雞兔同籠問(wèn)題 (2)

雞兔同籠問(wèn)題 【含義】    這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。   【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題：              假設(shè)全都是雞，則有  兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）              假設(shè)全都是兔，則有  雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2）              第二雞兔同籠問(wèn)題：              假設(shè)全都是雞，則有       兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）              假設(shè)全都是兔，則有       雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）   【解題思路和方法】  解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。   例1    長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？             解  假設(shè)35只全為兔，則  雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）                                      兔數(shù)＝35－23＝12（只）         也可以先假設(shè)35只全為雞，則  兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）                                      雞數(shù)＝35－12＝23（只）                                         答：有雞23只，有兔12只。 例2    2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？             解  此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠”問(wèn)題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個(gè)腳”相對(duì)應(yīng)，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對(duì)應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有                 白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）                                        答：白菜地有10畝。 例3    李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問(wèn)作業(yè)本和日記本各買了多少本？           解  此題可以變通為“雞兔同籠”問(wèn)題。假設(shè)45本全都是日記本，則有               作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）               日記本數(shù)＝45－15＝30（本）                                       答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。 例4    （第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問(wèn)雞與兔各多少只？           解  假設(shè)100只全都是雞，則有                兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）               雞數(shù)＝100－20＝80（只）                                      答：有雞80只，有兔20只。 例5    有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問(wèn)大小和尚各多少人？            解  假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3×100－100）個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們?cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃（3－1/3）個(gè)。因此，共有小和尚    （3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）               共有大和尚      100－75＝25（人）                                     答：共有大和尚25人，有小和尚75人。 典型應(yīng)用題之雞兔同籠 一,基本問(wèn)題 "雞兔同籠"是一類有名的中國(guó)古算題. 