x的定義域為,值域為[a,b],則b-a的值是__________.
答案:3
解析:因為x∈,所以cos x∈,所以y=2cos x的值域為[-2,1],所以b-a=3.
4. 函數(shù)f(x)=sin的單調(diào)遞增區(qū)間為________.
答案:(k∈Z)
解析:由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
5. (必修4P45習題9改編)電流強度I(A)隨時間t(s)變化的函數(shù)I=Asin(ωt+φ)的部分圖象如圖所示,則當t= s時,電流強度是__________A.
答案:-5
解析:由圖象知A=10,=-=,∴ ω==100π.∴ I=10sin(100πt+φ).為五點中的第二個點,∴ 100π×+φ=.∴ φ=.∴ I=10sin(100πt+),當t= s時,I=-5 A.
1. 周期函數(shù)的定義
周期函數(shù)的概念:對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零的常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時,f(x+T)=f(x)都成立,那么稱y=f(x)為周期函數(shù);函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期均為T=;
函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的周期為T=.2. 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
三角函數(shù)
y=sin x
y=cos x
y=tan x
圖象
定義域
R
R
值域和最值
[-1,1]
最大值:1
最小值:-1
[-1,1]
最大值:1
最小值:-1
R
無最值
周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱性
關(guān)于原點對稱
關(guān)于y軸對稱
關(guān)于原點對稱
單調(diào)區(qū)間
在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上單調(diào)遞減
在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上單調(diào)遞減
在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上單調(diào)遞增
3. “五點法”作圖
在確定正弦函數(shù)y=sin x在[0,2π]上的圖象形狀時,起關(guān)鍵作用的五個點是(0,0),,(π,0),,(2π,0).
余弦函數(shù)呢?
4. 函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的特征
若函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,x∈(-∞,+∞))表示一個振動量時,則A叫做振幅,T=叫做周期,f=叫做頻率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.
[備課札記]
, 1 “五點法”與“變換法”作圖)
, 1) (必修4P40練習7改編)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的周期為π.
(1) 用“五點法”作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象;
(2) 說明函數(shù)f(x)的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.
解:∵ T=π,∴ =π,即ω=2.
∴ f(x)=2sin.
(1) 令X=2x+,則y=2sin=2sin X.
列表如下:
x
-
X
0
π
2π
y=sin X
0
1
0
-1
0
y=2sin
0
2
0
-2
0
圖象如圖:
(2) (解法1)把y=sin x的圖象上所有點向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin的圖象;再把y=sin的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin的圖象;最后把y=sin的圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標不變),即可得到y(tǒng)=2sin的圖象.
(解法2)將y=sin x的圖象上每一點的橫坐標x變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標不變,得到y(tǒng)=sin 2x的圖象;再將y=sin 2x的圖象向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin 2=sin的圖象;再將y=sin的圖象上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到y(tǒng)=2sin的圖象.
已知f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期為π,且f=.
(1) 求ω和φ的值;
(2) 在給定坐標系中作出函數(shù)f(x)在[0,π]上的圖象;
(3) 若f(x)>,求x的取值范圍.
解:(1) 周期T==π,∴ ω=2.
∵ f=cos=cos=-sin φ=.又-<φ<0,∴ φ=-.
(2) 由(1)得f(x)=cos,列表如下:
x
0
π
π
π
π
2x-
-
0
π
π
π
f(x)
1
0
-1
0
圖象如圖:
(3)∵ cos>,∴ 2kπ-<2x-<2kπ+,∴ 2kπ+<2x<2kπ+,
∴ kπ+<x<kπ+,k∈Z,
∴ x的取值范圍是., 2 三角函數(shù)的性質(zhì))
已知函數(shù)f(x)=sin+1.
(1) 求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值;
(3) 求f(x)圖象的一條對稱軸和一個對稱中心,使得它們到y(tǒng)軸的距離分別最?。?
【思維導圖】
【規(guī)范解答】解:(1) 函數(shù)f(x)的最小正周期為T==π.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
(2) 當x∈時,2x+∈.由正弦函數(shù)y=sin x在上的圖象知,
當2x+=,即x=時,f(x)取最大值+1;
當2x+=,即x=時,f(x)取最小值0.
綜上,f(x)在上的最大值為+1,最小值為0.
