2021中考數(shù)學(xué) 第22講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

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1、 第22講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 考點(diǎn)1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d. 位置關(guān)系 點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓外 數(shù)量(d與r)的大小關(guān)系 ① ② ③ 考點(diǎn)2 直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d. 位置關(guān)系 相離 相切 相交 公共點(diǎn)個數(shù) 0 1 2 公共點(diǎn)的名稱 無 切點(diǎn) 交點(diǎn) 數(shù)量關(guān)系 ④ ⑤ ⑥ 考點(diǎn)3 圓的切線 切線的判定 (1)與圓有

2、⑦ 公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義法). (2)到圓心的距離等于⑧ 的直線是圓的切線. (3)過半徑外端點(diǎn)且⑨ 半徑的直線是圓的切線. 切線的性質(zhì) (1)切線與圓只有⑩ 公共點(diǎn). (2)切線到圓心的距離等于圓的? . (3)切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的? . 切線長 過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和? 之間的線段長叫做這點(diǎn)到圓的切線長. 切線長定理 從圓外一點(diǎn)可以引圓的? 條切線，它們的切線長? ，這一點(diǎn)和圓心的連線? 兩條切線的夾角

3、. 考點(diǎn)4 三角形與圓 確定圓的條件 不在 直線的三個點(diǎn)確定一個圓. 三角形的外心 經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓， 的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形；外心到三角形 的距離相等. 三角形的內(nèi)心 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的 ，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫圓的外切三角形，內(nèi)心到三角形 的距離相等. 1.判斷一直線是否為圓的切線的方法：①連半徑，證垂直；②作垂線，證半徑. 2.直角三角形的外接

4、圓與內(nèi)切圓半徑的求法： 若a,b是Rt△ABC的兩條直角邊，c為斜邊，則①直角三角形的外接圓半徑R=；②直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=. 命題點(diǎn)1 點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系 例1 (2013·涼山)在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個點(diǎn)：A(1，1)，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)，E(0，-3). (1)畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系； (2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)D(-2，-2)，E(0，-3)，判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系. 【思路點(diǎn)撥】(1)先畫出△ABC，然后確定⊙P，通過計算PD的長度來判斷點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系； (2)通過(

5、1)判斷點(diǎn)D在圓上，則只需說明垂直即可. 【解答】 方法歸納：判斷點(diǎn)與圓和直線與圓的位置關(guān)系，都是判斷圓心與點(diǎn)或直線的距離與半徑的大小關(guān)系. 1.若⊙O的半徑為5 cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4 cm，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是( ) A.點(diǎn)A在圓外 B.點(diǎn)A在圓上 C.點(diǎn)A在圓內(nèi) D.不能確定 2.已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3，則反映直線l與⊙O的位置關(guān)系的圖形是( ) 3.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角邊AC=6 cm，以C為圓心，3 cm為半徑作圓，則⊙C與AB的位

6、置關(guān)系是 . 命題點(diǎn)2 切線的性質(zhì)與判定 例2 (2014·天水)如圖，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD. (1)判斷直線CD和⊙O的位置關(guān)系，并說明理由. (2)過點(diǎn)B作⊙O的切線BE交直線CD于點(diǎn)E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長. 【思路點(diǎn)撥】(1)連接OD，根據(jù)圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，從而得出∠CDA+∠ADO=90°，再根據(jù)切線的判定推出即可； (2)首先利用勾股定理求出DC，由切線長定理得出DE=EB，在Rt△CBE中根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可. 【解答】

7、 方法歸納：切線的性質(zhì)與判定都與圓心和切點(diǎn)之間的線段有關(guān)，連接這條線段是常見的輔助線作法. 1.(2014·哈爾濱)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∠C=40°.則∠ABD的度數(shù)是( ) A.30° B.25° C.20° D.15° 2.如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的長是( ) A.4 B.8

8、 C.4 D.8 3.下列說法中，正確的是( ) A.圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 B.垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) C.垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 D.垂直于半徑的直線是圓的切線 4.(2014·湘潭)如圖，⊙O的半徑為3，P是CB延長線上一點(diǎn)，PO=5，PA切⊙O于A點(diǎn)，則PA= . 5.(2013·昭通)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°. (1)求∠D的度數(shù)； (2)求證：AE是⊙O的切線. 命題點(diǎn)3 三