最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問(wèn)題,或者用解它的典型解法--"假設(shè)法"來(lái)求解.因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路. 例1 有若干只雞和兔子,它們共有88個(gè)頭,244只腳,雞和兔各有多少只 解:我們?cè)O(shè)想,每只雞都是"金雞獨(dú)立",一只腳站著;而每只兔子都用兩條后腿,像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在,地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半,· 也就是 244÷2=122(只). 在122這個(gè)數(shù)里,雞的頭數(shù)算了一次,兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88,剩下的就是兔子頭數(shù) 122-88=34, 有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只. 答:有兔子34只,雞54只. 上面的計(jì)算,可以歸結(jié)為下面算式: 總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔子數(shù). 上面的解法是《孫子算經(jīng)》中記載的.做一次除法和一次減法,馬上能求出兔子數(shù),多簡(jiǎn)單!能夠這樣算,主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2,4又是2的2倍.可是,當(dāng)其他問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這類問(wèn)題時(shí),"腳數(shù)"就不一定是4和2,上面的計(jì)算方法就行不通.因此,我們對(duì)這類問(wèn)題給出一種一般解法. 還說(shuō)例1. 如果設(shè)想88只都是兔子,那么就有4×88只腳,比244只腳多了 88×4-244=108(只). 每只雞比兔子少(4-2)只腳,所以共有雞 (88×4-244)÷(4-2)= 54(只). 說(shuō)明我們?cè)O(shè)想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式 雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù)). 當(dāng)然,我們也可以設(shè)想88只都是"雞",那么共有腳 2×88=176(只),比244只腳少了 244-176=68(只). 每只雞比每只兔子少(4-2)只腳, 68÷2=34(只). 說(shuō)明設(shè)想中的"雞",有34只是兔子,也可以列出公式 兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù)). 上面兩個(gè)公式不必都用,用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù),再用總頭數(shù)去減,就知道另一個(gè)數(shù). 假設(shè)全是雞,或者全是兔,通常用這樣的思路求解,有人稱為"假設(shè)法". 現(xiàn)在,拿一個(gè)具體問(wèn)題來(lái)試試上面的公式. 例2 紅鉛筆每支0.19元,藍(lán)鉛筆每支0.11元,兩種鉛筆共買了16支,花了2.80元.問(wèn)紅,藍(lán)鉛筆各買幾支 解:以"分"作為錢的單位.我們?cè)O(shè)想,一種"雞"有11只腳,一種"兔子"有19只腳,它們共有16個(gè)頭,280只腳. 現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問(wèn)題,轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問(wèn)題了.利用上面算兔數(shù)公式,就有 藍(lán)筆數(shù)=(19×16-280)÷(19-11) =24÷8 =3(支). 紅筆數(shù)=16-3=13(支). 答:買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆. 對(duì)于這類問(wèn)題的計(jì)算,常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的"腳數(shù)"19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中,8只是"兔子",8只是"雞",根據(jù)這一設(shè)想,腳數(shù)是 8×(11+19)=240. 比280少40. 40÷(19-11)=5. 就知道設(shè)想中的8只"雞"應(yīng)少5只,也就是"雞"(藍(lán)鉛筆)數(shù)是3. 30×8比19×16或11×16要容易計(jì)算些.利用已知數(shù)的特殊性,靠心算來(lái)完成計(jì)算. 實(shí)際上,可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù). 例如,設(shè)想16只中,"兔數(shù)"為10,"雞數(shù)"為6,就有腳數(shù) 19×10+11×6=256. 比280少24. 24÷(19-11)=3, 就知道設(shè)想6只"雞",要少3只. 要使設(shè)想的數(shù),能給計(jì)算帶來(lái)方便,常常取決于你的心算本領(lǐng). 下面再舉四個(gè)稍有難度的例子. 