（新課標(biāo)）2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 題組層級(jí)快練55 圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系 文（含解析）

（新課標(biāo)）2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 題組層級(jí)快練55 圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系 文（含解析） 1．如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為(　　) A．(－1，1)　　　　　　　 B．(1，－1) C．(－1，0) D．(0，－1) 答案　D 解析　r＝＝， 當(dāng)k＝0時(shí)，r最大． 2．(2019·貴州貴陽一模)圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 答案　A 解析　由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(1，)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A. 3．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D<0”是“圓C與y軸相切于原點(diǎn)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　圓C與y軸相切于原點(diǎn)?圓C的圓心在x軸上(設(shè)坐標(biāo)為(a，0))，且半徑r＝|a|.∴當(dāng)E＝F＝0且D<0時(shí)，圓心為(－，0)，半徑為||，圓C與y軸相切于原點(diǎn)；圓(x＋1)2＋y2＝1與y軸相切于原點(diǎn)，但D＝2>0，故選A. 4．(2019·重慶一中一模)直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定 答案　A 解析　方法一：圓x2＋y2＝9的圓心為(0，0)，半徑為3，直線mx－y＋2＝0恒過點(diǎn)A(0，2)，而02＋22＝4<9，所以點(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9相交．故選A. 方法二：求圓心到直線的距離，從而判定． 5．(2015·山東)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 答案　D 解析　由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)(2，－3)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)即kx－y－2k－3＝0，又因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切， 所以＝1?12k2＋25k＋12＝0?k＝－，或k＝－，故選D項(xiàng)． 6．已知圓C關(guān)于x軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，且被y軸分成兩段弧，弧長之比為2∶1，則圓的方程為(　　) A．x2＋(y±)2＝ B．x2＋(y±)2＝ C．(x±)2＋y2＝ D．(x±)2＋y2＝ 答案　C 解析　方法一：(排除法)由圓心在x軸上，則排除A，B，再由圓過(0，1)點(diǎn)，故圓的半徑大于1，排除D，選C. 方法二：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，圓C與y軸交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧長之比為2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，則tan60°＝＝，所以a＝|OC|＝，即圓心坐標(biāo)為(±，0)，r2＝|AC|2＝12＋()2＝.所以圓的方程為(x±)2＋y2＝，選C. 7．(2019·保定模擬)過點(diǎn)P(－1，0)作圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A，B，則過點(diǎn)A，B，C的圓的方程是(　　) A．x2＋(y－1)2＝2 B．x2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝1 答案　A 解析　P，A，B，C四點(diǎn)共圓，圓心為PC的中點(diǎn)(0，1)，半徑為|PC|＝＝，則過點(diǎn)A，B，C的圓的方程是x2＋(y－1)2＝2. 8．直線xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ與圓(x－1)2＋y2＝4的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 答案　B 解析　圓心到直線的距離d＝＝2. 所以直線與圓相切． 9．(2013·山東，理)過點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 答案　A 解析　如圖，圓心坐標(biāo)為C(1，0)，易知A(1，1)．又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，∴kAB＝－2. 故直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故選A. 另解：易知P，A，C，B四點(diǎn)共圓，其方程為(x－1)(x－3)＋(y－0)(y－1)＝0，即x2＋y2－4x－y＋3＝0. 又已知圓為x2＋y2－2x＝0， ∴切點(diǎn)弦方程為2x＋y－3＝0，選A. 10．(2019·湖南師大附中月考)已知圓x2＋(y－1)2＝2上任一點(diǎn)P(x，y)，其坐標(biāo)均使得不等式x＋y＋m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3] 答案　A 解析　如圖，圓應(yīng)在直線x＋y＋m＝0的右上方，圓心C(0，1)到l的距離為，切線l1應(yīng)滿足＝，∴|1＋m|＝2，m＝1或m＝－3(舍去)．從而－m≤－1，∴m≥1. 11．(2019·福建福州質(zhì)檢)若直線x－y＋2＝0與圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則·的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 答案　B 解析　聯(lián)立消去y， 得x2－4x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝3. ∴A(1，3)，B(3，5)． 