2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——隨機(jī)變量及其分布：離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案

2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——隨機(jī)變量及其分布：離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案 【考點(diǎn)梳理】 1．離散型隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量. 2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì) (1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列. (2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)： ①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．常見離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為 X 0 1 P 1－p p ，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率. (2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布. X 0 1 … m P … 【考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) 【例1】(1)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為： X －1 0 1 P 2－3q q2 則q的值為(　　) A．1 B．± C．－ D．＋ (2)離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常數(shù)，則P的值為(　　) A． B． C． D． [答案] (1) C (2) D [解析] (1)由分布列的性質(zhì)知 ∴q＝－. (2)由×a＝1，知a＝1.∴a＝. 故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 【類題通法】 分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用 (1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性. (2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 則p為(　　) A． B． C． D． [答案] C [解析] 由分布列的性質(zhì)，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝. 2．已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(X＝k)＝，k＝1，2，…，則P(2<X≤4)＝________. [答案] [解析] ∵P(X＝k)＝，k＝1，2，…，∴P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝. 考點(diǎn)二、超幾何分布的應(yīng)用 【例2】某外語學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語，2人只會(huì)英語，3人既會(huì)法語又會(huì)英語，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問. (1)在選派的3人中恰有2人會(huì)法語的概率； (2)在選派的3人中既會(huì)法語又會(huì)英語的人數(shù)X的分布列. [解析] (1)設(shè)事件A：選派的三人中恰有2人會(huì)法語，則P(A)＝＝. (2)依題意知X的取值為0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P 【類題通法】 1．隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷 若隨機(jī)變量X滿足如下條件，則X服從超幾何分布：第一，該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；第二，隨機(jī)變量X表示抽取到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)(如次品件數(shù)或類似事件)，反之亦然． 2．超幾何分布的特征 (1)考察對(duì)象分兩類； (2)已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)； (3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布． 3．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列. [解析] (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M， 則P(M)＝＝. (2)由題意知X可取的值為0，1，2，3，4，則 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 考點(diǎn)三、求離散型隨機(jī)變量的分布列 【例3】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束. (1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率； (2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列. [解析] (1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200，300，400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 【類題通法】 離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟 (1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義. (2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率. (3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列. (4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則試驗(yàn)結(jié)束． (1)求第一次試驗(yàn)恰好摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率； (2)記試驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列． [解析] (1)記“第一次試驗(yàn)恰好摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球”為事件A，則P(A)＝＝. (2)由題知X的可能取值為1，2，3，4.則 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝·＝， P(X＝3)＝··＝， P(X＝4)＝··＝. X的分布列為 X 1 2 3 4 P