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1、2022年高考數學二輪復習 限時訓練7 函數與導數 理
1．曲線y＝x3－2x在(1，－1)處的切線方程為( )
A．x－y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
解析：選A.由已知，得點(1，－1)在曲線y＝x3－2x上，所以切線的斜率為y′|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，由直線方程的點斜式得x－y－2＝0，故選A.
2．函數f(x)＝x2－ln x的單調遞減區(qū)間為( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：選B.由題意知，函數的定義域為(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0
2、函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,1]．
3．已知函數f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數，函數g(x)＝x2－aln x在(1,2)上為增函數，則a的值等于( )
A．1 B．2
C．0 D.
解析：選B.∵函數f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數，∴≥1，得a≥2.
又∵g′(x)＝2x－，依題意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.
4.函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，其導函數f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內的極大值點有( )
A．1個
3、B．2個
C．3個 D．4個
解析：選B.依題意，記函數y＝f′(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標自左向右依次為x1，x2，x3，x4，當a0；當x1
4、解析：選D.因為f′(x)＝3x2＋2bx＋c，f′(x)的兩個根分別在(0,1)和(1,2)內，所以f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，即作出可行域如圖中陰影部分所示(不包括b軸)，2＋(c－3)2表示可行域內一點到點P的距離的平方，由圖象可知，P到直線3＋2b＋c＝0的距離最小，即2＋(c－3)2的最小值為2＝5，P到點A的距離最大，此時2＋(c－3)2＝25，因為可行域的臨界線為虛線，所求范圍為(5,25)，故選D.
6．函數f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex＋1的解集為( )
A．{x|x>0}
5、 B．{x|x<0}
C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex為R上的增函數．又因為g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式轉化為g(x)>g(0)，解得x>0.
7．(xx·高考福建卷)若定義在R上的函數f(x)滿足f(0)＝－1，其導函數f′(x)滿足f′(x)>k>1，則下列結論中一定錯誤的是( )
A．f< B．f>
C．f< D．f>
解析：選
6、C.構造新函數并求導，利用函數單調性求解．
令g(x)＝f(x)－kx＋1，則g(0)＝f(0)＋1＝0，
g＝f－k·＋1＝
f－.
∵g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在[0，＋∞)上為增函數．
又∵k>1，∴>0，∴g>g(0)＝0，
∴f－>0，即f>.
∴C一定錯誤．
8．函數f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是( )
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0
7、－1，求導得g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)為R上的增函數．又g(0)＝e0·f(0)－e0－1＝0，ex·f(x)>ex＋1，所以g(x)>0的解集為{x|x>0}．
9．已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的體積最大時，其高的值為( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：選D.設正六棱柱的底面邊長為a，高為h，則可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的體積V＝×h＝h＝·，令y＝－＋9h，則y′＝－＋9，令y′＝0，得h＝2.易知當h
8、＝2時，正六棱柱的體積最大．
10．如圖所示，曲線y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0圍成的陰影部分的面積為( )
A.|x2－1|dx
B．|(x2－1)dx|
C.(x2－1)dx
D.(x2－1)dx＋(1－x2)dx
解析：選A.由曲線y＝|x2－1|的對稱性，所求陰影部分的面積與如圖圖形的面積相等，即|x2－1|dx，選A.
11．(xx·武漢調研)設函數f(x)＝x3－4x＋a,0－1 B．x2<0
C．x2>0 D．x3>2
解析：選C.函數f(x)的零點就是
9、函數g(x)＝4x－x3的圖象與直線y＝a的交點的橫坐標．而g′(x)＝4－3x2，令g′(x)＝0得x＝±，所以g(x)在，上單調遞減，
在上單調遞增，注意到0，結合選項知應選C.
12.已知函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，0)和(2，＋∞)
C．R
D．(1,2)
解析：選B.因為函數y＝x是R上的減函數，所以f′(x)>0的充要條件是01.由圖象，可知當x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，0
10、x)<1，即f′(x)>0.所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)．
13．(xx·高考湖南卷)?(x－1)dx＝__________.
解析：利用微積分基本定理直接計算．
?(x－1)dx＝|＝×22－2＝0.
答案：0
14．已知函數f(x)＝mx3＋nx2的圖象在點(－1,2)處的切線恰好與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調遞減，則實數t的取值范圍是__________．
解析：由題意知，點(－1,2)在函數f(x)的圖象上，
故－m＋n＝2.①
又f′(x)＝3mx2＋2nx，則f′(－1)＝－3，
故3m－2n＝－3.②
11、
聯立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，
令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，
則[t，t＋1]?[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，
所以t∈[－2，－1]．
答案：[－2，－1]
15．(xx·高考陜西卷)設曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________．
解析：利用導數表示切線斜率，根據切線垂直列方程求解．y′＝ex，曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1，設P(m，n)，y＝(x>0)的導數為y′＝－(x>0)，曲線y＝(x>0)在點P處的切線斜率k2＝－(m>0)，因
12、為兩切線垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，則點P的坐標為(1,1)．
答案：(1,1)
16．設函數f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的極大值點，則a的取值范圍為__________．
解析：f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.
∴f′(x)＝－ax＋a－1
＝＝－.
①若a≥0，當00，f(x)單調遞增；當x>1時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；
所以x＝1是f(x)的極大值點．
②若a<0，由f′(x)＝0，
得x＝1或x＝－.
因為x＝1是f(x)的極大值點，
所以－>1，解得－1
2022年高考數學二輪復習 限時訓練7 函數與導數 理
