2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 分段函數(shù)剪不斷理還亂專題檢測(cè)（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 分段函數(shù)，剪不斷理還亂專題檢測(cè)（含解析） 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________． 答案　[0，＋∞) 解析　當(dāng)x≤1時(shí)，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1； 當(dāng)x>1時(shí)，1－log2x≤2，解得x≥， 所以x>1.綜上可知x≥0. 2．已知函數(shù)f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是________． 答案　(0,2] 解析　由題意，得解得0<a≤2. 3．設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)， f(x)＝ 則f(x)的值域是______________________． 答案　[－，0]∪(2，＋∞) 解析　由x<g(x)得x<x2－2， ∴x<－1或x>2； 由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2. ∴f(x)＝ 即f(x)＝ 當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)>2；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>8. ∴當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?2，＋∞)． 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，－≤f(x)≤0. ∴當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇－，0]． 綜上可知，f(x)的值域?yàn)閇－，0]∪(2，＋∞)． 4．已知f(x)＝ 則下列函數(shù)的圖象錯(cuò)誤的是________． 答案?、? 解析　先在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，再將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)＝f(x－1)的圖象，因此①正確；作函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，即可得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，因此②正確；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的圖象與y＝f(x)的圖象重合，③正確；y＝f(|x|)的定義域是[－1,1]，且是一個(gè)偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y＝f(|x|)＝，相應(yīng)這部分圖象不是一條線段，因此④不正確． 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(m)>f(－m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(－∞，－1)∪(0,1) 解析　若m>0，則－m<0，f(m)＝＝－log2m，f(－m)＝log2m，由f(m)>f(－m)，得－log2m>log2m，即log2m<0,0<m<1；若m<0，則－m>0，f(－m)＝log (－m)＝－log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)>f(－m)得log2(－m)>－log2(－m)，解得m<－1. 6．對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是____________________． 答案　(－∞，－2]∪(－1，－) 解析　f(x)＝ 即f(x)＝ f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知c的取值范圍為 (－∞，－2]∪(－1，－)． 7．已知函數(shù)f(x)＝則f(－3)的值為________． 答案　2 解析　f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2. 8．已知函數(shù)f(x)＝若f(f(1))>3a2，則a的取值范圍是________． 答案　－1<a<3 解析　由分段函數(shù)可得f(f(1))＝f(3)＝6a＋9， 故f(f(1))>3a2?6a＋9>3a2，解得－1<a<3. 9．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　畫出分段函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 結(jié)合圖象可以看出，若f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，也即函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k的取值范圍為(0,1)． 10．設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為________． 答案?。?0 解析　因?yàn)閒(x)的周期為2， 所以f＝f＝f， 即f＝f. 又因?yàn)閒＝－a＋1，f＝＝， 所以－a＋1＝. 整理，得a＝－(b＋1)．① 又因?yàn)閒(－1)＝f(1)， 所以－a＋1＝，即b＝－2a.② 將②代入①，得a＝2，b＝－4. 所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10. 11．(xx·四川)已知函數(shù)f(x)＝其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1<x2. (1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x2<0，求x2－x1的最小值； (3)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍． 解　(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為f′(x1)，點(diǎn)B處的切線斜率為f′(x2)， 又當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)， 有f′(x1)f′(x2)＝－1. 當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝2x＋2， 因?yàn)閤1<x2<0，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1， 所以2x1＋2<0,2x2＋2>0. 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥ ＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1， 即x1＝－且x2＝－時(shí)等號(hào)成立． 所以，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，x2－x1的最小值為1. (3)當(dāng)x1<x2<0或x2>x1>0時(shí)，f′(x1)≠f′(x2)， 故x1<0<x2. 當(dāng)x1<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線方程為y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)， 即y＝(2x1＋2)x－x＋a. 當(dāng)x2>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x2，f(x2))處的切線方程為y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1. 兩切線重合的充要條件是 由①及x1<0<x2知，0<<2. 由①②得， a＝ln x2＋2－1＝－ln＋2－1. 令t＝，則0<t<2，且a＝t2－t－ln t. 設(shè)h(t)＝t2－t－ln t(0<t<2)， 因?yàn)閔′(t)＝t－1－＝<0， 所以h(t)(0<t<2)為減函數(shù)，則h(t)>h(2)＝－ln 2－1，a>－ln 2－1.而當(dāng)t∈(0,2)且趨近于0時(shí)，h(t)無(wú)限增大，所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)， 故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A、B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)． 12．(xx·湖南)已知a>0，函數(shù)f(x)＝. (1)記f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式； (2)是否存在a，使函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解　(1)當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f(x)＝； 當(dāng)x>a時(shí)，f(x)＝. 因此， 當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＝<0，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＝>0，f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增． ①若a≥4，則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，g(a)＝f(0)＝. ②若0<a<4，則f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a,4)上單調(diào)遞增． 所以g(a)＝max{f(0)，f(4)}． 而f(0)－f(4)＝－＝， 故當(dāng)0<a≤1時(shí)，g(a)＝f(4)＝； 當(dāng)1<a<4時(shí)，g(a)＝f(0)＝. 綜上所述，g(a)＝ (2)由(1)知，當(dāng)a≥4時(shí)，f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，故不滿足要求． 當(dāng)0<a<4時(shí)，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a,4)上單調(diào)遞增． 若存在x1，x2∈(0,4)(x1<x2)，使曲線y＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))兩點(diǎn)處的切線互相垂直． 則x1∈(0，a)，x2∈(a,4)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1. 即·＝－1. 亦即x1＋2a＝.(*) 由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，∈. 故(*)成立等價(jià)于集合A＝{x|2a<x<3a}與集合B＝的交集非空． 因?yàn)?lt;3a，所以當(dāng)且僅當(dāng)0<2a<1，即0<a<時(shí)，A∩B≠?. 綜上所述，存在a使函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直，且a的取值范圍是.