（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題7 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理練習(xí)

（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題7 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理練習(xí) A組 1．將6名男生，4名女生分成兩組，每組5人，參加兩項(xiàng)不同的活動(dòng)，每組3名男生和2名女生，則不同的分配方法有( B ) A．240種　　 B．120種　　　 C．60種　　 D． 180種 [解析]　不同的分配方法有CC＝120. 2．若二項(xiàng)式(2x＋)7的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a＝( C ) A．2 B． C．1 D． [解析]　二項(xiàng)式(2x＋)7的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展開(kāi)式中的系數(shù)是C22a5＝84，解得a＝1. 3．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( D ) A．24 B．48 C．60 D．72 [解析]　由題意，可知個(gè)位可以從1,3,5中任選一個(gè)，有A種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個(gè)數(shù)字中任選，進(jìn)行全排列，有A種方法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為AA＝3×4×3×2×1＝72，故選D． 4．(2018·濮陽(yáng)二模)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為( D ) A．72 B．120 C．192 D．240 [解析]　由題意，末尾是2或6，不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為CA＝120；末尾是4，不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為A＝120.故共有120＋120＝240(個(gè))，故選D． 5．(－)8二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為( B ) A．56 B．112 C．－56 D．－112 [解析]　Tr＋1＝C()8－r(－)r＝(－1)r2rC·x，令8－4r＝0，∴r＝2，∴常數(shù)項(xiàng)為(－1)2×22×C＝112. 6．在(x2－)6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于( D ) A．－ B． C．－ D． [解析]　本題考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式(x2－)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C(x2)6－r(－)2＝(－)rCx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，則二項(xiàng)式(x2－)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(－)4C＝.故選D． 7．有5名同學(xué)參加唱歌、跳舞、下棋三項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少有一人參加，其中甲同學(xué)不能參加跳舞比賽，則參賽方案的種數(shù)為( B ) A．112 B．100 C．92 D．76 [解析]　甲同學(xué)有2種參賽方案，其余四名同學(xué)，若只參加甲參賽后剩余的兩項(xiàng)比賽，則將四名同學(xué)先分為兩組，分組方案有C·C＋＝7，再將其分到兩項(xiàng)比賽中去，共有分配方案數(shù)為7×A＝14；若剩下的四名同學(xué)參加三項(xiàng)比賽，則將其分成三組，分組方法數(shù)是C，分到三項(xiàng)比賽上去的分配方法數(shù)是A，故共有方案數(shù)CA＝36.根據(jù)兩個(gè)基本原理共有方法數(shù)2×(14＋36)＝100(種)． 8．(x2－x＋1)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為( A ) A．－30 B．－24 C．－20 D．20 [解析]　本題考查二項(xiàng)式定理．[1＋(x2－x)]5展開(kāi)式的第r＋1項(xiàng)Tr＋1＝C(x2－x)r，r＝0,1,2,3,4,5，Tr＋1展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)為CC·(x2)r－k(－x)k＝CC(－1)k·x2r－k，r＝0,1,2,3,4,5，k＝0,1，…，r，當(dāng)2r－k＝3，即或時(shí)是含x3的項(xiàng)，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為CC(－1)＋CC(－1)3＝－20－10＝－30.故選A． 9．有大小、形狀完全相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有56種不同的排列方法？ [解析]　從8個(gè)位置中選3個(gè)放紅球，有C＝56種不同方法． 10．(2018·昆明二模)(x－2)6的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為240. [解析]　(x－2)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝C·(－2)r·x6－r，令6－r＝2，求得r＝4，可得(x－2)6的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C·(－2)4＝240. 