例3 一份稿件,甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成,現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后,因有事由乙接著打完,共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí) 解:我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時(shí)打30÷6=5(份),乙每小時(shí)打30÷10=3(份). 現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成"兔"頭數(shù),乙打字的時(shí)間看成"雞"頭數(shù),總頭數(shù)是7."兔"的腳數(shù)是5,"雞"的腳數(shù)是3,總腳數(shù)是30,就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問(wèn)題了. 根據(jù)前面的公式 "兔"數(shù)=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "雞"數(shù)=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小時(shí),乙打字用了2.5小時(shí). 答:甲打字用了4小時(shí)30分. 例4 今年是1998年,父母年齡(整數(shù))和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年后(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),是公元哪一年 解:4年后,兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數(shù),弟的年齡看作"兔"頭數(shù).25是"總頭數(shù)".86是"總腳數(shù)".根據(jù)公式,兄的年齡是 (25×4-86)÷(4-3)=14(歲). 1998年,兄年齡是 14-4=10(歲). 父年齡是 (25-14)×4-4=40(歲). 因此,當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),兄的年齡是 (40-10)÷(3-1)=15(歲). 這是2003年. 答:公元2003年時(shí),父年齡是兄年齡的3倍. 例5 蜘蛛有8條腿,蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀,蟬有6條腿和1對(duì)翅膀.現(xiàn)在這三種小蟲(chóng)共18只,有118條腿和20對(duì)翅膀.每種小蟲(chóng)各幾只 解:因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿,所以從腿的數(shù)目來(lái)考慮,可以把小蟲(chóng)分成"8條腿"與"6條腿"兩種.利用公式就可以算出8條腿的 蜘蛛數(shù)=(118-6×18)÷(8-6) =5(只). 因此就知道6條腿的小蟲(chóng)共 18-5=13(只). 也就是蜻蜓和蟬共有13只,它們共有20對(duì)翅膀.再利用一次公式 蟬數(shù)=(13×2-20)÷(2-1)=6(只). 因此蜻蜓數(shù)是13-6=7(只). 答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蟬. 例6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題,全班52人參加,共做對(duì)181道題,已知每人至少做對(duì)1道題,做對(duì)1道的有7人,5道全對(duì)的有6人,做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多,那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人 解:對(duì)2道,3道,4道題的人共有 52-7-6=39(人). 他們共做對(duì) 181-1×7-5×6=144(道). 由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多,我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人((2+3)÷2=2.5).這樣 兔腳數(shù)=4, 雞腳數(shù)=2.5, 總腳數(shù)=144,總頭數(shù)=39. 對(duì)4道題的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人). 答:做對(duì)4道題的有31人. 習(xí)題一 1.龜鶴共有100個(gè)頭,350只腳.龜,鶴各多少只 2.學(xué)校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120個(gè)學(xué)生同時(shí)進(jìn)行活動(dòng).象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副 3.一些2分和5分的硬幣,共值2.99元,其中2分硬幣個(gè)數(shù)是5分硬幣個(gè)數(shù)的4倍,問(wèn)5分硬幣有多少個(gè) 4.某人領(lǐng)得工資240元,有2元,5元,10元三種人民幣,共50張,其中2元與5元的張數(shù)一樣多.那么2元,5元,10元各有多少?gòu)? 5.一件工程,甲單獨(dú)做12天完成,乙單獨(dú)做18天完成,現(xiàn)在甲做了若干天后,再由乙接著單獨(dú)做完余下的部分,這樣前后共用了16天.甲先做了多少天 6.