2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第4章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 4.2 指數(shù)函數(shù) 4.2.1 指數(shù)函數(shù)的概念 4.2.2 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 第1課時 指數(shù)函數(shù)的概念及其圖象和性質(zhì)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

第1課時　指數(shù)函數(shù)的概念及其圖象和性質(zhì) (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.了解引入指數(shù)函數(shù)的背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義.2.能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象.3.探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域及圖象與參數(shù)的關(guān)系． 教學(xué)重點(diǎn)：1.理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.借助指數(shù)函數(shù)的圖象掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在“制圖與識圖”過程中體會數(shù)形結(jié)合思想.3.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的一些簡單應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).2.底數(shù)a對函數(shù)的影響． 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點(diǎn)一　指數(shù)函數(shù)的定義 函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R. 知識點(diǎn)二　指數(shù)增長模型 在實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到指數(shù)增長模型：設(shè)原有量為N，每次的增長率為p，經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則y＝N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型． 知識點(diǎn)三　指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【新知拓展】 (1)由指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的性質(zhì)知，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(0,1)，(1，a)，，只要確定了這三個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可快速地畫出指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象． (2)底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是a>1，還是0<a<1，在第一象限內(nèi)底數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近y軸． 當(dāng)a>b>1時， ①若x>0，則ax>bx>1； ②若x<0，則1>bx>ax>0. 當(dāng)1>a>b>0時， ①若x>0，則1>ax>bx>0； ②若x<0，則bx>ax>1. (3)指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，且圖象都在x軸上方． (4)當(dāng)a>1時，x→－∞，y→0；當(dāng)0<a<1時，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意義是“x趨近于正無窮大”) 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方．(　　) (2)當(dāng)a>1時，對于任意x∈R總有ax>1.(　　) (3)函數(shù)f(x)＝2－x在R上是增函數(shù)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)若f(x)＝(a2－3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a＝________. (2)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過點(diǎn)(2,9)，則f(x)＝________. (3)函數(shù)y＝2的定義域?yàn)開_______，值域?yàn)開_______． 答案　(1)2　(2)3x　(3)(－∞，0]　[1,2) 題型一 指數(shù)函數(shù)的概念 例1　指出下列哪些是指數(shù)函數(shù)． (1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x； (5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)x. [解]　(2)是四次函數(shù)；(3)是－1與4x的乘積；(4)中底數(shù)－4＜0；(6)是二次函數(shù)；(7)中底數(shù)x不是常數(shù)．它們都不符合指數(shù)函數(shù)的定義，故不是指數(shù)函數(shù)．綜上可知，(1)(5)(8)是指數(shù)函數(shù)． 金版點(diǎn)睛 判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)，只需判斷其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)這一形式即可.若符合，則函數(shù)為指數(shù)函數(shù)；否則就不是指數(shù)函數(shù). 　若函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a＝________. 答案　2 解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)， 所以解得所以a＝2. 題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象問題 例2　(1)如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a(chǎn)<b<1<d<c (2)函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)________． [解析]　(1)解法一：由圖象可知③④的底數(shù)必大于1，①②的底數(shù)必小于1. 作直線x＝1，在第一象限內(nèi)直線x＝1與各曲線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即各指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，則1<d<c，b<a<1，從而可知a，b，c，d與1的大小關(guān)系為b<a<1<d<c. 解法二：根據(jù)圖象可以先分兩類： ③④的底數(shù)大于1，①②的底數(shù)小于1，再由③④比較c，d的大小，由①②比較a，b的大?。?dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時，圖象上升，且底數(shù)越大時圖象向上越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近x軸． (2)解法一：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(0,1)，所以在函數(shù)y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(3,4)． 解法二：將原函數(shù)變形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指數(shù)函數(shù)，所以當(dāng)x－3＝0時，y－3＝1，即x＝3時，y＝4，所以原函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(3,4)． [答案]　(1)B　(2)(3,4) 金版點(diǎn)睛 1．