2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學(xué)案

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1、2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學(xué)案 【考點(diǎn)梳理】 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法. 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法. 3．分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個

2、步驟都完成了才算完成這件事. 【考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)一、分類加法計數(shù)原理 【例1】(1)如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn)). (2)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(　　) A．14 　　　　 B．13 C．12 D．10 [答案] (1) 5　(2) B [解析] (1)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O共2種不同的走法；第三類，中間過兩個點(diǎn)，有A→B→C→O和

3、A→C→B→O共2種不同的走法，由分類加法計數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法. (2)①當(dāng)a＝0，有x＝－，b＝－1，0，1，2有4種可能； ②當(dāng)a≠0時，則Δ＝4－4ab≥0，ab≤1， (ⅰ)若a＝－1時，b＝－1，0，1，2有4種不同的選法； (ⅱ)若a＝1時，b＝－1，0，1有3種可能； (ⅲ)若a＝2時，b＝－1，0，有2種可能. ∴有序數(shù)對(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(個). 【類題通法】 分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置. 1．根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn). 2．分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何

4、一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù). 3．分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(2)中易漏a＝0這一類. 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 1．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有(　　) A．8種 B．9種 C．10種 D．11種 [答案] B [解析] 設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種

5、不同方法，由分類加法計數(shù)原理，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監(jiān)考方法. 2．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 [答案] D [解析] 以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9； 以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8； 以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9； 把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列， ∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8個. 考點(diǎn)二、分步乘法計數(shù)原理 【例2】(

6、1)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有(　　) A．10種　　　　 B．25種 C．52種 D．24種 (2)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 [答案] (1) D　(2) B [解析] (1)每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步. 由分步乘法計數(shù)原理，共有24種不同的走法

7、. (2)分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑.故選B. 【類題通法】 1．在第(1)題中，易誤認(rèn)為分5步完成，錯選B. 2．利用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意：①要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事. 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 1．五名學(xué)生報名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報一項(xiàng)，則不同的報名方法的種數(shù)為________.五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種. [答案]

8、 45 54 [解析] 五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報一項(xiàng)，可逐個學(xué)生落實(shí)，每個學(xué)生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法.五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實(shí)，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性. 2．已知某公園有5個門，從任一門進(jìn)，另一門出，則不同的走法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答). [答案] 20 [解析] 分兩步，第一步選一個門進(jìn)有5種方法，第二步再選一個門出有4種方法，所以共有5×4＝20種走法. 考點(diǎn)三、兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 【例3】(1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在

9、一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是(　　) A．48 B．18 C．24 D．36 (2)如圖所示，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為________(用數(shù)字作答). [答案] (1) D　(2) 96 [解析] (1)在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共構(gòu)成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角面中，每個對角面有兩條面對角線與之垂直，共

10、構(gòu)成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”. (2)按區(qū)域1與3是否同色分類： ①區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2，4，5(還有3種顏色)有A種方法. ∴區(qū)域1與3涂同色，共有4A＝24種方法. ②區(qū)域1與3不同色：先涂區(qū)域1與3有A種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有一種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法. ∴這時共有A×2×1×3＝72種方法. 由分類加法計數(shù)原理， 不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96. 【類題通法】 1．①注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.②注意對于較復(fù)雜

11、的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化. 2．解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.第(2)題中，相鄰區(qū)域不同色，是按區(qū)域1與3是否同色分類處理. 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 1．如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(用數(shù)字作答). [答案] 40 [解析] 把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個). 第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個. 由分類加法計數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個). 2．如圖所示，用4種不同

12、的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有(　　) A．72種 B．48種 C．24種 D．12種 [答案] A [解析] 法一 首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法. 法二 按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種).