摩托車賽全程長(zhǎng)281千米,全程被劃分成若干個(gè)階段,每一階段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的.已知摩托車跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段 7.用1元錢買4分,8分,1角的郵票共15張,問(wèn)最多可以買1角的郵票多少?gòu)? 二,"兩數(shù)之差"的問(wèn)題 雞兔同籠中的總頭數(shù)是"兩數(shù)之和",如果把條件換成"兩數(shù)之差",又應(yīng)該怎樣去解呢 例7 買一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買了多少?gòu)? 解一:如果拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多. (680-8×40)÷(8+4)=30(張), 這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張. 因此8分郵票有 40+30=70(張). 答:買了8分的郵票70張,4分的郵票30張. 也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法. 解二:譬如,假設(shè)有20張4分,根據(jù)條件"8分比4分多40張",那么應(yīng)有60張8分.以"分"作為計(jì)算單位,此時(shí)郵票總值是 4×20+8×60=560. 比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數(shù)是 ( 680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張). 因此4分有 20+10=30(張), 8分有 60+10=70(張). 例8 一項(xiàng)工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天 工程要多少天才能完成 解:類似于例3,我們?cè)O(shè)工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份. 用上一例題解一的方法, 晴天有 (150-8×3)÷(10+8)= 7(天). 雨天是7+3=10天, 總共 7+10=17(天). 答:這項(xiàng)工程17天完成. 請(qǐng)注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而換成已知工程是17天完成,由此又回到上一節(jié)的問(wèn)題.差是3,與和是17,知道其一,就能推算出另一個(gè).這說(shuō)明了例7,例8與上一節(jié)基本問(wèn)題之間的關(guān)系. 總腳數(shù)是"兩數(shù)之和",如果把條件換成"兩數(shù)之差",又應(yīng)該怎樣去解呢 例9 雞與兔共100只,雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問(wèn)雞與兔各幾只 解一:假如再補(bǔ)上28只雞腳,也就是再有雞 28÷2=14(只),雞與兔腳數(shù)就相等,兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍),于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍. 兔的只數(shù)是 (100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 雞是 100-38=62(只). 答:雞62只,兔38只. 當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7(只). 兔的只數(shù)是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法. 解二:假設(shè)有50只雞,就有兔 100-50=50(只). 此時(shí)腳數(shù)之差是 4×50-2×50=100, 比28多了72.就說(shuō)明假設(shè)的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了).為了保持總數(shù)是100,一只兔換成一只雞,少了4只兔腳,多了2只雞腳,相差為6只(千萬(wàn)注意,不是2).因此要減少的兔數(shù)是 (100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只數(shù)是 50-12=38(只). 另外,還存在下面這樣的問(wèn)題:總頭數(shù)換成"兩數(shù)之差",總腳數(shù)也換成"兩數(shù)之差". 例10 古詩(shī)中,五言絕句是四句詩(shī),每句都是五個(gè)字;七言絕句是四句詩(shī),每句都是七個(gè)字.有一詩(shī)選集,其中五言絕句比七言絕句多13首,總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字.問(wèn)兩種詩(shī)各多少首. 解一:如果去掉13首五言絕句,兩種詩(shī)首數(shù)就相等,此時(shí)字?jǐn)?shù)相差 13×5×4+20=280(字). 每首字?jǐn)?shù)相差 7×4-5×4=8(字). 因此,七言絕句有 28÷(28-20)=35(首). 五言絕句有 35+13=48(首). 答:五言絕句48首,七言絕句35首. 解二:假設(shè)五言絕句是23首,那么根據(jù)相差13首,七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是20×23=460(字),28×10=280(字),五言絕句的字?jǐn)?shù),反而多了 460-280=180(字). 