2022年高三數(shù)學一輪復(fù)習 專項訓(xùn)練 解三角形（含解析）

2022年高三數(shù)學一輪復(fù)習 專項訓(xùn)練 解三角形（含解析） 1、（xx·湖南卷)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B＝b，則角A等于 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析：在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝sin B， ∵B為△ABC的內(nèi)角，∴sin B≠0. ∴sin A＝.又∵△ABC為銳角三角形， ∴A∈，∴A＝. 2、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝45°，則sin C＝______. 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，即b＝5. 所以sin C＝＝＝. 3、在△ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，則C＝(　　)． A．30° B．45° C．45°或135° D．60° 解析：由正弦定理，得＝， 解得：sin C＝，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. 答案：B 4、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A＝ (　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：∵sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b， ∴cos A＝＝＝＝， 又A為三角形的內(nèi)角，∴A＝30°. 答案：A 5、(xx·新課標全國Ⅱ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． 解　(1)由已知及正弦定理， 得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)， 故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 由已知及余弦定理，得 4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac， 故ac≤，當且僅當a＝c時，等號成立． 因此△ABC面積的最大值為＋1. 6、(xx·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大??； (2)若△ABC的面積S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值． 解　(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1， 得2cos2A＋3cos A－2＝0， 即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因為0＜A＜π，所以A＝. (2)由S＝ bcsin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20. 又b＝5，所以c＝4. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21， 故a＝. 又由正弦定理，得sin Bsin C＝sin A·sin A ＝sin2A＝×＝. 7、（xx·山東卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． [規(guī)范解答]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝， 所以ac＝9，解得a＝3，c＝3(6分) (2)在△ABC中， sin B＝＝， (7分) 由正弦定理得sin A＝＝.(9分) 因為a＝c，所以A為銳角，所以cos A＝＝. (10分) 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝. (12分) 8、已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，c＝asin C－ccos A. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c. 解　(1)由c＝asin C－ccos A及正弦定理，得 sin Asin C－cos A·sin C－sin C＝0， 由于sin C≠0，所以sin＝， 又0<A<π，所以－<A－<，故A＝. (2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8，解得b＝c＝2. 9．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，則C＝(　　)． A．30° B．45° C．60° D．120° 解析　由a2－c2＋b2＝ab，得cos C＝＝＝，所以C＝30°. 答案　A 10．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則BC的長為(　　)． A. B. C．2 D．2 解析　S＝×AB·ACsin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝. 答案　B 11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　)． A．2＋2 B.＋1 C．2－2 D.－1 解析　由正弦定理＝及已知條件得c＝2， 又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝. 從而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1. 答案　B 12．(xx·陜西卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　)． A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 解析　由正弦定理及已知條件可知sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2 A，即sin(B＋C)＝sin2 A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A，所以sin2 A＝sin A，又0＜A＜π，sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝. 答案　A 13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________． 解析　由題意知，sin B＋cos B＝，所以sin＝，所以B＝，根據(jù)正弦定理可知＝，可得＝，所以sin A＝，又a＜b，故A＝. 答案　 14．(xx·煙臺一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，則sin B等于________． 解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，即c＝2.由cos C＝得sin C＝.由正弦定理＝，得sin B＝＝×＝(或者因為c＝2，所以b＝c＝2，即三角形為等腰三角形，所以sin B＝sin C＝)． 答案　 15．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且a＝c＋bcos C. (1)求角B的大??； (2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值． 解　(1)由正弦定理，得sin A＝sin C＋sin Bcos C， 又因為A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)， 可得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin C＋sin Bcos C， 即cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因為S△ABC＝，所以acsin＝，所以ac＝4， 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac， 所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5. 