2022高考數(shù)學 考點突破——集合與常用邏輯用語：簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞學案

2022高考數(shù)學 考點突破——集合與常用邏輯用語：簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞學案 【考點梳理】 1．簡單的邏輯聯(lián)結詞 (1)命題中的“或”“且”“非”叫做邏輯聯(lián)結詞． (2)命題p∧q，p∨q，p的真假判斷 p q p∧q p∨q p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全稱量詞與存在量詞 (1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示． (2)全稱命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題． 全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”簡記為?x∈M，p(x)． (3)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示． (4)特稱命題：含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．特稱命題“存在M中的一個元素x0，使p(x0)成立”，簡記為?x0∈M，p(x0)． 3．含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M， p(x) 【考點突破】 考點一、含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷 【例1】(1)已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若>，則x<y.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命題是(　　) A．①③　　　　　　　　 B．①④ C．②③ D．②④ (2)設命題p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命題q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，則下列命題為真的是(　　) A．p∧(q) B．(p)∧q C．p∧q D．(p)∨q [答案] (1)C (2)A [解析] (1) 由不等式的性質可知，命題p是真命題，命題q為假命題，故①p∧q為假命題；②p∨q為真命題；③q為真命題，則p∧(q)為真命題；④p為假命題，則(p)∨q為假命題． (2) 對于命題p，當x0＝4時，x0＋＝>3，故命題p為真命題；對于命題q，當x＝4時，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命題q為假命題，所以p∧(q)為真命題，故選A. 【類題通法】 1.判斷含有邏輯聯(lián)結詞命題真假的步驟 2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p則是“與p的真假相反”. 【對點訓練】 1.已知命題p：a2≥0(a∈R)，命題q：函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，則下列命題： ①p∨q；②p∧q；③(p)∧(q)；④(p)∨q. 其中為假命題的序號為________． [答案] ②③④ [解析] 顯然命題p為真命題，p為假命題． ∵f(x)＝x2－x＝2－， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞增． ∴命題q為假命題，q為真命題． ∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，(p)∧(q)為假命題，(p)∨q為假命題． 2.若命題p：?x∈R，log2x＞0，命題q：?x0∈R，2x0＜0，則下列命題為真命題的是(　　) A．p∨(q) B．p∧q C．(p)∧q D．p∨q [答案] A [解析] 命題p和命題q都是假命題，則命題p和命題q都是真命題，故選A. 考點二、全稱命題、特稱命題 【例2】(1)設命題p：?n∈N，n2>2n，則p為(　　) A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n (2)下列命題中，為真命題的是(　　) A．?x∈(0，＋∞)，x2>1 B．?x0∈(1，＋∞)，lg x0＝－x0 C．?a∈(0，＋∞)，a2>a D．?a0∈(0，＋∞)，x2＋a0>1對x∈R恒成立 [答案] (1) C　(2) D [解析] (1)命題p的量詞“?”改為“?”，“n2>2n”改為“n2≤2n”，∴p：?n∈N，n2≤2n. (2)對于A，當x＝1時不成立； 對于B，當x∈(1，＋∞)時，lg x>0，而－x<0，不成立； 對于C，當a＝1時不成立； 對于D，?a0＝2∈(0，＋∞)，x2＋a0＝x2＋2>1對x∈R恒成立，正確．故選D. 【類題通法】 1. 命題否定2步操作 (1)改寫量詞：找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義加上量詞，再改變量詞． (2)否定結論：對原命題的結論進行否定． 2．真假判斷注意特例 全稱命題與特稱命題的真假判斷要注意“特例”的作用，說明全稱命題為假命題，只需給出一個反例；說明特稱命題為真命題，只需找出一個正例． 【對點訓練】 1．命題p：?x<0，x2≥2x，則命題p為(　　) A．?x0<0，x≥2x0 B．?x0≥0，x<2x0 C．?x0<0，x<2x0 D．?x0≥0，x≥2x0 [答案] C [解析] 全稱命題的否定，應先改寫量詞，再否定結論，∴p：?x0<0，x<. 2．以下四個命題：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R，4x2>2x－1＋3x2，其中真命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 [答案] A [解析] ∵＝(－3)2－4×2>0，∴當x>2或x<1時，x2－3x＋2>0才成立，∴①為假命題；當且僅當x＝±時，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題；對?x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題；④中，當x＝1時，4x2＝2x－1＋3x2；則④為假命題. 考點三、由命題的真假求參數(shù)的取值范圍 【例3】(1)已知命題“?x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，3) C．(－3，＋∞) D．(－3，1) (2)命題p：關于x的不等式x2＋2ax＋4>0，對一切x∈R恒成立；命題q：函數(shù)f(x)＝(3－2a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，則實數(shù)a的取值范圍為________． [答案] (1)B　(2) (－∞，－2]∪[1，2) [解析]　(1)原命題的否定為?x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由題意知，為真命題， 則Δ＝(a－1)2－4×2×＜0， 則－2＜a－1＜2，則－1＜a＜3， ∴實數(shù)a的取值范圍為(－1，3). (2) p為真：Δ＝4a2－16<0，解得－2<a<2； q為真：3－2a>1，解得a<1. ∵p或q為真，p且q為假，∴p，q一真一假． 當p真q假時，?1≤a<2； 當p假q真時，?a≤－2. ∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2]∪[1，2)． 【類題通法】 1．由真假求參要轉化 含量詞的命題的真假求參數(shù)取值問題，關鍵是根據(jù)量詞等價轉化相應的命題，一般要將其轉化為恒成立或有解問題，進而根據(jù)相關知識確定對應條件． 2．根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟 (1)求出當命題p，q為真命題時所含參數(shù)的取值范圍； (2)根據(jù)復合命題的真假判斷命題p，q的真假性； (3)根據(jù)命題p，q的真假情況，利用集合的交集和補集的運算，求解參數(shù)的取值范圍． 【對點訓練】 1．若命題“對?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命題，則k的取值范圍是________． [答案] (－4，0] [解析] “對?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命題，當k＝0時，則有－1<0；當k≠0時，則有k<0且＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4<k<0，綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是(－4,0]． 2．已知p：?x0∈R，mx＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，－2] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，2] [答案] A [解析]　依題意知，p，q均為假命題． 當p是假命題時，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0； 當q是假命題時，則有＝m2－4≥0，解得m≤－2或m≥2. 因此由p，q均為假命題得即m≥2. ∴實數(shù)m的取值范圍是[2，＋∞)．