與題目中"少20字"相差 180+20=200(字). 說(shuō)明假設(shè)詩(shī)的首數(shù)少了.為了保持相差13首,增加一首五言絕句,也要增一首七言絕句,而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加 200÷8=25(首). 五言絕句有 23+25=48(首). 七言絕句有 10+25=35(首). 在寫(xiě)出"雞兔同籠"公式的時(shí)候,我們假設(shè)都是兔,或者都是雞,對(duì)于例7,例9和例10三個(gè)問(wèn)題,當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來(lái)具體做一下,把列出的計(jì)算式子與"雞兔同籠"公式對(duì)照一下,就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常有趣的事. 例7,假設(shè)都是8分郵票,4分郵票張數(shù)是 (680-8×40)÷(8+4)=30(張). 例9,假設(shè)都是兔,雞的只數(shù)是 (100×4-28)÷(4+2)=62(只). 10,假設(shè)都是五言絕句,七言絕句的首數(shù)是 (20×13+20)÷(28-20)=35(首). 首先,請(qǐng)讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來(lái),然后與"雞兔同籠"公式比較,這三個(gè)算式只是有一處"-"成了"+".其奧妙何在呢 當(dāng)你進(jìn)入初中,有了負(fù)數(shù)的概念,并會(huì)列二元一次方程組,就會(huì)明白,從數(shù)學(xué)上說(shuō),這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事. 例11 有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶,運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算,每只2角,如有破損,破損瓶子不給運(yùn)費(fèi),還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元,問(wèn)這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只 解:如果沒(méi)有破損,運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數(shù)是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17(只). 答:這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶. 請(qǐng)你想一想,這是"雞兔同籠"同一類型的問(wèn)題嗎 例12 有兩次自然測(cè)驗(yàn),第一次24道題,答對(duì)1題得5分,答錯(cuò)(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題,答對(duì)1題8分,答錯(cuò)或不答1題倒扣2分,小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì)30道題,但第一次測(cè)驗(yàn)得分比第二次測(cè)驗(yàn)得分多10分,問(wèn)小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分 解一:如果小明第一次測(cè)驗(yàn)24題全對(duì),得5×24=120(分).那么第二次只做對(duì)30-24=6(題)得分是 8×6-2×(15-6)=30(分). 兩次相差 120-30=90(分). 比題目中條件相差10分,多了80分.說(shuō)明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了,要減少.第一次答對(duì)減少一題,少得5+1=6(分),而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣2分,還可得8分,因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少 6+10=16(分). (90-10)÷(6+10)=5(題). 因此,第一次答對(duì)題數(shù)要比假設(shè)(全對(duì))減少5題,也就是第一次答對(duì)19題,第二次答對(duì)30-19=11(題). 第一次得分 5×19-1×(24- 9)=90. 第二次得分 8×11-2×(15-11)=80. 答:第一次得90分,第二次得80分. 解二:答對(duì)30題,也就是兩次共答錯(cuò) 24+15-30=9(題). 第一次答錯(cuò)一題,要從滿分中扣去5+1=6(分),第二次答錯(cuò)一題,要從滿分中扣去8+2=10(分).答錯(cuò)題互換一下,兩次得分要相差6+10=16(分). 如果答錯(cuò)9題都是第一次,要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答錯(cuò)題數(shù)是 (6×9+10)÷(6+10)=4(題)· 第一次答錯(cuò) 9-4=5(題). 第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分). 第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分). 