(3) 令2x+=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),
所以當k=0時,直線x=是所有對稱軸中最靠近y軸的.
令2x+=kπ(k∈Z),解得x=-+(k∈Z),
所以當k=0時,是所有對稱中心中最靠近y軸的,
所以所求的對稱軸為直線x=,對稱中心為.
【精要點評】 對于三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)(定義域、單調(diào)性、對稱性、最值或值域等)問題,通常用換元的方法,令t=ωx+φ,將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Asin t,再進行其性質(zhì)的研究.
●總結(jié)歸納
解有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的問題,通常需先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再用研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域的方法利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)來處理.若ω<0,還需先利用誘導公式轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再將ωx+φ看成整體,利用正弦函數(shù)y=sin x的性質(zhì)進行求解.
●題組練透
1. 將函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移φ(φ>0)個單位,若所得的圖象過點,則φ的最小值為__________.
答案:
解析:易知y=sin 2(x+φ),即y=sin(2x+2φ).∵ 圖象過點,∴ sin=,∴ +2φ=+2kπ或+2φ=+2kπ,k∈Z,即φ=kπ或φ=+kπ,k∈Z.∵ φ>0,∴ φ的最小值為.K
2. 設(shè)函數(shù)y=sin(0<x<π),當且僅當x=時,y取得最大值,則正數(shù)ω的值為__________.
答案:2
解析:當x=時,令ωx+=,則正數(shù)ω=2.
3. 函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為________.
答案:-
解析:由已知x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為-.
4. 設(shè)函數(shù)f(x)=2sin的最小正周期為π,且滿足f(-x)=-f(x).
(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2) 當x∈時,試求y=f的最值,并寫出取得最值時自變量x的值.
解:(1) 因為f(x)的最小正周期為π,所以T==π,解得ω=2.又f(-x)=-f(x),所以f(0)=0,所以sin=0.又|φ|<,所以φ=-,所以ω=2,φ=-,所以f(x)=2sin 2x.則2x∈(k∈Z),解得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
(2) 當x∈時,2x-∈,y=f=2sin 2=2sin.
當2x-=,即x=時,f(x)取得最大值2;當2x-=-,即x=0時,f(x)取得最小值-.
, 3 根據(jù)圖象和性質(zhì)確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式)
, 3) 設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<,x∈R)的部分圖象如圖所示.
(1) 求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2) 當x∈時,求f(x)的取值范圍.
解:(1) 由圖象知,A=2.
又=-=,ω>0,所以T=2π=,得ω=1.所以f(x)=2sin(x+φ),將點代入,得+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z).
又-<φ<,所以φ=.所以f(x)=2sin.
(2) 當x∈時,x+∈,
所以sin∈,
即f(x)∈[-,2].
變式訓練
已知函數(shù)f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù),且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.
(1) 求f的值;
(2) 將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)的解析式,并寫出g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
解:(1) ∵ f(x)為偶函數(shù),
∴ φ-=kπ+,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.
∵ 0<φ<π,∴ φ=.
由題意得=2×,解得ω=2.
故f(x)=2cos 2x,f=2cos =.
(2) 將f(x)的圖象向右平移個單位后,得到f的圖象,再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,得到f的圖象,所以g(x)=f(-)=2cos=2cos.
當2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)時,g(x)單調(diào)遞減.
因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ+,4kπ+](k∈Z).
, 4 三角函數(shù)的應(yīng)用)
, 4) (必修4P42例2改編)如圖,一個水輪的半徑為4 m,水輪圓心O距離水面2 m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動5圈,如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間.
(1) 將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù);
(2) 點P第一次到達最高點大約需要多少時間?
解:(1) 建立如圖所示的直角坐標系,
設(shè)角φ是以O(shè)x為始邊,OP0為終邊的角.
OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為=.
則OP在t(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為t.
由題意可知水輪逆時針轉(zhuǎn)動,得z=4sin+2.
當t=0時,z=0,得sin φ=-,即φ=-.
故所求函數(shù)解析式為z=4sin+2.
(2) 令z=4sin+2=6,得sin=1.
令t-=,得t=4,
故點P第一次到達最高點大約需要4 s.
如圖為一個纜車示意圖,該纜車半徑為4.8 m,圓上最低點與地面距離為0.8 m,且60 s轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB,設(shè)B點與地面間的距離為h.