識別指數(shù)函數(shù)圖象問題的注意點(diǎn) (1)根據(jù)圖象“上升”或“下降”確定底數(shù)a>1或0<a<1； (2)在y軸右側(cè)，指數(shù)函數(shù)的圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小到大；在y軸左側(cè)，指數(shù)函數(shù)的圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大到小； (3)根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則，確定圖象的平移變換，從而確定指數(shù)型函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置． 2．解決指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題的思路 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(0,1)，據(jù)此，可解決形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函數(shù)圖象過定點(diǎn)的問題，即令x＝－c，得y＝k＋b，函數(shù)圖象過定點(diǎn)(－c，k＋b)． 　(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝x的圖象可能是(　　) (2)函數(shù)y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)________． 答案　(1)A　(2) 解析　(1)二次函數(shù)y＝a2－，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由指數(shù)函數(shù)的圖象知0<<1，所以－<－<0，再觀察四個選項(xiàng)，只有A中的拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在－和0之間． (2)令2x＋1＝0得x＝－，y＝2， 所以函數(shù)圖象恒過點(diǎn). 題型三 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域問題 例3　求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝. [解]　(1)要使函數(shù)式有意義，則1－3x≥0，即3x≤1＝30，因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上是增函數(shù)，所以x≤0.故函數(shù)y＝的定義域?yàn)?－∞，0]． 因?yàn)閤≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1. 所以 ∈[0,1)，即函數(shù)y＝ 的值域?yàn)閇0,1)． (2)要使函數(shù)式有意義，則x－4≠0，解得x≠4. 所以函數(shù)y＝2的定義域?yàn)閧x|x≠4}． 因?yàn)椤?，所以2≠1，即函數(shù)y＝2的值域?yàn)閧y|y>0，且y≠1}． (3)要使函數(shù)式有意義，則－|x|≥0，解得x＝0. 所以函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x＝0}． 因?yàn)閤＝0，所以＝0＝1， 即函數(shù)y＝的值域?yàn)閧y|y＝1}． 金版點(diǎn)睛 求指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域的一般方法 (1)求指數(shù)型函數(shù)的定義域時，先觀察函數(shù)是y＝ax型還是y＝af(x)型． ①由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的定義域是R，所以函數(shù)y＝af(x)的定義域與f(x)的定義域相同. ②對于函數(shù)y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定義域，關(guān)鍵是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(t)的定義域中. ③求y＝)型函數(shù)的定義域時，往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組). (2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，要注意指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，還需注意：在求形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)值域時，先求得f(x)的值域(即函數(shù)t＝f(x)中t的范圍)，再根據(jù)y＝at的單調(diào)性，列出指數(shù)不等式(組)，得出at的范圍，即y＝af(x)的值域. 　求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝0.3；(2)y＝3； (3)y＝x2－2x－3. 解　(1)由x－1≠0得x≠1，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}． 由≠0得y≠1， 所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y>0且y≠1}． (2)由5x－1≥0得x≥， 所以函數(shù)的定義域?yàn)? 由≥0，得y≥1， 所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥1}． (3)定義域?yàn)镽. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴x2－2x－3≤－4＝16. 又∵x2－2x－3>0， ∴函數(shù)y＝x2－2x－3的值域?yàn)?0,16]． 1．若f(x)滿足對任意的實(shí)數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，則＋＋＋…＋＝(　　) A．1010 B．2020 C．2019 D．1009 答案　B 解析　不妨設(shè)f(x)＝2x，則＝＝…＝＝2，所以原式＝1010×2＝2020. 2．若函數(shù)y＝(1－2a)x是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B．(－∞，0) C. D. 答案　B 解析　由題意知，此函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且為實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，所以底數(shù)1－2a>1，解得a<0. 3．若函數(shù)y＝ 的定義域是(－∞，0]，則a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)<1 C．0<a<1 D．a(chǎn)≠1 答案　C 解析　由ax－1≥0，得ax≥a0. ∵函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0]，∴0<a<1. 4．已知1>n>m>0，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx，②y＝nx的圖象為(　　) 答案　C 解析　由于0<m<n<1，所以y＝mx與y＝nx都是減函數(shù)，故排除A，B；作直線x＝1與兩條曲線相交，交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y＝mx的圖象，故選C. 5．已知函數(shù)f(x)＝ax－1(x≥0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，其中a>0，且a≠1. (1)求a的值； (2)求函數(shù)y＝f(x)(x≥0)的值域． 解　(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)， 所以a2－1＝，則a＝. (2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)， 由x≥0，得x－1≥－1， 于是0<x－1≤－1＝2. 所以所求函數(shù)的值域?yàn)?0,2]． - 9 -