16．(xx·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解　(1)因為a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得＝， 所以＝，故cos A＝. (2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝. 又因為∠B＝2∠A， 所以cos B＝2cos2A－1＝，所以sin B＝＝. 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝. 所以c＝＝5. 17．在△ABC中，邊a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足bcos C＝(3a－c)cos B. (1)求cos B； (2)若·＝4，b＝4，求邊a，c的值． 解　(1)由正弦定理和bcos C＝(3a－c)cos B， 得sin Bcos C＝(3sin A－sin C)cos B， 化簡，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B， 即sin(B＋C)＝3sin Acos B， 故sin A＝3sin Acos B，所以cos B＝. (2)因為·＝4，所以·＝||·||·cos B＝4，所以||·||＝12，即ac＝12.① 又因為cos B＝＝，整理得，a2＋c2＝40.② 聯(lián)立①②解得或 18．在△ABC中，A＝，AB＝2，且△ABC的面積為，則邊AC的長為(　　)． A．1 B. C．2 D. 解析　由題意知S△ABC＝×AB×AC×sin A＝×2×AC×＝，∴AC＝1. 答案　A 19．已知角A為△ABC的內(nèi)角，且sin 2A＝－，則sin A－cos A＝(　　)． A. B．－ C．－ D. 解析　∵A為△ABC的內(nèi)角，且sin 2A＝2sin Acos A＝－＜0，∴sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0. 又(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝. ∴sin A－cos A＝. 答案　A 20．(xx·臨沂一模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2 A＋sin2 C－sin2 B＝sin Asin C，則角B為(　　)． A. B. C.π D.π 解析　由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，所以B＝. 答案　A 21．若三條線段的長分別為3,5,7，則用這三條線段(　　)． A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形 C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形 解析　設(shè)能構(gòu)成三角形的最大邊為a＝7，所對角為A，則cos A＝＝－＜0， 故A為鈍角，即構(gòu)成的三角形為鈍角三角形． 答案　C 22．(xx·安徽卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，則角C＝(　　)． A. B. C. D. 解析　由3sin A＝5sin B，得3a＝5b，∴a＝b， 代入b＋c＝2a中，得c＝b.由余弦定理， 得cos C＝＝－，∴C＝. 答案　B 23．設(shè)α，β都是銳角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，則cos β＝(　　)． A. B. C.或 D.或 解析　α，β都是銳角， 當cos α＝時，sin α＝. 因為cos α＝＜，所以α＞60°. 又sin(α＋β)＝＜， 所以α＋β＜60°或α＋β＞120°. 顯然α＋β＜60°不可能，所以α＋β為鈍角． 又sin(α＋β)＝，因此cos(α＋β)＝－， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝＝. 答案　A 24．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝(　　)． A．10 B．9 C．8 D．5 解析　化簡23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入數(shù)據(jù)，得b＝5. 答案　D 25．(xx·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝(　　)． A. B. C. D. 解析　由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA· BCcos B＝()2＋32－2××3cos＝5. ∴AC＝，由正弦定理＝，得 sin∠BAC＝＝＝＝. 答案　C 26．已知sin＝，且x∈，則cos 2x的值為________． 解析　sin 2x＝cos＝1－2sin2 ＝1－2×2＝－， ∵x∈，∴2x∈. ∴cos 2x＝－＝－. 答案?。? 27．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________． 解析　由△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，可得B＝60°.又在△ABD中，AB＝1，BD＝2，由余弦定理可得AD＝＝. 答案　 28．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若b＝1，c＝，C＝π，則S△ABC＝________. 解析　因為c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sin B＝，所以B＝，所以A＝π－－＝.所以S△ABC＝bc sin A＝××＝. 答案　 29．f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈，則f(x)的最小值為________ . 解析　f(x)＝2sin2－cos 2x－1 ＝1－cos 2－cos 2x－1 ＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，因為≤x≤，所以≤2x－≤，所以≤sin≤1，所以1≤2sin≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值為1. 答案　1 30．(xx·江西卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大?。? (2)若a＋c＝1，求b的取值范圍． 解　(1)由已知得 －cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0， 即有sin Asin B－sin Acos B＝0， 因為sin A≠0，所以sin B－cos B＝0， 又cos B≠0，所以tan B＝， 又0＜B＜π，所以B＝. (2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B. 因為a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝32＋. 又0＜a＜1，于是有≤b2＜1，即有≤b＜1. 故b的取值范圍是. 31．已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos B＋bsin A＝c. (1)求角A的大??； (2)若a＝1，·＝3，求b＋c的值． 解　(1)由acos B＋bsin A＝c，得 sin Acos B＋sin Bsin A＝sin (A＋B)， 即 sin Bsin A＝cos Asin B， 所以tan A＝，故A＝. (2)由·＝3，得bccos ＝3，即bc＝2，① 又a＝1， ∴1＝b2＋c2－2bccos ，② 由①②可得(b＋c)2＝7＋4，所以b＋c＝2＋.