2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-1 1-1-2 瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)

2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-1 1-1-2 瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù) 曲線上一點(diǎn)處的切線 如圖Pn的坐標(biāo)為(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐標(biāo)為(x0，y0)． 問題1：當(dāng)點(diǎn)Pn→點(diǎn)P時(shí)，試想割線PPn如何變化？ 提示：當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置． 問題2：割線PPn斜率是什么？ 提示：割線PPn的斜率是kn＝. 問題3：割線PPn的斜率與過點(diǎn)P的切線PT的斜率k有什么關(guān)系呢？ 提示：當(dāng)點(diǎn)Pn無限趨近于點(diǎn)P時(shí)，kn無限趨近于切線PT的斜率． 問題4：能否求得過點(diǎn)P的切線PT的斜率？ 提示：能． 1．割線 設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，這時(shí)，直線PQ稱為曲線的割線． 2．切線 隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線C.當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點(diǎn)P處的切線. 瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示時(shí)間． 問題1：該質(zhì)點(diǎn)在[1,1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是多少？ 提示：該質(zhì)點(diǎn)在[1,1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為＝－6－3Δt. 問題2：Δt的變化對(duì)所求平均速度有何影響？ 提示：Δt越小，平均速度越接近常數(shù)－6. 1．平均速度 運(yùn)動(dòng)物體的位移與所用時(shí)間的比稱為平均速度． 2．瞬時(shí)速度 一般地，如果當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體位移S(t)的平均變化率無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，也就是位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率． 3．瞬時(shí)加速度 一般地，如果當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速度v(t)的平均變化率無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)加速度，也就是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率． 導(dǎo)　數(shù) 1．導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，若Δx無限趨近于0時(shí)，比值＝無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)． 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率． 3．導(dǎo)函數(shù) (1)若f(x)對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f′(x)，在不引起混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)也簡(jiǎn)稱f(x)的導(dǎo)數(shù)． (2)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值． 1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求曲線上在某點(diǎn)處的切線的斜率，然后由點(diǎn)斜式寫出直線方程． 2．函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，所以求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值． 求曲線上某一點(diǎn)處的切線 [例1]　已知曲線y＝x＋上的一點(diǎn)A，用切線斜率定義求： (1)點(diǎn)A處的切線的斜率； (2)點(diǎn)A處的切線方程． [思路點(diǎn)撥]　先計(jì)算，再求其在Δx趨近于0時(shí)無限逼近的值． [精解詳析]　(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－＝＋Δx， ∴＝＋＝＋1. 當(dāng)Δx無限趨近于零時(shí)，無限趨近于， 即點(diǎn)A處的切線的斜率是. (2)切線方程為y－＝(x－2)， 即3x－4y＋4＝0. [一點(diǎn)通]　根據(jù)曲線上一點(diǎn)處的切線的定義，要求曲線過某點(diǎn)的切線方程，只需求出切線的斜率，即在該點(diǎn)處，Δx無限趨近于0時(shí)，無限趨近的常數(shù)． 1．曲線y＝－x2－2在點(diǎn)P處的切線的斜率為________． 解析：設(shè)P，Q，則割線PQ的斜率為kPQ＝＝－Δx－1. 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，kPQ無限趨近于－1，所以曲線y＝－x2－2在點(diǎn)P處的切線的斜率為－1. 答案：－1 2．已知曲線y＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線的斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則＝＝4x0＋4＋2Δx. 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，4x0＋4＋2Δx無限趨近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝16，即x0＝3， 所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,30)． 答案：(3,30) 3．已知曲線y＝3x2－x，求曲線上一點(diǎn)A(1,2)處的切線的斜率及切線方程． 解：設(shè)A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－(1＋Δx))， 則kAB＝＝5＋3Δx， 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，5＋3Δx無限趨近于5，所以曲線y＝3x2－x在點(diǎn)A(1,2)處的切線斜率是5. 切線方程為y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0. 瞬時(shí)速度 [例2]　一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律S(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若該質(zhì)點(diǎn)在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，求常數(shù)a的值． [思路點(diǎn)撥]　先求出質(zhì)點(diǎn)在t＝2s時(shí)的平均速度，再根據(jù)瞬時(shí)速度的概念列方程求解． [精解詳析]　因?yàn)棣＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt. 當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于4a. 所以t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為4a m/s. 故4a＝8，即a＝2. [一點(diǎn)通]　要計(jì)算物體的瞬時(shí)速度，只要給時(shí)間一個(gè)改變量Δt，求出相應(yīng)的位移的改變量ΔS，再求出平均速度＝，最后計(jì)算當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近常數(shù)，就是該物體在該時(shí)刻的瞬時(shí)速度． 4．一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移S與時(shí)間t的關(guān)系是S＝3t－t2，則此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為________． 解析：由于ΔS＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2， 所以＝＝－1－Δt. 當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)－1. 故物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為－1. 答案：－1 5．