2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 三角函數(shù)與解三角形 3-1任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)《教案》

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 三角函數(shù)與解三角形 3-1任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.了解任意角的概念； 2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化； 3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角,弧度制和任意角三角函數(shù)的概念； 2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 考綱再現(xiàn): 考試內(nèi)容 要求層次 了解 理解 掌握 任意角的概念和弧度制 √     弧度與角度的互化 √ 任意角的正弦、余弦、正切定義 √ 用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切 √ [考綱傳真]1.了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化 3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 從近五年高考情況來看，本課時(shí)在高考中一般不直接考查， 常與三角恒等變形進(jìn)行綜合考查，但本講是學(xué)習(xí)后邊內(nèi)容的基礎(chǔ)，是學(xué)好三角函數(shù)必須要掌握的基本內(nèi)容. 真題再現(xiàn) 1. 【xx福建高考】若 ， 且 為第四象限角，則 的值等于（ ） 2.【xx課標(biāo)卷Ⅰ】如圖所示，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)．角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]的圖象大致為(　　) 解析:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OA為x軸的正方向，坐系．則P(cosx，sinx)，M(cosx,0)，故M到直O(jiān)P的距離為f(x)＝|sinx·cosx|＝|sin2x|，x∈[0，π]，故選B. 。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢 環(huán)節(jié)二： 知識(shí)梳理： 知識(shí)點(diǎn)1　角的有關(guān)概念 1．從運(yùn)動(dòng)的角度看，可分為正角、_____和______． 2．從終邊位置來看，可分為_______和軸線角． 3．若α與β角的終邊相同，則β用α表示為β＝α＋2kπ(k∈Z)． 知識(shí)點(diǎn)2　弧度的定義和公式 1．定義:長度等于_______的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. 2.換算關(guān)系與相關(guān)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 1°＝rad；1 rad＝° 弧長公式 弧長l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 知識(shí)點(diǎn)3　任意角的三角函數(shù) 1).任意角的三角函數(shù)定義： 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0). 2）.三角函數(shù)線 如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)T. 名師點(diǎn)睛： 1．必會(huì)結(jié)論(1)象限角與軸線角 ①象限角： ②軸線角： (2)任意角三角函數(shù)的定義 設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．必清誤區(qū) (1)第一象限角、銳角、小于90°的角是三個(gè)不同的概念，前者是象限角，后兩者是區(qū)間角． (2)角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 考點(diǎn)分項(xiàng)突破 考點(diǎn)一： 角的概念及其集合表示 1．終邊在直線y＝x上的角的集合是________． 【解析】　在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝x上的角為， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為 2．若角θ的終邊與角的終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與角的終邊相同的角的個(gè)數(shù)為________． 【解析】　∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)， 依題意0≤＋≤2π，∴－≤k≤，∴k＝0,1,2，即在[0,2π]內(nèi)與終邊相同的角為，，共三個(gè)． 跟蹤訓(xùn)練1： 1.若角α的終邊和函數(shù)y＝－|x|的圖象重合，試寫出角的集合； 2.若θ角的終邊與168°角的終邊相同，求在[0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角 解析：1.由于y＝－|x|的圖象是三、四象限的角平分線， 故在0°～360°間所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別為225°及315°，從而角α的集合為 S＝{α|α＝k?360°＋225°或α＝k?360°＋315°，k∈Z}． 解析2.:θ＝k·360°＋168°，k∈Z，＝k·120°＋56°，k∈Z.依題意得0≤k·120°＋56°＜360°，當(dāng)k＝0,1,2時(shí)， k·120°＋56°在[0°，360°)內(nèi)，所以＝56°，176°，296°. 歸納：1．終邊在某直線上角的求法步驟 (1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線． (2)按逆時(shí)針方向?qū)懗鯷0,2π]內(nèi)的角． (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合．(4)求并集化簡(jiǎn)集合． 2．確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法 先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置． 考點(diǎn)二: 扇形的弧長、面積公式 (1)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________． (2)已知扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長為l， ①若α＝100°，r＝2，求扇形的面積； ②若扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心 【解析】　(1)設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長為2r，∴正方形邊長為r，∴圓心角的弧度數(shù)是＝.角的弧度數(shù)． (2)①S＝lr＝αr2＝×π×4＝π， ②由題意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，S＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，當(dāng)r＝5時(shí)，S的最大值為25. 當(dāng)r＝5時(shí)，l＝20－2×5＝10，α＝＝2(rad)． 即扇形的面積最大值為25，此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)為2 rad. 跟蹤訓(xùn)練2： 1.　已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)已知扇形的周長為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角： (3)若扇形周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè) 扇形的面積最大？ 解　由已知得，l＋2R＝20. 當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l＝10，α＝2. 2　已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)弧長是(　　) A．2　　　 B．sin2　　　 C.　　　 D．2sin1 解析：如圖，∠AOB＝2弧度，過O點(diǎn)作OC⊥AB于C，并延長OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且 AC＝AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝＝， 從而弧AB的長為l＝|α|·R＝.故選C. 歸納：弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略 1．明確弧度制下弧長公式l＝αr，扇形的面積公式是S＝lr＝αr2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)． 2．求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)量． 考點(diǎn)三：三角函數(shù)的定義 ●命題角度1　利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 1．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cos α＝(　　) A.　　　 B.　　　C．－　　 D．－ 【解析】　因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－. 2．若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，則cos θ的值為________． 【解析】　由題意知r＝，∴sin θ＝＝m，∵m≠0，∴m＝±，∴r＝＝2， ∴cos θ＝＝. ●命題角度2　利用三角函數(shù)的定義求點(diǎn)的坐標(biāo) 3．點(diǎn)P從(0,1)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 【解析】　由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos π＝－，y＝sin π＝－，∴Q. 4．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，若α＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 【解析】　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意知x＝cos，y＝sin，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． ●命題角度3　利用三角函數(shù)線解三角不等式 5.在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍， 并由此寫出角α的集合：sinα≥ 解析：作直線y＝交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋π，k∈Z}． 跟蹤訓(xùn)練3： 1. 設(shè)90°＜α＜180°，角α的終邊上一點(diǎn)為P(x，)， 且cosα＝x，求sinα與tanα的值； 解析：∵r＝，∴cosα＝， 從而x＝，解得x＝0或x＝±. ∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－. 故r＝2，sinα＝＝，tanα＝＝－. 2．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則cosα＝______. 解析：由題意可得，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 －，由三角函數(shù)的定義得cosα＝－. 3. 如果點(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是(　　) A． 第一象限　　 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 解析：3. 因?yàn)辄c(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限， 所以sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即所以θ為第二象限角，選B. 4.在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍， 并由此寫出角α的 解：作直線x＝－交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC,OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z}． 集合：cosα≤－. 歸納：三角函數(shù)定義的應(yīng)用方法 1．已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解． 2．已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值． 3．已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)． 4. 單位圓及三角函數(shù)線,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法． 引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過跟蹤訓(xùn)練，來鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，到底知識(shí)和能力的內(nèi)化。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過跟蹤訓(xùn)練，來鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，到底知識(shí)和能力的內(nèi)化。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結(jié)： 1．認(rèn)真分析題意，合理選擇數(shù)學(xué)模型是解決應(yīng)用問題的基礎(chǔ)； 2．實(shí)際問題中往往解決一些最值問題，我們可以利用二次函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求得最值． 3．函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)是常見的解題錯(cuò)誤．所以，正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是正確解決這類問題的前提和基礎(chǔ)． 4．要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域． 5．注意問題反饋．在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性． 學(xué)生回顧，總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè) 學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。