習(xí)題二 1.買語(yǔ)文書(shū)30本,數(shù)學(xué)書(shū)24本共花83.4元.每本語(yǔ)文書(shū)比每本數(shù)學(xué)書(shū)貴0.44元.每本語(yǔ)文書(shū)和數(shù)學(xué)書(shū)的價(jià)格各是多少 2.甲茶葉每千克132元,乙茶葉每千克96元,共買這兩種茶葉12千克.甲茶葉所花的錢比乙茶葉所花錢少354元.問(wèn)每種茶葉各買多少千克 3.一輛卡車運(yùn)礦石,晴天每天可運(yùn)16次,雨天每天只能運(yùn)11次.一連運(yùn)了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但運(yùn)的次數(shù)卻比晴天運(yùn)的次數(shù)少27次.問(wèn)一連運(yùn)了多少天 4.某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共20道題,做對(duì)一題得5分,做錯(cuò)一題倒扣1分,不做得0分.小華得了76分.問(wèn)小華做對(duì)了幾道題 5.甲,乙二人射擊,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10發(fā),共命中14發(fā).結(jié)算分?jǐn)?shù)時(shí),甲比乙多10分.問(wèn)甲,乙各中幾發(fā) 6.甲,乙兩地相距12千米.小張從甲地到乙地,在停留半小時(shí)后,又從乙地返回甲地,小王從乙地到甲地,在甲地停留40分鐘后,又從甲地返回乙地.已知兩人同時(shí)分別從甲,乙兩地出發(fā),經(jīng)過(guò)4小時(shí)后,他們?cè)诜祷氐耐局邢嘤?如果小張速度比小王速度每小時(shí)多走1.5千米,求兩人的速度. 三,從"三"到"二" "雞"和"兔"是兩種東西,實(shí)際上還有三種或者更多種東西的類似問(wèn)題.在第一節(jié)例5和例6就都有三種東西.從這兩個(gè)例子的解法,也可以看出,要把"三種"轉(zhuǎn)化成"二種"來(lái)考慮.這一節(jié)要通過(guò)一些例題,告訴大家兩類轉(zhuǎn)化的方法. 例13 學(xué)校組織新年游藝晚會(huì),用于獎(jiǎng)品的鉛筆,圓珠筆和鋼筆共232支,共花了300元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元,圓珠筆每支2.7元,鋼筆每支6.3元.問(wèn)三種筆各有多少支 解:從條件"鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍",這兩種筆可并成一種筆,四支鉛筆和一支圓珠筆成一組,這一組的筆,每支價(jià)格算作 (0.60×4+2.7)÷5=1.02(元). 現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價(jià)格為1.02和6.3兩種筆.用"雞兔同籠"公式可算出,鋼筆支數(shù)是 (300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支). 鉛筆和圓珠筆共 232-12=220(支). 其中圓珠筆 220÷(4+1)=44(支). 鉛筆 220-44=176(支). 答:其中鋼筆12支,圓珠筆44支,鉛筆176支. 例14 商店出售大,中,小氣球,大球每個(gè)3元,中球每個(gè)1.5元,小球每個(gè)1元.張老師用120元共買了55個(gè)球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問(wèn)每種球各買幾個(gè) 解:因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù),大,小球的價(jià)錢也都是整數(shù),所以買中球的錢數(shù)是整數(shù),而且還是3的整數(shù)倍.我們?cè)O(shè)想買中球,小球錢中各出3元.就可買2個(gè)中球,3個(gè)小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個(gè)價(jià)錢是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 從公式可算出,大球個(gè)數(shù)是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個(gè)). 買中,小球錢數(shù)各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可買10個(gè)中球,15個(gè)小球. 答:買大球30個(gè),中球10個(gè),小球15個(gè). 例13是從兩種東西的個(gè)數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系,例14是從兩種東西的總錢數(shù)之間相等關(guān)系(倍數(shù)關(guān)系也可用類似方法),把兩種東西合井成一種考慮,實(shí)質(zhì)上都是求兩種東西的平均價(jià),就把"三"轉(zhuǎn)化成"二"了. 例15是為例16作準(zhǔn)備. 例15 某人去時(shí)上坡速度為每小時(shí)走3千米,回來(lái)時(shí)下坡速度為每小時(shí)走6千米,求他的平均速度是多少 解:去和回來(lái)走的距離一樣多.這是我們考慮問(wèn)題的前提. 平均速度=所行距離÷所用時(shí)間 去時(shí)走1千米,要用20分鐘;回來(lái)時(shí)走1千米,要用10分鐘.來(lái)回共走2千米,用了30分鐘,即半小時(shí),平均速度是每小時(shí)走4千米. 