2022高考數(shù)學(xué) 熱點題型 專題03 解析幾何 理

2022高考數(shù)學(xué) 熱點題型 專題03 解析幾何 理 熱點一　圓錐曲線中的最值問題 圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點問題，常涉及不等式、函數(shù)的值域問題，綜合性比較強，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解. 題型一　利用幾何性質(zhì)求最值 【例1】設(shè)P是橢圓＋＝1上一點，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點，則|PM|＋|PN|的最小值、最大值分別為(　　) A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12 答案 C 【類題通法】 利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解，也叫做幾何法． 【對點訓(xùn)練】 如圖所示，已知直線l：y＝kx－2與拋物線C：x2＝－2py(p>0)交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，＋＝(－4，－12)． (1)求直線l和拋物線C的方程； (2)拋物線上一動點P從A到B運動時，求△ABP面積的最大值． 解析 (1)由得x2＋2pkx－4p＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4. 因為＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以解得 所以直線l的方程為y＝2x－2，拋物線C的方程為x2＝－2y. (2)設(shè)P(x0，y0)，依題意，知拋物線過點P的切線與l平行時，△ABP的面積最大，又y′＝－x，所以－x0＝2，故x0＝－2，y0＝－x＝－2，所以P(－2，－2)． 此時點P到直線l的距離d＝＝＝. 由得x2＋4x－4＝0，故x1＋x2＝－4，x1x2＝－4， 所以|AB|＝×＝×＝4. 所以△ABP面積的最大值為＝8. 題型二　建立目標(biāo)函數(shù)求最值 【例2】已知△ABP的三個頂點都在拋物線C：x2＝4y上，F(xiàn)為拋物線C的焦點，點M為AB的中點，＝3. (1)若|PF|＝3，求點M的坐標(biāo)； (2)求△ABP面積的最大值． (2)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 由得x2－4kx－4m＝0. 于是Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 所以AB中點M的坐標(biāo)為(2k,2k2＋m)． 由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)， 所以 由x＝4y0得k2＝－m＋， 由Δ>0，k2≥0，得－<m≤. 記f(m)＝3m3－5m2＋m＋1， 令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0， 解得m1＝，m2＝1， 可得f(m)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， 又f＝>f＝. 所以當(dāng)m＝時，f(m)取到最大值，此時k＝±. 所以△ABP面積的最大值為. 【類題通法】 (1)當(dāng)題目中給出的條件有明顯的幾何特征，考慮用圖象性質(zhì)來求解． (2)當(dāng)題目中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、單調(diào)性法、三角換元法等． 【對點訓(xùn)練】 平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心、以3為半徑的圓與以F2為圓心、以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點．過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q. ①求的值； ②求△ABQ面積的最大值． 解析 (1)由題意知2a＝4，則a＝2. 又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2, y2)． 將y＝kx＋m代入橢圓E的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由Δ>0，可得m2<4＋16k2.(*) 則有x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|x1－x2|＝. 因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標(biāo)為(0，m)， 所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2| ＝ ＝ ＝2 設(shè)＝t. 將y＝kx＋m代入橢圓C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**) 由(*)(**)可知0<t≤1， 因此S＝2＝2，故S≤2. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即m2＝1＋4k2時取得最大值2. 由①知，△ABQ的面積為3S， 所以△ABQ面積的最大值為6. 題型三　利用基本不等式求最值 【例3】已知橢圓M：＋＝1(a>0)的一個焦點為F(－1,0)，左、右頂點分別為A，B.