11．設(shè)a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有27個(gè)． [解析]　由題意知以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角形， (1)先考慮等邊三角形情況 則a＝b＝c＝1,2,3,4,5,6，此時(shí)有6個(gè)． (2)再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a＝b， 當(dāng)a＝b＝1時(shí)，c<a＋b＝2，則c＝1，與等邊三角形情況重復(fù)； 當(dāng)a＝b＝2時(shí)，c<4，則c＝1,3(c＝2的情況等邊三角形已經(jīng)討論了)，此時(shí)有2個(gè)； 當(dāng)a＝b＝3時(shí)，c<6，則c＝1,2,4,5，此時(shí)有4個(gè)； 當(dāng)a＝b＝4時(shí)，c<8，則c＝1,2,3,5,6，此時(shí)有5個(gè)； 當(dāng)a＝b＝5時(shí)，c<10，有c＝1,2,3,4,6，此時(shí)有5個(gè)； 當(dāng)a＝b＝6時(shí)，c<12，有c＝1,2,3,4,5，此時(shí)有5個(gè)； 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知有2＋4＋5＋5＋5＋6＝27個(gè)． 12．設(shè)有5幅不同的國(guó)畫(huà)，2幅不同的油畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)． (1)從中任選一幅畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？ (2)從這些國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)中各選一幅畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？ (3)從這些畫(huà)中任選出兩幅不同畫(huà)種的畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？ [解析]　(1)利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：5＋2＋7＝14(種)不同的選法． (2)國(guó)畫(huà)有5種不同選法，油畫(huà)有2種不同的選法，水彩畫(huà)有7種不同的選法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得到5×2×7＝70(種)不同的選法． (3)選法分三類(lèi)，分別為選國(guó)畫(huà)與油畫(huà)、油畫(huà)與水彩畫(huà)、國(guó)畫(huà)與水彩畫(huà)，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(種)不同的選法． B組 1．安排6名歌手演出順序時(shí)，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，則不同排法的種數(shù)是( D ) A．180 B．240 C．360 D．480 [解析]　將6個(gè)位置依次編號(hào)為1、2、3、…、6號(hào)，當(dāng)甲排在1號(hào)或6號(hào)位時(shí)，不同排法種數(shù)為2A種；當(dāng)甲排在2號(hào)或5號(hào)位時(shí)，不同排法種數(shù)為2A·A種；當(dāng)甲排在3號(hào)或4號(hào)位置時(shí)，不同排法種數(shù)有2(AA＋AA)種， ∴共有不同排法種數(shù)，2A＋2AA＋2(AA＋AA)＝480種，故選D． 2．如圖，M、N、P、Q為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來(lái)，則不同的建橋方法有( C ) A．8種 B．12種 C．16種 D．20種 [解析]　把四個(gè)小島看作四個(gè)點(diǎn)，可以?xún)蓛芍g連成6條線段，任選3條，共有C種情形，但有4種情形不滿(mǎn)足題意，∴不同的建橋方法有C－4＝16種，故選C． 3．設(shè)(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，則a2＋a4＋…＋a2n的值為( B ) A． B． C．3n－2 D．3n [解析]　(賦值法)令x＝1， 得a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝3n.① 再令x＝－1得， a0－a1＋a2＋…－a2n－1＋a2n＝1.② 令x＝0得a0＝1. 則①＋②得2(a0＋a2＋…＋a2n)＝3n＋1， ∴a0＋a2＋…＋a2n＝， ∴a2＋a4＋…＋a2n＝－a0＝－1＝. 4．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有( B ) A．144個(gè) B．120個(gè) C．96個(gè) D．72個(gè) [解析]　據(jù)題意，萬(wàn)位上只能排4,5.若萬(wàn)位上排4，則有2×A34個(gè)；若萬(wàn)位上排5，則有3×A34個(gè)．所以共有2×A34＋3×A34＝5×24＝120(個(gè))．故選B． 5．若(x2＋)n的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中一次項(xiàng)的系數(shù)為( B ) A．　　　　 B．　　　　 C．6　　　　 D．7 [解析]　因?yàn)?x2＋)n的展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C(x2)n－r()r＝()rCx2n－3r，其系數(shù)為()rC.故展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)為C，C，C，由已知可得這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以C＋C＝2×C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)． 