9、角形與圓的位置關(guān)系 例3 在銳角△ABC中，BC=5，sinA=. (1)如圖1，求△ABC的外接圓的直徑； (2)如圖2，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，若BA=BC，求AI的長. 【思路點(diǎn)撥】(1)對于條件sinA=怎樣運(yùn)用應(yīng)該設(shè)法構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用直徑所對的圓周角是直角及同弧所對的圓周角相等解答； (2)利用等腰三角形三線合一可知BI垂直于AC，再利用面積法解答. 【解答】 方法歸納：通常解決這類問題有兩種方法：(1)構(gòu)造直角三角形；(2)等角代換，即在已有的直角三角形中找到與所求角相等的角.這道題目中沒有直角三角形，因此應(yīng)該采用第一種方法，構(gòu)造直角三

10、角形求解. 1.如圖，已知圓O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠BAC=50°，則∠BOC的度數(shù)是( ) A.90° B.100° C.115° D.130° 2.(2013·永安質(zhì)檢)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為(0，3)，點(diǎn)B為(2，1)，點(diǎn)C為(2，-3).則經(jīng)畫圖操作可知：△ABC的外心坐標(biāo)應(yīng)是( ) A.(0，0) B.(1，0) C.(-2，-1) D.(2，0) 3.如圖：⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為10，

11、∠A=60°，求弦BC的長. 第1課時 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.(2014·白銀)已知⊙O的半徑是6 cm，點(diǎn)O到同一平面內(nèi)直線l的距離為5 cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.無法判斷 2.(2013·青島)直線l與半徑為r的⊙O相交，且點(diǎn)O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是( ) A.r＜6 B.r=6 C.r＞6 D.r≥6 3.(2014·天津)如圖，AB是⊙O

12、的弦，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過圓心.若∠B=25°，則∠C的大小等于( ) A.20° B.25° C.40° D.50° 4.(2014·崇明二模)在⊙O中，圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，半徑為2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，5)，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是( ) A.點(diǎn)P在⊙O外 B.點(diǎn)P在⊙O上 C.點(diǎn)P在⊙O內(nèi) D.不能確定 5.如圖，在坐標(biāo)平面上，Rt△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x軸，M為Rt△ABC的外心.若A點(diǎn)坐標(biāo)為(

13、3，4)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，1)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(3，-1) B.(3，-2) C.(3，-3) D.(3，-4) 6.(2014·淄博)如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，弦CD∥AB，E，F(xiàn)為圓上的兩點(diǎn)，且∠CDE=∠ADF.若⊙O的半徑為，CD=4，則弦EF的長為( ) A.4 B. C.5 D.6 7.在平面內(nèi)，⊙O的半徑為5 cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為3 cm，則點(diǎn)P與⊙O的位

14、置關(guān)系是 . 8.(2014·重慶B卷)如圖，C為⊙O外一點(diǎn)，CA與⊙O相切，切點(diǎn)為A，AB為⊙O的直徑，連接CB.若⊙O的半徑為2，∠ABC=60°，則BC= . 9.如圖，點(diǎn)A、B、D在⊙O上，∠A=25°，OD的延長線交直線BC于點(diǎn)C，且∠OCB=40°，直線BC與⊙O的位置關(guān)系為 . 10.如圖所示，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1，3)、B(-2，-2)、C(4，-2)，則△ABC外接圓半徑的長度為 . 11.如圖，⊙P的半徑為2，圓心P在函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上運(yùn)動，當(dāng)⊙P與x軸相切

15、時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 . 12.如圖，⊙O與直線l1相離，圓心O到直線l1的距離OB=，OA=4，將直線l1繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到的直線l2，剛好與⊙O相切于點(diǎn)C，則OC= . 13.(2014·牡丹江)如圖，已知⊙O中直徑AB與弦AC的夾角為30°，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，OD=30 cm.求：直徑AB的長. 14.(2014·鹽城)如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，交AB的延長線于點(diǎn)D，且∠D=2∠CAD. (1)求∠D的度數(shù)； (2)若CD=2，求BD的長.