經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點． (1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，求線段CD的長； (2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1－S2|的最大值． (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝－1， 此時△ABD與△ABC面積相等，|S1－S2|＝0； 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0)， 聯(lián)立方程，得 消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝， 此時|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝， 因為k≠0，上式＝≤＝＝當(dāng)且僅當(dāng)k＝±時等號成立， 所以|S1－S2|的最大值為. 【類題通法】 (1)求最值問題時，一定要注意對特殊情況的討論．如直線斜率不存在的情況，二次三項式最高次項的系數(shù)的討論等． (2)利用基本不等式求函數(shù)的最值時，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值． 【對點訓(xùn)練】 定圓M：(x＋)2＋y2＝16，動圓N過點F(，0)且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程； (2)設(shè)點A，B，C在E上運動，A與B關(guān)于原點對稱，且|AC|＝|BC|，當(dāng)△ABC的面積最小時，求直線AB的方程． (2)①當(dāng)AB為長軸(或短軸)時，S△ABC＝|OC|·|AB|＝2. ②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx，A(xA，yA)，由題意，C在線段AB的中垂線上，則OC的方程為y＝－x. 聯(lián)立方程得，x＝，y＝， ∴|OA|2＝x＋y＝. 將上式中的k替換為－，可得|OC|2＝. ∴S△ABC＝2S△AOC＝|OA|·|OC|＝·＝. ∵≤＝， ∴S△ABC≥，當(dāng)且僅當(dāng)1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1時等號成立，此時△ABC面積的最小值是.∵2>， ∴△ABC面積的最小值是，此時直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 熱點二　圓錐曲線中的范圍問題 圓錐曲線中的范圍問題是高考中的熱點問題，常涉及不等式的恒成立問題、函數(shù)的值域問題，綜合性比較強.解決此類問題常用幾何法和判別式法. 題型一　利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系求范圍 【例4】已知A，B，C是橢圓M：＋＝1(a>b>0)上的三點，其中點A的坐標(biāo)為(2，0)，BC過橢圓的中心，且·＝0，||＝2||. (1)求橢圓M的方程； (2)過點(0，t)的直線l(斜率存在時)與橢圓M交于兩點P，Q，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點，且||＝||，求實數(shù)t的取值范圍． (2)由條件D(0，－2)，當(dāng)k＝0時，顯然－2<t<2； 當(dāng)k≠0時，設(shè)l：y＝kx＋t， 消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0 由Δ>0可得t2<4＋12k2，① 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ中點H(x0，y0)， 則x0＝＝， y0＝kx0＋t＝， 所以H， 由||＝||， 所以DH⊥PQ，即kDH＝－， 所以＝－， 化簡得t＝1＋3k2，② 所以t>1，將②代入①得，1<t<4. 所以t的范圍是(1,4)． 綜上可得t∈(1,2)． 【類題通法】圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法 (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍． (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系． (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍． (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍． (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍． 【對點訓(xùn)練】 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(b>0)的左、右焦點，若P是該橢圓上的一個動點，且·的最大值為1. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)直線l：x＝ky－1與橢圓E交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點)，求k的取值范圍． 即1＝×4＋2b2－4，解得b2＝1. 故所求橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋4)y2－2ky－3＝0，Δ＝(－2k)2＋12(4＋k2)＝16k2＋48>0， 故y1＋y2＝，y1·y2＝. 又∠AOB為銳角，故·＝x1x2＋y1y2>0， 又x1x2＝(ky1－1)(ky2－1)＝k2y1y2－k(y1＋y2)＋1， 所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)y1y2－k(y1＋y2)＋1＝(1＋k2)·－＋1 ＝＝>0，所以k2<，解得－<k<， 故k的取值范圍是. 題型二　利用函數(shù)性質(zhì)求范圍 【例5】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，過點M(1,0)的直線l交橢圓C于A，B兩點，|MA|＝λ|MB|，且當(dāng)直線l垂直于x軸時，|AB|＝. (1)求橢圓C的方程； (2)若λ∈，求弦長|AB|的取值范圍． (2)當(dāng)過點M的直線斜率為0時，點A，B分別為橢圓長軸的端點， λ＝＝＝3＋2>2或λ＝＝＝3－2<，不符合題意． ∴直線的斜率不能為0. 