令2n－3r＝16－3r＝1，可得r＝5，所以一次項(xiàng)的系數(shù)為()5C＝. 6．(2018·太原模擬)用5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中有且僅有一個(gè)奇數(shù)夾在兩個(gè)偶數(shù)之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為( A ) A．36 B．48 C．72 D．120 [解析]　第一步，將3個(gè)奇數(shù)全排列有A種方法； 第二步，將2個(gè)偶數(shù)插入，使它們之間只有一個(gè)奇數(shù)，共3種方法； 第三步，將2個(gè)偶數(shù)全排列有A種方法，所以，所有的方法數(shù)是3AA＝36. 7．(2018·漳州二模)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋…＋a9＋a10的值為( D ) A．－20 B．0 C．1 D．20 [解析]　令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20. 8．(2018·江西宜春二模)若(x3＋)n的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，且n的最小值為a，則dx＝(　　C　　) A．0 B． C． D．49π [解析]　由展開(kāi)式的通項(xiàng)， 由展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，得3n－r＝0有整數(shù)解， 故n的最小值為7，dx＝. 9．將編號(hào)1,2,3,4的四個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子里至少放1個(gè)，則恰有1個(gè)盒子放有2個(gè)連號(hào)小球的所有不同放法有18種．(用數(shù)字作答) [解析]　先把4個(gè)小球分為(2,1,1)一組，其中2個(gè)連號(hào)小球的種類(lèi)有(1,2，)，(2,3)，(3,4)為一組，分組后分配到三個(gè)不同的盒子里，共有CA＝18種． 10．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為472. [解析]　由題意，不考慮特殊情況，共有C種取法，其中每一種卡片各取三張，有4C種取法，兩種紅色卡片，共有CC種取法，故所求的取法共有C－4C－CC＝560－16－72＝472. 11．若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有x5＝a0＋a1(x－2)＋…＋a5(x－2)5，則a1＋a3＋a5－a0＝89. [解析]　令x＝3得a0＋a1＋…＋a5＝35，令x＝1得a0－a1＋…－a5＝1，兩式相減得a1＋a3＋a5＝＝121，令x＝2得a0＝25＝32，故a1＋a3＋a5－a0＝121－32＝89. 12．如果(3x－)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是21. [解析]　(3x－)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(3×1－)n＝2n＝128，所以n＝7，所以(3x－)n＝(3x－)7，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C(3x)7－r(－)r＝C·37－r·x7－r·(－x－)r＝(－1)rC37－rx7－r，由7－r＝－3，得r＝6，所以的系數(shù)是C·(－1)6·3＝21. 13．某醫(yī)科大學(xué)的學(xué)生中，有男生12名、女生8名在某市人民醫(yī)院實(shí)習(xí)，現(xiàn)從中選派5名學(xué)生參加青年志愿者醫(yī)療隊(duì)． (1)某男生甲與某女生乙必須參加，共有多少種不同的選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙二人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)醫(yī)療隊(duì)中男生和女生都至少有一名，有多少種選法？ [解析]　(1)只需從其他18人中選3人即可，共有C＝816(種)． (2)只需從其他18人中選5人即可，共有C＝8568(種)． (3)分兩類(lèi)：甲、乙中只有一人參加，則有C·C種選法；甲、乙兩人都參加，則有C種選法． 故共有C·C＋C＝6936(種)． (4)方法一(直接法)：男生和女生都至少有一名的選法可分為四類(lèi)：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女， 所以共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝14656(種)． 方法二(間接法)：由總數(shù)中減去5名都是男生和5名都是女生的選法種數(shù)，得C－(C＋C)＝14656(種)． 14．設(shè)f(n)＝(a＋b)n(n∈N*，n≥2)，若f(n)的展開(kāi)式中，存在某連續(xù)3項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列，則稱(chēng)f(n)具有性質(zhì)P. (1)求證：f(7)具有性質(zhì)P. (2)若存在n≤2016，使f(n)具有性質(zhì)P，求n的最大值． [解析]　(1)f(7)的展開(kāi)式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C＝7，C＝21，C＝35， 因?yàn)镃＋C＝2C，即C，C，C成等差數(shù)列，所以f(7)具有性質(zhì)P. (2)設(shè)f(n)具有性質(zhì)P，則存在k∈N*,1≤k≤n－1，使C，C，C成等差數(shù)列，所以C＋C＝2C， 整理得：4k2－4nk＋(n2－n－2)＝0， 即(2k－n)2＝n＋2， 所以n＋2為完全平方數(shù)， 又n≤2016，由于442<2016＋2<452， 所以n的最大值為442－2＝1934，此時(shí)k＝989或945.