千萬(wàn)注意,平均速度不是兩個(gè)速度的平均值:每小時(shí)走(6+3)÷2=4.5千米. 例16 從甲地至乙地全長(zhǎng)45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米,平路上速度是每小時(shí)5千米,下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到乙地,李強(qiáng)行走了10小時(shí);從乙地到甲地,李強(qiáng)行走了11小時(shí).問(wèn)從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米 解:把來(lái)回路程45×2=90(千米)算作全程.去時(shí)上坡,回來(lái)是下坡;去時(shí)下坡回來(lái)時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成"一種"路程,根據(jù)例15,平均速度是每小時(shí)4千米.現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡(jiǎn)單的"雞兔同籠"問(wèn)題.頭數(shù)10+11=21,總腳數(shù)90,雞,兔腳數(shù)分別是4和5.因此平路所用時(shí)間是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小時(shí)). 單程平路行走時(shí)間是6÷2=3(小時(shí)). 從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時(shí))行走路程是 5-5×3=30(千米). 又是一個(gè)"雞兔同籠"問(wèn)題.從甲地至乙地,上坡行走的時(shí)間是 (6×7-30)÷(6-3)=4(小時(shí)). 行走路程是3×4=12(千米). 下坡行走的時(shí)間是7-4=3(小時(shí)).行走路程是6×3=18(千米). 答:從甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米. 做兩次"雞兔同籠"的解法,也可以叫"兩重雞兔同籠問(wèn)題". 例16是非常典型的例題. 例17 某種考試已舉行了24次,共出了426題.每次出的題數(shù),有25題,或者16題,或者20題.那么,其中考25題的有多少次 解:如果每次都考16題,16×24=384,比426少42道題. 每次考25道題,就要多25-16=9(道). 每次考20道題,就要多20-16=4(道). 就有 9×考25題的次數(shù)+4×考20題的次數(shù)=42. 請(qǐng)注意,4和42都是偶數(shù),9×考25題次數(shù)也必須是偶數(shù),因此,考25題的次數(shù)是偶數(shù),由9×6=54比42大,考25題的次數(shù),只能是0,2,4這三個(gè)數(shù).由于42不能被4整除,0和4都不合適.只能是考25題有2次(考20題有6次). 答:其中考25題有2次. 例18 有50位同學(xué)前往參觀,乘電車前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學(xué)共用了車費(fèi)110元,問(wèn)其中乘小巴的同學(xué)有多少位 解:由于總錢數(shù)110元是整數(shù),小巴和地鐵票也都是整數(shù),因此乘電車前往的人數(shù)一定是5的整數(shù)倍. 如果有30人乘電車, 110-1.2×30=74(元). 還余下50-30=20(人)都乘小巴錢也不夠.說(shuō)明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了. 如果有40人乘電車 110-1.2×40=62(元). 還余下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往,錢還有多(62>6×10).說(shuō)明假設(shè)的乘電車人數(shù)又多了.30至40之間,只有35是5的整數(shù)倍. 現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"了: 總頭數(shù) 50-35=15, 總腳數(shù) 110-1.2×35=68. 因此,乘小巴前往的人數(shù)是 (6×15-68)÷(6-4)=11. 答:乘小巴前往的同學(xué)有11位. 在"三"轉(zhuǎn)化為"二"時(shí),例13,例14,例16是一種類型.利用題目中數(shù)量比例關(guān)系,把兩種東西合并組成一種.例17,例18是另一種類型.充分利用所求個(gè)數(shù)是整數(shù),以及總量的限制,其中某一個(gè)數(shù)只能是幾個(gè)數(shù)值.對(duì)幾個(gè)數(shù)值逐一考慮是否符合題目的條件.確定了一個(gè)個(gè)數(shù),也就變成"二"的問(wèn)題了.在小學(xué)算術(shù)的范圍內(nèi),學(xué)習(xí)這兩種類型已足夠了.更復(fù)雜的問(wèn)題,只能借助中學(xué)的三元一次方程組等代數(shù)方法去求解. 習(xí)題三 1.有100枚硬幣,把其中2分硬幣全換成等值的5分硬幣,硬幣總數(shù)變成79個(gè),然后又把其中的1分硬幣換成等值的5分硬幣,硬幣總數(shù)變成63個(gè).求原有2分及5分硬幣共值多少錢 2."京劇公演"共出售750張票得22200元.甲票每張60元,乙票每張30元,丙票每張18元.其中丙票張數(shù)是乙票張數(shù)的2倍.問(wèn)其中甲票有多少?gòu)? 3.小明參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,共做20題得67分.