16、 15.(2014·畢節(jié))如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD. (1)求證：∠A=∠BCD； (2)若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由. 第2課時 能力訓(xùn)練 1.(2014·益陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為(-3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為( ) A.1 B.1或5 C.3

17、 D.5 2.如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與兩直角邊AB,BC分別相切于點(diǎn)D,E，過劣弧(不包括端點(diǎn)D,E)上任一點(diǎn)Ｐ作⊙O的切線MN與AB,BC分別交于點(diǎn)M,N，若⊙O的半徑為r，則Rt△MBN的周長為( ) A.r B.r C.2r D.r 3.(2014·宜賓)已知⊙O的半徑r=3，設(shè)圓心O到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點(diǎn)的個數(shù)為m，給出下列命題： ①若d＞5，則m=0；②若d=5，則m=1；③若1＜d＜5，則m=3；④若d=1，則m=2；⑤若d＜1

18、，則m=4. 其中正確命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.5 4.(2014·玉林)如圖，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)M，ME=EF，且EF∥MN，則cos∠E= . 5.如圖，在△ABC中，BC=3 cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半徑至少為 cm的圓形紙片所覆蓋. 6.(2014·宜賓)如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB=2，AD和BE是圓O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)C作⊙O的切線CF，分別交AD、BE于點(diǎn)M、N，連接AC

19、、CB，若∠ABC=30°，則AM= . 7.如圖所示，已知點(diǎn)A從點(diǎn)(1，0)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動，經(jīng)過t秒后，以點(diǎn)O、A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使點(diǎn)B、C都在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°，若以點(diǎn)P(0，4)為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t= . 8.(2014·河南)如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=2 cm，點(diǎn)P為CD的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B. (1)連接AC，若∠APO=30°，試證明△ACP是等腰三角形； (2)填空： ①當(dāng)DP=

20、 cm時，四邊形AOBD是菱形； ②當(dāng)DP= cm時，四邊形AOBD是正方形. 9.(2014·德州)如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦BC為6 cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點(diǎn)，P為AB延長線上一點(diǎn)，且PC＝PE. (1)求AC，AD的長； (2)試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由. 10.如圖，點(diǎn)B在y軸上，BA∥x軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5.5，4)，⊙A的半徑為2.現(xiàn)有點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA運(yùn)動. (1)當(dāng)點(diǎn)P在⊙A上時，請直接寫出它的坐標(biāo)； (2)設(shè)點(diǎn)P

21、的橫坐標(biāo)為x，連接OP，試探究射線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由. 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①d＜r ②d=r ③d＞r ④d＞r ⑤d=r ⑥d＜r ⑦唯一 ⑧半徑 ⑨垂直于 ⑩一個 ?半徑 ?半徑 ?切點(diǎn) ?兩 ?相等 ?平分 同一 外接圓 外心 三個頂點(diǎn) 內(nèi)切圓 內(nèi)心 三邊 各個擊破 例1 (1)所畫的⊙P如圖所示，由圖知⊙P的半徑為.連接PD. ∵PD=12+22=，∴點(diǎn)D在⊙P上. (2)直線l與⊙P相切. 理由：連接PE. ∵直線l經(jīng)過點(diǎn)D(-2，

22、-2)，E(0，-3)， ∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5. ∴PE2=PD2+DE2. ∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°. ∴PD⊥l.∴直線l與⊙P相切. 題組訓(xùn)練 1.C 2.B 3.相切 例2 (1)直線CD和⊙O的位置關(guān)系是相切. 理由是：連接OD. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠DBA=90°. ∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°. ∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO. ∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE. ∴直線CD是⊙O的切線， 即直線CD和⊙O的位置關(guān)系是相切

23、. (2)∵AC=2，⊙O的半徑是3， ∴OC=2+3=5，OD=3. 在Rt△CDO中，由勾股定理得CD=4. ∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B， ∴DE=EB，∠CBE=90°. 設(shè)DE=EB=x， 在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2=BE2+BC2， 則(4+x)2=x2+(5+3)2，解得x=6. 即BE=6. 題組訓(xùn)練 1.B 2.B 3.A 4.4 5.(1)∵∠B與∠D都是弧AC所對的圓周角， ∴∠ADC=∠B=60°. (2)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°. ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+6

24、0°=90°， 即BA⊥AE. ∴AE是⊙O的切線. 例3 (1)作△ABC的外接圓的直徑CD，連接BD,則∠CBD=90°，∠D=∠A， ∴=sinD=sinA=. ∵BC=5，∴CD=， 即△ABC的外接圓的直徑為254. (2)連接BI并延長交AC于點(diǎn)H，作IE⊥AB于點(diǎn)E. ∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，∴BI平分∠ABC. ∵AB=BC，∴BH⊥AC.∴IH=IE. ∴在Rt△ABH中， BH=AB·sin∠BAH=4，AH==3. ∵S△ABI+S△AHI=S△ABH， ∴+=. 即+=. ∵IH=IE，∴IH=. 在Rt△AHI中，由勾股定理，

25、得 AI==. 題組訓(xùn)練 1.C 2.C 3.過O作OD⊥BC于D， 則∠BOD=∠COD=∠BOC. 又∵∠BOC=2∠A，∴∠BOD=∠A=60°. 在Rt△BOD中，OB=10，∠BOD=60°， ∴BD=OB=5， ∴BC=2BD=10. 整合集訓(xùn) 第1課時 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 7.點(diǎn)P在⊙O內(nèi) 8.8 9.相切 10. 11.(3，2) 12.2 13.∵∠A=30°，OC=OA， ∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°. ∵DC切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°.