(1) 求h與θ之間的函數(shù)解析式;
(2) 設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動,經(jīng)過t s后到達OB,求h與t之間的函數(shù)解析式,并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少.
解:(1) 以圓心O為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系.
則以O(shè)x為始邊,OB為終邊的角為θ-,
故點B的坐標為,
∴ h=5.6+4.8sin.
(2) 點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是 rad/s,
故t s轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t,
∴ h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞).
到達最高點時,h=10.4 m.
由sin=1,得t-=,∴ t=30 s,
∴ 纜車到達最高點時,用的最少時間為30 s.
1. 已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期為π,且它的圖象過點,則φ的值為__________.
答案:-
解析:f(x)=2sin(ωx+φ) 的最小正周期為π,則ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),它的圖象過點,則sin=-,故φ=-.
2. 函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.若A,B兩點之間的距離AB=5,則ω的值為________.
答案:
解析:AB=5,|yA-yB|=4,則|xA-xB|=3=,則T=6,則=6,ω=.
3. 將函數(shù)y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位得到的圖象關(guān)于點對稱,則φ=________.
答案:
解析:由題意得平移以后的函數(shù)為y=sin,因為圖象關(guān)于點對稱,所以2×++φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z).因為0<φ<π,所以φ=.
4. 函數(shù)f(x)=cos(πx+φ)的部分圖象如圖所示.
(1) 求φ及圖中x0的值;
(2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
解:(1) 由圖可知,f(0)=f(x0)=,
即cos φ=,cos(πx0+φ)=.
又φ∈,x0>0,所以φ=,x0=.
(2) 由(1)可知f(x)=cos.
因為x∈,所以-≤πx+≤.
所以當πx+=0,即x=-時,f(x)取得最大值1;
當πx+=,即x=時,f(x)取得最小值0.
1. (2017·南師附中、淮陰中學、海門中學、天一中學四校聯(lián)考)將函數(shù)y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位后,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,若函數(shù)f(x)的圖象過原點,則φ=________.
答案:
解析:將函數(shù)y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位后,得到函數(shù)f(x)=sin=sin的圖象,若函數(shù)f(x)的圖象過原點,則f(0)=sin=0,+φ=kπ,k∈Z,φ=kπ-,k∈Z.又0<φ<π,則φ=.
2. 若函數(shù)y=sin(ωx-φ)在區(qū)間上的圖象如圖所示,則ω,φ的值分別是______.
答案:2,
解析:由題圖可知,T=2=π,所以ω==2.又sin=0,所以-φ=kπ(k∈Z),即φ=-kπ(k∈Z).而|φ|<,所以φ=.
3. (2017·第三次全國大聯(lián)考江蘇卷)將函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)的圖象向右平移φ(0<φ<π)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若f(x),g(x)的圖象都經(jīng)過點P,則φ的值為________.
答案:
解析:由題意,可得sin θ=.因為-<θ<,所以θ=.因為g(x)=sin,所以sin=.又因為0<φ<π,所以-2φ+∈,-2φ+=-,φ=.
4. 已知函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2x+m在區(qū)間上的最大值為3,則
(1) m=________;
(2) 當f(x)在[a,b]上至少含20個零點時,b-a的最小值為________.
答案:(1) 0 (2)
解析:(1) f(x)= sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+1+cos 2x+m=2sin +m+1.
因為0≤x≤,所以≤2x+≤.
所以-≤sin≤1,
f(x)max=2+m+1=3+m=3,∴ m=0.
(2) 由(1)得f(x)=2sin+1,周期T==π,在長為π的閉區(qū)間內(nèi)有2個或3個零點.
由2sin+1=0,得sin=-,
2x+=2kπ+,k∈Z或2x+=2kπ+,k∈Z,
所以x=kπ+或x=kπ+,k∈Z.
不妨設(shè)a=,則當b=9π+時,f(x)在區(qū)間[a,b]上恰有19個零點,當b=9π+時恰有20個零點,此時b-a的最小值為9π+=.
1. 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角函數(shù)不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.
2. 求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型:
① 形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);
② 形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可先設(shè)sin x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值);
③ 形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函數(shù),可先設(shè)t=sin x±cos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).
