（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 課時達(dá)標(biāo)檢測（三十二）基本不等式 文

（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 課時達(dá)標(biāo)檢測（三十二）基本不等式 文 對點練(一)　利用基本不等式求最值 1．(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：選C　由a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，則有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時等號成立，所以a＋b的最小值為4，故選C. 2．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：選D　∵1＝2x＋2y≥2＝2，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2. 3．(2018·江西九校聯(lián)考)若正實數(shù)x，y滿足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，則x＋的最大值為(　　) A．－1＋ B．1 C．1＋ D． 解析：選A　由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2＋2＝9，又2＋2≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x－＝2＋時等號成立，所以2≤18，得2x＋≤3－2，所以x＋≤，所以x＋的最大值為－1＋.故選A. 4．(2018·邯鄲模擬)設(shè)x>0，y>0，且2＝，則當(dāng)x＋取最小值時，x2＋＝________. 解析：∵x>0，y>0，∴當(dāng)x＋取最小值時，2取得最小值， ∵2＝x2＋＋， 又2＝，∴x2＋＝＋， ∴2＝＋≥2 ＝16， ∴x＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即x＝2y時取等號， ∴當(dāng)x＋取最小值時，x＝2y，x2＋＋＝16， ∴x2＋＋＝16， ∴x2＋＝16－4＝12. 答案：12 5．(2018·天津模擬)已知x，y為正實數(shù)，則＋的最小值為________． 解析：∵x，y為正實數(shù)，則＋ ＝＋＋1＝＋＋1， 令t＝，則t>0，∴＋＝＋t＋1 ＝＋t＋＋≥2＋＝， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝時取等號． ∴＋的最小值為. 答案： 對點練(二)　基本不等式的綜合問題 1．(2018·遼寧師大附中模擬)函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，則＋的最小值為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：選C　∵當(dāng)x＝－2時，y＝loga1－1＝－1， ∴函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0， 且a≠1)的圖象恒過定點(－2，－1)，即A(－2，－1)． ∵點A在直線mx＋ny＋1＝0上， ∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1. ∵m>0，n>0， ∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝，n＝時取等號．故選C. 2．(2018·海淀期末)當(dāng)0<m<時，若＋≥k2－2k恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為(　　) A．[－2,0)∪(0,4] B．[－4,0)∪(0,2] C．[－4,2] D．[－2,4] 解析：選D　因為0<m<，所以×2m×(1－2m)≤×2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝1－2m，即m＝時取等號，所以＋＝≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以實數(shù)k的取值范圍是[－2,4]．故選D. 3．(2018·湘潭模擬)設(shè)a＝，b＝p，c＝x＋y，若對任意的正實數(shù)x，y，都存在以a，b，c為三邊長的三角形，則實數(shù)p的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(1,2] C. D． 解析：選A　對任意的正實數(shù)x，y，由于a＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立，b＝p，c＝x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立，且三角形的任意兩邊之和大于第三邊， ∴解得1<p<3，故實數(shù)p的取值范圍是(1,3)，故選A. 4．(2018·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上單調(diào)遞增，且ac≤4，則＋的最小值為(　　) A．0 B． C. D．1 解析：選B　因為函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝ax2－4x＋c≥0在R上恒成立．所以所以ac≥4，又ac≤4，所以ac＝4，又a>0，所以c>0，則＋＝＋＝＋＝－＋－＝＋－≥2 －＝1－＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時等號成立，故選B. 5．(2018·江西八校聯(lián)考)已知點P(x，y)到點A(0,4)和到點B(－2,0)的距離相等，則2x＋4y的最小值為________． 解析：由題意得，x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，整理得x＋2y＝3，∴2x＋4y≥2＝2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝時等號成立，故2x＋4y的最小值為4. 答案：4 6．(2018·湖南長郡中學(xué)月考)設(shè)正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2017＝4 034，則＋的最小值為________． 解析：由等差數(shù)列的前n項和公式， 得S2 017＝＝4 034， 則a1＋a2 017＝4. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a9＋a2 009＝4， 所以＋＝ ＝ ＝ ≥＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a2 009＝3a9時等號成立． 答案：4 7.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮到防洪堤的堅固性及水泥用料等因素，要求設(shè)計其橫斷面的面積為9平方米，且高度不低于米，記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底與兩腰長的和)為y米，若要使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x＝________. 解析：設(shè)橫斷面的高為h， 由題意得AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x， ∴9＝(AD＋BC)h＝(2BC＋x)·x，故BC＝－，由得2≤x<6， ∴y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)， 從而y＝＋≥2 ＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝(2≤x<6)，即x＝2時等號成立． 答案：2 [大題綜合練——遷移貫通] 1．設(shè)a，b∈R，a2＋b2＝2，求＋的最小值． 解：由題意知a2＋b2＝2，a2＋1＋b2＋1＝4， ∴＋ ＝(a2＋1＋b2＋1) ＝≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即a2＝，b2＝時等號成立， ∴＋的最小值為. 2．(2018·河北唐山模擬)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y. (1)求＋的最小值． (2)是否存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5？并說明理由． 解：(1)因為＋＝＝≥＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立， 所以＋的最小值為2. (2)不存在．理由如下： 因為x2＋y2≥2xy， 所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)． 又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2. 從而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4， 因此不存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5. 3．某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3 m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x(單位：m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(單位：m2)． (1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)求S的最大值． 解：(1)由題設(shè)，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)． (2)因為8<x<450，所以2x＋≥2 ＝240， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝60時等號成立，從而S≤676. 故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長為60 m時，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676 m2.