高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 專題六 不等式與推理證明（文、理）

高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 專題六 不等式與推理證明（文、理） 若直線y＝2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1 C. D．2 設(shè)a＞0，b＞0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(　　) A．若ea＋2a＝eb＋3b，則a＞b B．若ea＋2a＝eb＋3b，則a＜b C．若ea－2a＝eb－3b，則a＞b D．若ea－2a＝eb－3b，則a＜b 若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(　　) A. B. C．5 D．6 觀察下列不等式 1＋＜， 1＋＋＜， 1＋＋＋＜， …… 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_(kāi)___________． 傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)： 將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測(cè)： (Ⅰ)bxx是數(shù)列{an}中的第________項(xiàng)； (Ⅱ)b2k－1＝________．(用k表示) 設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表， a b c d e f 滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f∈[－1，1]，且a＋b＋c＋d＋e＋f＝0. 記ri(A)為A的第i行各數(shù)之和(i＝1，2)，cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(j＝1，2，3)；記k(A)為|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值． (Ⅰ)對(duì)如下數(shù)表A，求k(A)的值； 1 1 －0.8 0.1 －0.3 －1 (Ⅱ)設(shè)數(shù)表A形如 1 1 －1－2d d d －1 其中－1≤d≤0.求k(A)的最大值； (Ⅲ)對(duì)所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A， 求k(A)的最大值． 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)． (1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； (2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； (3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； (4)sin2(－18°)＋cos248°－ sin(－18°)cos48°； (5)sin2(－25°)＋cos255°－ sin(－25°)cos55°. (Ⅰ)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； (Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 專題六　不等式與推理證明 B　約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示 由圖象觀察可知直線y＝2x與x＋y－3＝0的交點(diǎn)為A(1，2)，故m應(yīng)小于等于1. A　若ea＋2a＝eb＋3b，必有ea＋2a>eb＋2b.構(gòu)造函數(shù)：f(x)＝ex＋2x，則f′(x)＝ex＋2>0恒成立，故有函數(shù)f(x)＝ex＋2x在x>0上單調(diào)遞增，即a>b成立．其余選項(xiàng)用同樣方法排除． C　令W＝3x＋4y＝3x＋ ＝3x＋＋·， ∴W′＝3－＝ 令W′＝0，則x＝或x＝1， 經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)x＝1時(shí)，W有最小值． 且Wmin＝3＋2＝5. ∴3x＋4y的最小值為5. 1＋＋＋＋＋＜　由1＋＜， 1＋＋＜， 1＋＋＋＜， … ∴1＋＋＋…＋＜， ∴1＋＋＋＋＋＜. (Ⅰ)5030　(Ⅱ)　由題意知：an＝1＋2＋3＋…＋n＝， b1＝，b2＝， b3＝，b4＝， b5＝，b6＝， 顯然b2k－1＝，b2k＝. ∴bxx＝為an中的第5030項(xiàng)，其中b2k－1＝. 解：(Ⅰ)因?yàn)閞1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7. (Ⅱ)r1(A)＝1－2d，r2(A)＝－1＋2d， c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝－2－2d. 因?yàn)椋?≤d≤0， 所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0. 所以k(A)＝1＋d≤1. 當(dāng)d＝0時(shí)，k(A)取得最大值1. (Ⅲ)任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表A(如下所示). a b c d e f 任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表A*仍滿足性質(zhì)P，并且k(A)＝k(A*)． 因此，不妨設(shè)r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0. 由k(A)的定義知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)， k(A)≤c2(A)．從而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e) ＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b－f) ＝a＋b－f≤3. 所以k(A)≤1， 由(Ⅱ)知，存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A使k(A)＝1，故k(A)的最大值為1. 解：法一：(Ⅰ)選擇(2)式，計(jì)算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30° ＝1－＝. (Ⅱ)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 法二：(Ⅰ)同法一． (Ⅱ)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos (30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°·sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.