設(shè)直線方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程代入橢圓方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系可得， 將①式平方除以②式可得：＋＋2＝－， 由已知|MA|＝λ|MB|可知，＝－λ， ∴－λ－＋2＝－， 又知λ∈， ∴－λ－＋2∈， ∴－≤－≤0， 解得m2∈. |AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82＝82， ∵m2∈， ∴∈， ∴|AB|∈. 【類題通法】 利用函數(shù)性質(zhì)解決圓錐曲線中求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個變量的函數(shù)，通過求這個函數(shù)的值域確定目標(biāo)的取值范圍．在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時為了運算方便，在建立函數(shù)的過程中也可以采用多個變量，只要在最后結(jié)果中把多個變量化為單個變量即可，同時要特別注意變量的取值范圍． 【對點訓(xùn)練】 已知圓心為H的圓x2＋y2＋2x－15＝0和定點A(1,0)，B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當(dāng)點B在圓上運動時，點M的軌跡記為曲線C. (1)求C的方程； (2)過點A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求·的取值范圍． 根據(jù)橢圓的定義可知，點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，所以a2＝4，c2＝1，b2＝3，所求曲線C的方程為＋＝1. (2)由直線EF與直線PQ垂直，可得·＝·＝0， 于是·＝(－)·(－)＝·＋·. ①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，直線EF的斜率為零，此時可不妨取P，Q，E(2,0)，F(xiàn)(－2,0)， 所以·＝·＝－3－＝－. ②當(dāng)直線PQ的斜率為零時，直線EF的斜率不存在，同理可得·＝－. ③當(dāng)直線PQ的斜率存在且不為零時，直線EF的斜率也存在，于是可設(shè)直線PQ的方程為y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，＝(xP－1，yP)，＝(xQ－1，yQ)， 則直線EF的方程為y＝－(x－1)． 將上面的k換成－，可得·＝－， 所以·＝·＋·＝－9(1＋k2). 令1＋k2＝t，則t>1，于是上式化簡整理可得， ·＝－9t＝－＝－. 由t>1，得0<<1，所以－<·≤－. 綜合①②③可知，·的取值范圍為. 熱點三　圓錐曲線中的幾何證明問題 圓錐曲線中的幾何證明問題多出現(xiàn)在解答題中，難度較大，多涉及線段或角相等以及位置關(guān)系的證明等. 【例6】如圖，圓C與x軸相切于點T(2,0)，與y軸正半軸相交于兩點M，N(點M在點N的下方)，且|MN|＝3. (1)求圓C的方程； (2)過點M任作一條直線與橢圓＋＝1相交于兩點A，B，連接AN，BN，求證：∠ANM＝∠BNM. (2)證明：把x＝0代入方程(x－2)2＋2＝，解得y＝1或y＝4，即點M(0,1)，N(0,4)． ①當(dāng)AB⊥x軸時，可知∠ANM＝∠BNM＝0. ②當(dāng)AB與x軸不垂直時，可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1. 聯(lián)立方程 消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0. 設(shè)直線AB交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1＋x2＝，x1x2＝. ∴kAN＋kBN＝＋＝＋＝. 若kAN＋kBN＝0，則∠ANM＝∠BNM. ∵2kx1x2－3(x1＋x2)＝＋＝0， ∴∠ANM＝∠BNM. 【類題通法】 解決圓錐曲線證明問題，注意依據(jù)直線，圓錐曲線，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過代數(shù)恒等變形和化簡計算進行證明，常見的證明方法有： （1）證明三點共線，可以證明其中兩段線段的斜率相等，也可以證明其中兩個向量互相平行（共線）； （2）證明兩直線垂直，可以證明這兩條直線的斜率之積等于，也可以證明這兩直線所在的平面向量的數(shù)量積等于零； （3）證明兩共點點段相等，可以利用弦長公式證明這兩線段長度相等，也可以證明公共點在線段的垂直平分線上． 【對點訓(xùn)練】 設(shè)橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，M是橢圓上任意一點，且△MF1F2的周長是4＋2. (1)求橢圓C1的方程； (2)設(shè)橢圓C1的左、右頂點分別為A，B，過橢圓C1上的一點D作x軸的垂線交x軸于點E，若點C滿足⊥，∥，連接AC交DE于點P，求證：PD＝PE. (2)證明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)， 設(shè)D(x0，y0)，所以E(x0,0)， 因為⊥， 所以可設(shè)C(2，y1)， 所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)， 由∥可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝. 所以直線AC的方程為：＝. 整理得：y＝(x＋2)． 又點P在DE上，將x＝x0代入直線AC的方程可得：y＝，即點P的坐標(biāo)為，所以P為DE的中點， 所以PD＝PE.