如果一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程S(t)＝試求該物體在t＝1和t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度． 解：當(dāng)t＝1時(shí)，S(t)＝t2＋2， 則＝＝＝2＋Δt， 當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，2＋Δt無限趨近于2， 所以v(1)＝2； ∵t＝4∈[3，＋∞)， ∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56， ∴＝ ＝＝3·Δt＋6， ∴當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，3·Δt＋6→6，即→6， 所以v(4)＝6. 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 [例3]　已知f(x)＝x2－3. (1)求f(x)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)； (2)求f(x)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)． [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解．深刻理解概念是正確解題的關(guān)鍵． [精解詳析]　(1)因?yàn)椋? ＝ ＝4＋Δx， 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，4＋Δx無限趨近于4， 所以f(x)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)等于4. (2)因?yàn)椋? ＝ ＝2a＋Δx， 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，2a＋Δx無限趨近于2a， 所以f(x)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)等于2a. [一點(diǎn)通]　由導(dǎo)數(shù)的定義知，求一個(gè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下： (1)求函數(shù)值的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)令Δx無限趨近于0，求得導(dǎo)數(shù)． 6．函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是________． 解析：∵函數(shù)y＝f(x)＝x＋， ∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝1＋Δx＋－1－1＝， ∴＝，當(dāng)Δx→0時(shí)，→0， 即y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為0. 答案：0 7．設(shè)f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，則a＝________. 解析：∵＝＝a， ∴f′(1)＝a，即a＝2. 答案：2 8．將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x h時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函數(shù)y＝f(x)在x＝6處的導(dǎo)數(shù)f′(6)，并解釋它的實(shí)際意義． 解：當(dāng)x從6變到6＋Δx時(shí)，函數(shù)值從f(6)變到f(6＋Δx)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為： ＝ ＝＝5＋Δx. 當(dāng)x→6時(shí)，即Δx→0，平均變化率趨近于5， 所以f′(6)＝5，導(dǎo)數(shù)f′(6)＝5表示當(dāng)x＝6 h時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率即原油溫度的瞬時(shí)變化速度．也就是說，如果保持6 h時(shí)溫度的變化速度，每經(jīng)過1 h時(shí)間，原油溫度將升高5℃. 1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過某點(diǎn)的切線方程 (1)若已知點(diǎn)(x0，y0)在已知曲線上，則先求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若題中所給的點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程． 2．f′(x0)與f′(x)的異同 區(qū)別 聯(lián)系 f′(x0) f′(x0)是具體的值，是數(shù)值 在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值 f′(x) f′(x)是f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù) [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二)]　 一、填空題 1．一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為S＝5－3t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為________． 解析：∵當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，－3Δt－6無限趨近于常數(shù)－6，∴該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－6. 答案：－6 2．函數(shù)f(x)＝1－3x在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為________． 解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx，＝－3， 則Δx趨于0時(shí)，＝－3. 故f(x)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為－3. 答案：－3 3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由題意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝， 所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3. 答案：3 4．曲線f(x)＝x2－2在點(diǎn)處的切線的傾斜角為________． 解析：∵＝ ＝＝Δx＋1. ∴當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)1，即切線的斜率為1. ∴切線的傾斜角為. 答案： 5．已知曲線y＝2ax2＋1過點(diǎn)P(，3)，則該曲線在P點(diǎn)處的切線方程為________． 解析：∵y＝2ax2＋1過點(diǎn)P(，3)， ∴3＝2a2＋1，即a2＝1. 又∵a≥0，∴a＝1，即y＝2x2＋1. ∴P(1,3)． 又＝＝＝4＋2Δx. ∴當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)4， ∴f′(1)＝4，即切線的斜率為4. 由點(diǎn)斜式可得切線方程為y－3＝4(x－1)， 即4x－y－1＝0. 答案：4x－y－1＝0 二、 解答題 6．已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程是S(t)＝gt2＋2t－1(g是重力加速度，常量)，求質(zhì)點(diǎn)在t＝4 s時(shí)的瞬時(shí)速度(其中s的單位是m，t的單位是s)． 解：＝ ＝ ＝ ＝gΔt＋4g＋2. ∵當(dāng)Δt→0時(shí)，→4g＋2， ∴S′(4)＝4g＋2，即v(4)＝4g＋2， 所以，質(zhì)點(diǎn)在t＝4 s時(shí)的瞬時(shí)速度為(4g＋2) m/s. 7．求過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程． 解：∵ ＝＝2＋3·Δx， ∴當(dāng)Δx→0時(shí)，2＋3·Δx→2，∴f′(1)＝2， 所以直線的斜率為2， 所以直線方程為y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0. 8．已知直線l：y＝4x＋a和曲線C：y＝x3－2x2＋3相切．求a的值及切點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)， ∵＝ ＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0. ∴當(dāng)Δx→0時(shí)，→3x－4x0， 即f′(x0)＝3x－4x0， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2. ∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為或(2,3)， 當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)， 有＝4×＋a，∴a＝， 當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有3＝4×2＋a，∴a＝－5， 當(dāng)a＝時(shí)，切點(diǎn)為； a＝－5時(shí)，切點(diǎn)為(2,3)．