2022年高三數(shù)學(xué) 3.3函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(第二課時)大綱人教版選修

2022年高三數(shù)學(xué) 3.3函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(第二課時)大綱人教版選修 教學(xué)目標(biāo) 一、教學(xué)知識點(diǎn) 商的導(dǎo)數(shù)法則. 二、能力訓(xùn)練要求 1.理解商的導(dǎo)數(shù)法則，并能運(yùn)用. 2.能夠綜合運(yùn)用各種法則求函導(dǎo)數(shù). 三、德育滲透目標(biāo) 1.提高學(xué)生的運(yùn)算速度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、科學(xué)性. 教學(xué)重點(diǎn) 商的導(dǎo)數(shù)法則. 教學(xué)難點(diǎn) 商的導(dǎo)數(shù)法則的理解與記憶，以及它的證明過程，證明過程要講究嚴(yán)密性，在用極限的四則運(yùn)算法則時，要使每個函數(shù)都有極限. 教學(xué)方法　 講授法 教學(xué)過程　 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］我們先來看一下下面幾個函數(shù)的導(dǎo)數(shù). ［板書］(x5)′=5x4,(x3)′=3x2. ∴. 而()′=(x2)′=2x, ∴(′≠. ［師］所以，商的導(dǎo)數(shù)不等于導(dǎo)數(shù)的商，那么商的導(dǎo)數(shù)有什么法則呢？可以直接根據(jù)法則進(jìn)行求導(dǎo)，而不需要用定義來求.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了和(或差)的導(dǎo)數(shù)法則，以及積的導(dǎo)數(shù)法則，這節(jié)課再來學(xué)習(xí)商的導(dǎo)數(shù)法則. Ⅱ.講授新課 ［師］先復(fù)習(xí)一下和、差、積的導(dǎo)數(shù)法則，以及n個函數(shù)的和、積的導(dǎo)數(shù).(學(xué)生回答，老師板書) 1.和(或差)的導(dǎo)數(shù) 法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即(u±v)′=u′±v′. 2.積的導(dǎo)數(shù) 法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 即(uv)′=u′v+uv′. 特例(Cu)′=Cu′. 3.(f1+f2+…+fn)′=f1′+f2′+…+fn′. 4.(f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2f n-1′fn+f1…fn-1fn′. 5.商的導(dǎo)數(shù) 法則3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方, 即 (v≠0). 證明：, = = =, . ∵v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，所以v(x)在點(diǎn)x處連續(xù), ∴當(dāng)Δx→0時，v(x+Δx)→v(x). ∴, 即. ［師］用商的導(dǎo)數(shù)法則時，要注意分母v不能等于0.到現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則，并會用幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，在求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，就可以很方便地運(yùn)用這些公式、法則去求，而不必從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)了. 6.課本例題 ［例5］求的導(dǎo)數(shù). ［分析］該題可以直接利用商的導(dǎo)數(shù)法則. 解： ［例6］求在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù). ［分析］該題既要用到商的導(dǎo)數(shù)法則，還要用到和的導(dǎo)數(shù)法則. 解： = =. ∴y′|x=3=. 7.精選例題 ［例1］求·Cosx的導(dǎo)數(shù). ［師生共析］這道題可以看作兩個函數(shù)的乘積，也可以看作兩個函數(shù)的商，所以不同的看法有不同的做法.這道題可以用兩種方法來求. 解法一：y′=(·Cosx)′ =()′Cosx+ (Cosx)′ =()′Cosx-sinx = = =. 解法二：y′=(·Cosx)′=()′ = = = =. ［例2］求y=Cotx的導(dǎo)數(shù). 解：y′=(Cotx)′=()′ = = = ［例3］(xx年南通市高考模擬題第16題)設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)…(x-xx),則f′(xx)=_________. ［師生共析］共有xx個一次因式相乘，若直接用積的求導(dǎo)法則運(yùn)算量太大，要去括號又困難重重.考慮到它只求x=1處的導(dǎo)數(shù)，不妨把這xx個因式劃分成兩部分求導(dǎo). ［學(xué)生板演］f′(x)={(x-1)［(x-2)(x-3)…(x-xx)］}′ =(x-1)′［(x-2)…(x-xx)］+(x-1)［(x-2)…(x-xx)］′ =(x-2)(x-3)…(x-xx)+(x-1)［(x-2)…(x-xx)］′ =… =(x-2)(x-3)(x-xx)+(x-1)(x-3)…(x-xx)+…+(x-1)(x-2)…(x-xx). 令x=xx,得f′(xx) =(xx-2)(xx-3)…(xx)+(xx-1)(xx-2)…(xx)+…+(xx-1)(xx-2)…(xx) =0+0+…+0+xx×xx×…×1=xx!. ［生］也可以這樣解：把(x-1)(x-2)…(x-xx)寫成［(x-1)(x-2)…(x-xx)］與(x-xx)的積. ∴f′(x)=［(x-1)(x-2)…(x-xx)］′(x-xx)+(x-1)(x-2)…(x-xx)·(x-xx)′ =［(x-1)(x-2)…(x-xx)］′(x-xx)+(x-1)(x-2)…(x-xx). ∴f′(xx)=0+(xx-1)(xx-2)…(xx) =xx×xx×xx×…×1=xx!. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.(1); (2). 解：(1) (2) = = =. 2.求過曲線上的點(diǎn)P(4,)且與該曲線相切的直線方程. 解：∵.∴ ∴. ∴過點(diǎn)P的切線斜率為k=y′| x=4=. ∴切線方程為 (x-4),即有5x+16y+8=0. ∴所求直線方程是5x+16y+8=0. Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了商的導(dǎo)數(shù)法則 (v≠0)，如何綜合運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則，來求一些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).要將和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則記住. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P120～121習(xí)題3.3　1(3)(4)(5)(6),2(3)(4),3,4,5,6. (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容:P121～123復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 2.預(yù)習(xí)提綱: 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，預(yù)習(xí)例1，如何運(yùn)用法則來求導(dǎo)，要注意什么，或步驟是什么. 板書設(shè)計(jì) §3.3.2　函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(二) 舉例說明. 1.和(或差)的導(dǎo)數(shù)(u±v)′=u′±v′. 2.積的導(dǎo)數(shù)(uv)′=u′v+uv′,(Cu)′=Cu′. 3.(f1+f2+…fn)′=f1′+f2′…+fn′. 4.(f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…f n-2f n-1′fn+f1…f n-1fn′. 5.商的導(dǎo)數(shù) (v≠0). 商的導(dǎo)數(shù)的證明. 課本例題 例5.求的導(dǎo)數(shù). 例6.求在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù). 精選例題 例1.求·Cosx的導(dǎo)數(shù). 例2.求y=Cotx的導(dǎo)數(shù). 例3.(xx年南通模擬題) 課堂練習(xí) 1.(1); (2). 2. 課后作業(yè)