2022年高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-2教案:第4章 拓展資料:復(fù)數(shù)與平行四邊形家族
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2022年高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-2教案:第4章 拓展資料:復(fù)數(shù)與平行四邊形家族
2022年高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-2教案:第4章 拓展資料:復(fù)數(shù)與平行四邊形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面幾何圖形與某些復(fù)數(shù)式之間存在某種聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的途徑.在求解復(fù)數(shù)問題時,要善于考察條件中給定的或者是通過推理所得的復(fù)數(shù)形式的結(jié)構(gòu)特征,往往能獲得簡捷明快、生動活潑的解決方法.下面略舉幾例,以供參考.
一、復(fù)數(shù)式與長方形的轉(zhuǎn)化
例1 復(fù)數(shù),滿足,,證明:.
解析:設(shè)復(fù)數(shù),在復(fù)平面上對應(yīng)的點為,,由知,以,為鄰邊的平行四邊形為矩形,,故可設(shè),所以.
例2 已知復(fù)數(shù),滿足,,且,求與的值.
解析:設(shè)復(fù)數(shù),在復(fù)平面上對應(yīng)的點為,,由于,故,
故以,為鄰邊的平行四邊形是矩形,從而,則;.
二、復(fù)數(shù)式與正方形的轉(zhuǎn)化
例3 已知復(fù)數(shù)滿足,且,求證:.
證明:設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為,,由條件知,以,為鄰邊的平行四邊形為正方形,而在復(fù)平面上對應(yīng)的向量為正方形的一條對角線,所以.
點評:復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系賦予了復(fù)數(shù)的幾何意義,復(fù)數(shù)加法幾何意義的運用是本題考查的重點.
三、復(fù)數(shù)式與菱形的轉(zhuǎn)化
例4 已知,,,求.
解析:設(shè)復(fù)數(shù),在復(fù)平面上對應(yīng)的點為,由知,以,為鄰邊的平行四邊形是菱形,,,考慮到時,;時,無意義,故使為純虛數(shù)的充要條件是,且,.
復(fù)數(shù)的加減法符合平行四邊形法則,是復(fù)數(shù)與平行四邊形家族聯(lián)姻的前提.通過本文我們發(fā)現(xiàn)深入抓住復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的本質(zhì),可使我們求解復(fù)數(shù)問題的思路更加廣闊,方法也更加靈活.