26、∵OD=30 cm，∴OC=OD=15 cm， ∴AB=2OC=30 cm. 14.(1)∵OA=OC，∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A. ∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD. ∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°. ∴∠D=∠COD=45°. (2)∵∠D=∠COD，CD=2，∴OC=OB=CD=2. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 22+22=(2+BD)2， ∴BD=-2. 15.(1)證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD. (2)

27、當(dāng)MC=MD(或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn))時，直線DM與⊙O相切. 理由：連接DO. ∵DO=CO，∴∠ODC=∠OCD. ∵DM=CM，∴∠DCM=∠CDM. ∵∠OCD+∠DCM=90°， ∴∠ODC+∠CDM=90°， ∴直線DM與⊙O相切. 第2課時 能力訓(xùn)練 1.B 2.C 3.C 4. 5. 6. 提示：連接OM，OC，則∠AOC=2∠ABC=60°，∠AOM=∠COM=∠AOC=30°， 在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°， ∴tan30°=，即=，解得AM=. 7. 提示：由題意可知，當(dāng)以點(diǎn)P(0，4)為圓心，PC為半徑的圓

28、恰好與OA所在的直線相切時，如圖所示. 連接PC，作PD⊥OC于點(diǎn)D，則∠POC=90°-∠AOC=90°-60°=30°.∴OD=OP=×4=2.∴OC=2OD=4.∴OA=OC=4.則t=. 8.(1)證明：連接OA，AC. ∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP=90°. 在Rt△AOP中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°，∴∠ACP=30°. ∵∠APO=30°，∴∠ACP=∠APO，∴AC=AP， 即△ACP是等腰三角形. (2)①1;②2-1. 提示：①要使四邊形AOBD是菱形，則OA=AD=OD，∴∠AOP=60°， ∴OP=2OA，DP=OD

29、=CD=1. ②要使四邊形AOBD是正方形，則必須∠AOP=45°，OA=PA=1，則OP=， ∴DP=OP-1=-1. 9.(1)連接BD. ∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，AC＝==8. ∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD. 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，AD=BD＝5， ∴AC＝8 cm，AD＝5 cm. (2)直線PC與⊙O相切. 理由：方法一：連接OC，OD. ∵AD=BD，∴OD⊥AB，∴∠DOE＝90°， ∴∠ODE+∠OED＝90°. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC， ∴∠OED＝∠PEC＝∠P

30、CE. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠OCP＝∠PCE+∠OCD＝∠OED+∠ODE＝90°，即OC⊥PC. ∴直線PC與⊙O相切. 方法二：連接OC. ∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE+∠ACE， ∴∠PCB+∠ECB＝∠CAE+∠ACE. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB, ∴∠PCB＝∠CAE,∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠ACO+∠OCB＝90°，即OC⊥PC， ∴直線PC與⊙O相切. 10.(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3.5，4)或

31、(7.5，4)； (2)過點(diǎn)O作圓A的切線OM，切點(diǎn)為M，連接AM，則AM⊥OM， 由題意可知：OM與BA的交點(diǎn)為P，BP=x， 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時， x＜5.5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5.5，4)， 此時⊙A過P的切線為OM1,M1為切點(diǎn)，如圖. AP1=5.5-x，OB=4，⊙A的半徑為2， ∴AM1=2，BA∥x軸，∴∠OBP1=90°， ∴∠AM1P1=∠OBP1，∠AP1M1=∠OP1B， ∴△OBP1∽△AM1P1，∴=. ∴=，即OP1=11-2x. 在Rt△OBP1中，(11-2x)2=42+x2， 解得x=3或x=(舍去)； 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時，x＞5.5， 同理可解得x=3(舍去)或x=353. ∴當(dāng)x=3或時，直線OP與圓A相切； 當(dāng)0＜x＜3或x＞時相離； 當(dāng)3＜x＜直線與圓相交. 16