又C(3，3)，∴＝(－2，0)，＝(0，2)． ∴·＝－2×0＋0×2＝0. 12．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為(　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　C 解析　設(shè)直線上一點(diǎn)P，切點(diǎn)為Q，圓心為M， 則|PQ|即為切線長，MQ為圓M的半徑，長度為1， |PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點(diǎn)到圓心M的最小距離，設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2， ∴|PM|最小值為2，|PQ|＝＝＝，選C. 13．以直線3x－4y＋12＝0夾在兩坐標(biāo)軸間的線段為直徑的圓的方程為________． 答案　(x＋2)2＋(y－)2＝ 解析　對于直線3x－4y＋12＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－4.即以兩點(diǎn)(0，3)，(－4，0)為端點(diǎn)的線段為直徑，則r＝＝，圓心為(－，)，即(－2，)． ∴圓的方程為(x＋2)2＋(y－)2＝. 14．從原點(diǎn)O向圓C：x2＋y2－6x＋＝0作兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，則圓C上兩切點(diǎn)P，Q間的劣弧長為________． 答案　π 解析　如圖，圓C：(x－3)2＋y2＝， 所以圓心C(3，0)，半徑r＝. 在Rt△POC中，∠POC＝. 則劣弧PQ所對圓心角為. 弧長為π×＝π. 15．若直線l：4x－3y－12＝0與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB內(nèi)切圓的方程為________． 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝1 解析　由題意知，A(3，0)，B(0，－4)，則|AB|＝5. ∴△AOB的內(nèi)切圓半徑r＝＝1，內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為(1，－1)． ∴內(nèi)切圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 16．一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2，求此圓的方程． 答案　x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0 解析　方法一：∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，且與y軸相切， ∴設(shè)所求圓的圓心為C(3a，a)，半徑為r＝3|a|. 又圓在直線y＝x上截得的弦長為2， 圓心C(3a，a)到直線y＝x的距離為d＝. ∴有d2＋()2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1. 故所求圓的方程為 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 方法二：設(shè)所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為. ∴r2＝()2＋()2. 即2r2＝(a－b)2＋14.① 由于所求的圓與y軸相切，∴r2＝a2.② 又因?yàn)樗髨A心在直線x－3y＝0上， ∴a－3b＝0.③ 聯(lián)立①②③，解得 a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9. 故所求的圓的方程是 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 方法三：設(shè)所求的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 圓心為(－，－)，半徑為. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0. 由圓與y軸相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④ 又圓心(－，－)到直線x－y＝0的距離為， 由已知，得＋()2＝r2， 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤ 又圓心(－，－)在直線x－3y＝0上， ∴D－3E＝0.⑥ 聯(lián)立④⑤⑥，解得 D＝－6，E＝－2，F(xiàn)＝1或D＝6，E＝2，F(xiàn)＝1. 故所求圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0 或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0. 17．(2019·杭州學(xué)軍中學(xué)月考)已知圓C：x2＋y2＋2x＋a＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：mx＋y＋1＝0對稱． (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，·＝－3(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求圓C的方程． 答案　(1)m＝1　(2)x2＋y2＋2x－3＝0 解析　(1)圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝1－a，圓心C(－1，0)． ∵圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：mx＋y＋1＝0對稱， ∴直線l：mx＋y＋1＝0過圓心C. ∴－m＋1＝0，解得m＝1. (2)聯(lián)立消去y，得 2x2＋4x＋a＋1＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， Δ＝16－8(a＋1)>0，∴a<1. 由x1＋x2＝－2，x1x2＝，得 y1y2＝(－x1－1)(－x2－1)＝－1. ∴·＝x1x2＋y1y2＝a＋1－1＝a＝－3. ∴圓C的方程為x2＋y2＋2x－3＝0.