3. 對于形如y=Asin(ωx+φ)+k函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等),可以通過換元的方法令t=ωx+φ,將其轉(zhuǎn)化為研究y=sin t的性質(zhì).
4. 求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式,常用的解題方法是待定系數(shù)法,由最高(低)點的縱坐標確定A,由周期確定ω,由適合解析式的點的坐標來確定φ,但由條件求得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不惟一,只有限定φ的取值范圍,才能得出惟一解.
5. 由y=sin x的圖象變換到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象,兩種變換的區(qū)別:先相位變換再周期變換(伸縮變換),平移的量是|φ|個單位;而先周期變換(伸縮變換)再相位變換,平移的量是(ω>0)個單位.原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言,即x本身加減多少值,而不是依賴于ωx加減多少值.
[備課札記]
第4課時 兩角和與差的正弦、余弦和
正切公式(對應(yīng)學生用書(文)、(理)56~58頁)
掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式,能運用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明.
① 了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程.② 能從兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦、兩角和與差的正弦、兩角和與差的正切公式,體會化歸思想的應(yīng)用.
1. 設(shè)α∈,若sin α=,則cos=________.
答案:
解析:∵ α∈,且sin α=,∴ cos α=.
∴ cos=cos αcos -sin αsin=×-×=.
2. (必修4P106練習4改編)sin 20°cos 10 °-cos 160°sin 10°=__________.
答案:
解析:sin 20°·cos 10°-cos 160°·sin 10°=sin 20°·cos 10°+cos 20°·sin 10°=sin 30°=.
3. (必修4P109練習8改編)函數(shù)y=sin x+cos x的值域是__________.
答案:[-2,2]
解析:y=sin x+cos x=2sin∈[-2,2].
4. (必修4P118習題9改編)若α+β=,則(tan α+1)·(tan β+1)的值是________.
答案:2
解析:(tan α+1)(tan β+1)=tan αtan β+tan α+tan β+1=tan αtan β+tan(α+β)(1-tan αtan β)+1=tan αtan β+tan ·(1-tan αtan β)+1=2.
5. (必修4P110例6改編)已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,則的值為________.
答案:
解析:(解法1)
?
從而==×5=.
(解法2)設(shè)x=,∵ =5,
∴ ====5.
∴ x=,即 =.
1. 兩角差的余弦公式推導過程
設(shè)單位圓上兩點P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),則∠P1OP2=α-β(α>β).
向量a==(cos α,sin α),b==(cos β,sin β),
則a·b=|a||b|cos(α-β)=cos(α-β),
由向量數(shù)量積的坐標表示,可知a·b=cos αcos β+sin αsin β,
因而cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
2. 公式之間的關(guān)系及導出過程
3. 公式
cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;
cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β;
sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β;
sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;
tan(α-β)=;
tan(α+β)=.
4. asin α+bcos α=sin(α+φ),其中cos φ=,sin φ=,tan φ=.φ的終邊所在象限由a,b的符號來決定.
5. 常用公式變形
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan_αtan_β);
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan_αtan_β);
sin α+cos α=sin;
sin α-cos α=sin.
[備課札記]
, 1 利用角的和、差公式進行化簡、求值或證明)
, 1) (1) 求值:=__________;
(2) (原創(chuàng))化簡:tan(18°-θ)·+[tan(18°-θ)+tan(12°+θ)]=__________.
答案:(1) (2) 1
解析:(1) 原式=
=
==.
(2) 原式=tan(18°-θ)·+[tan(18°-θ)+tan(12°+θ)]=tan(18°-θ)·tan(12°+θ)+tan[(18°-θ)+(12°+θ)][1-tan(18°-θ)tan(12°+θ)]
=tan(18°-θ)·tan(12°+θ)+[1-tan(18°-θ)·tan(12°+θ)]=1.
變式訓練
(1) (改編題)求4(cos 24°cos 26°-cos 66°sin 26°)-tan 40°的值;
(2) 化簡:sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°).
解:(1) 原式=4(sin 66°cos 26°-cos 66°sin 26°)-tan 40°
=4sin 40°-=
==
===.
(2) 原式=sin[(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-·cos[(θ+45°)-30°]=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0., 2 給值求值、求角問題)
●典型示例
, 2) 已知0<α<<β<π,tan=-7,cos(β-α)=.
(1) 求s