已知做一題得5分,不答得2分,做錯(cuò)一題倒扣3分.又知道他做錯(cuò)的題和沒(méi)答的題一樣多.問(wèn)小明共做對(duì)幾題 4.1分,2分和5分硬幣共100枚,價(jià)值2元,如果其中2分硬幣的價(jià)值比1分硬幣的價(jià)值多13分.問(wèn)三種硬幣各多少枚 注:此題沒(méi)有學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)運(yùn)算的同學(xué)可以不做. 5.甲地與乙地相距24千米.某人從甲地到乙地往返行走.上坡速度每小時(shí)4千米,走平路速度每小時(shí)5千米,下坡速度每小時(shí)6千米.去時(shí)行走了4小時(shí)50分,回來(lái)時(shí)用了5小時(shí).問(wèn)從甲地到乙地,上坡,平路,下坡各多少千米 6.某學(xué)校有12間宿舍,住著80個(gè)學(xué)生.宿舍的大小有三種:大的住8個(gè)學(xué)生,不大不小的住7個(gè)學(xué)生,小的住5人.其中不大不小的宿舍最多,問(wèn)這樣的宿舍有幾間 測(cè)驗(yàn)題 1.松鼠媽媽采松籽,晴天每天可以采20個(gè),雨天每天只能采12個(gè). 它一連幾天采了112個(gè)松籽,平均每天采14個(gè). 問(wèn)這幾天當(dāng)中有幾天有雨 2.有一水池,只打開(kāi)甲水龍頭要24分鐘注滿水池,只打開(kāi)乙水龍頭要36分鐘才注滿水池.現(xiàn)在先打開(kāi)甲水龍頭幾分鐘,然后關(guān)掉甲,打開(kāi)乙水龍頭把水池注滿.已知乙水龍頭比甲水龍頭多開(kāi)26分鐘.問(wèn)注滿水池總共用了多少分鐘 3.某工程甲隊(duì)獨(dú)做50天可以完成,乙隊(duì)獨(dú)做75天可以完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合做,但是中途乙隊(duì)因另有任務(wù)調(diào)離了若干天.從開(kāi)工后40天才把這項(xiàng)工程做完.問(wèn)乙隊(duì)中途離開(kāi)了多少天 4.小華從家到學(xué)校,步行一段路后就跑步.他步行速度是每分鐘600 ,跑步速度是每分鐘140米.雖然步行時(shí)間比跑步時(shí)間多4分鐘,但步行的距離卻比跑步的距離少400米.問(wèn)從家到學(xué)校多遠(yuǎn) 5.有16位教授,有人帶1個(gè)研究生,有人帶2個(gè)研究生,也有人帶3個(gè)研究生.他們共帶了27位研究生.其中帶1個(gè)研究生的教授人數(shù)與帶2,3個(gè)研究生的教授人數(shù)一樣多.問(wèn)帶2個(gè)研究生的教授有幾人 6.某商場(chǎng)為招攬顧客舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng).獎(jiǎng)金有三種:一等獎(jiǎng)1000元,二等獎(jiǎng)250元,三等獎(jiǎng)50元.共有100人中獎(jiǎng),獎(jiǎng)金總額為9500元.問(wèn)二等獎(jiǎng)有多少名 7.有一堆硬幣,面值為1分,2分,5分三種,其中1分硬幣個(gè)數(shù)是2分硬幣個(gè)數(shù)的11倍.已知這堆硬幣面值總和是1元,問(wèn)5分的硬幣有多少個(gè) 第三講 答案 習(xí)題一 1.龜75只,鶴25只. 2.象棋9副,跳棋17副. 3.2分硬幣92個(gè),5分硬幣23個(gè). 應(yīng)將總錢數(shù)2.99元分成2×4+5=13(份),其中2分錢數(shù)占2×4=8(份),5分錢數(shù)占5份. 4.2元與5元各20張,10元有10張. 2元與5元的張數(shù)之和是 (10×50-240)÷[10-(2+5)÷2]=40(張). 5.甲先做了4天. 提示:把這件工程設(shè)為36份,甲每天做3份,乙每天做2份. 6.第一種路段有14段,第二種路段有11段. 第一種路段全長(zhǎng)13千米,第二種路段全長(zhǎng)9千米,全賽程281千米,共25段,是標(biāo)準(zhǔn)的"雞兔同籠". 7.最多可買1角郵票6張. 假設(shè)都買4分郵票,共用4×15=60(分),就多余100-60=40(分).買一張1角郵票,可以認(rèn)為40分換1角,要多6分.40÷6=6……4,最多買6張.最后多余4分,加在一張4分郵票上,恰好買一張8分郵票. 習(xí)題二 1.語(yǔ)文書(shū)1.74元,數(shù)學(xué)書(shū)1.30元. 設(shè)想語(yǔ)文書(shū)每本便宜0.44元,因此數(shù)學(xué)書(shū)的單價(jià)是 (83.4-0.44×30)÷(30+24). 2.買甲茶3.5千克,乙茶8.5千克. 甲茶數(shù)=(96×12-354)÷(132+96)=3.5(千克) 3.一連運(yùn)了27天. 晴天數(shù)=(11×3+27)÷(16-11)=12(天) 4.小華做對(duì)了16題. 76分比滿分100分少24分.做錯(cuò)一題少6分,不做少5分.24分只能是6×4. 5.甲中8發(fā),乙中6發(fā). 假設(shè)甲中10發(fā),乙就中14-10=4(發(fā)).甲得4×10=40(分),乙得5×4-3×6= 2(分).比題目條件"甲比乙多10分"相差(40-2)-10=28(分),甲少中1發(fā),少4+2=6(分),乙可增5+3=8(分). 28÷(6+8)=2. 甲中10-2=8(發(fā)). 6.小張速度每小時(shí)6千米,小王速度每小時(shí)4.5千米. 王的速度是每小時(shí) 注:為了避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算,路程以米為單位,時(shí)間以分鐘為單位,就可以達(dá)到目的