（新高考）2020版高考數學二輪復習 第二部分 講重點 選填題專練 第3講 不等式、線性規(guī)劃教學案 理

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1、第3講　不等式、線性規(guī)劃 調研一　不等式的性質與解法 ■備考工具—————————————— 1．不等式的基本性質 (1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c. (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c. (4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb，c>d?a＋c>b＋d. (6)乘法法則：a>b>0，c>d>0?ac>bd. (7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)． (8)開方法則：a>b>0?>(n∈N，n≥2)． 2．不等式的倒數性質 (1)a>b，ab>0?<. (2

2、)a<0b>0,0. 3．分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)? 4．一元二次不等式恒成立問題的解題方法 (1)圖象法：對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方． (2)更換主元法：如果不等式中含有多個變量，這時選準“主元”往往是解題的關鍵，即需要確定合適的變量或參數，能使函數關系更加清晰明朗．一般思路為：將已知范圍的量視為變量，而待求范圍的量看作是參數，然后借助函數的單調性或其他方

3、法進行求解． (3)分離參數法：如果欲求范圍的參數能夠分離到不等式的一邊，那么這時可以通過求出不等式另一邊式子的最值(或范圍)來得到不等式恒成立時參數的取值范圍．一般地，a≥f(x)恒成立時，應有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立時，應有a≤f(x)min. ■自測自評—————————————— 1．[2019·石家莊質檢]已知a>0>b，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a2<－ab　　 B．|a|<|b| C.> D.a>b 解析：通解：當a＝1，b＝－1時，滿足a>0>b，此時a2＝－ab，|a|＝|b|，a0>b，∴b－a<0，

4、ab<0，∴－＝>0，∴>一定成立，故選C. 優(yōu)解：∵a>0>b，∴>0>，∴>一定成立，故選C. 答案：C 2．[2019·贛中南五校聯考]對于任意實數a，b，c，d，有以下四個命題：①若ac2>bc2，則a>b；②若a>b，c>d，則a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，則ac>bc；④若a>b，則>.其中正確的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①ac2>bc2，則c≠0，則a>b，①正確；②由不等式的同向可加性可知②正確；③錯誤，比如令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，滿足a>b，c>d，但ac＝－4

5、b，但＝<＝.故選B. 答案：B 3．[2019·河南六市模擬]若<<0，則下列結論不正確的是(　　) A．a2|a＋b| 解析：因為<<0，所以ba2，ab0有解，則m的取值范圍為(　　) A．m>－4 B．m<－4 C．m>－5 D．m<－5 解析：記f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在區(qū)間(1,2

6、)上有解，需滿足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故選C. 答案：C 5．[2019·青島城陽一中月考]已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，則不等式x2－bx－a<0的解集是(　　) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C. D.∪ 解析：∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是， ∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的兩個根為－，－，－＝－－，＝，∴a＝－6，b＝5，∴x2－bx－a<0，即x2－5x＋6<0，(x－2)(x－3)<0， ∴2

7、3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，則A∩B＝(　　) A．{x|－2

8、0] B．[－1,2) C．[1,2) D．(1,2] 解析：通解：由題意知，?RA＝{x|x≥1或x≤－1}，又B＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1

9、x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－10，b>0，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立，即正數a與b的算術平均數不小于它們的幾何平均數． (2)重要不等式：a∈R，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立． (3)幾個常用的重要結論 ①＋≥2(a與b同號，當且僅當a＝b時取等號)； ②a＋≥2(a>0，當且僅當a＝1時取等號)，a＋≤－2(a<0，當且僅當a＝－1時取等號)； ③ab≤

10、2(a，b∈R，當且僅當a＝b時取等號)； ④≤≤≤(a，b>0，當且僅當a＝b時取等號)． 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值(簡記：和定積最大)． ■自測自評—————————————— 1．[2018·天津卷]已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________． 解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，當且僅當23b－6＝，即b＝1時等號成立．

11、 答案： 2．[2019·南京調研]已知實數x>0，y>0，且滿足xy＋x＋2y＝4，則x＋2y的最小值為________． 解析：解法一：(拼湊法) ∵xy＋x＋2y＝4，∴x(y＋1)＋2y＝4， ∴x(y＋1)＋2(y＋1)＝6， 即(x＋2)(y＋1)＝6，∴(x＋2)(2y＋2)＝12. ∵x>0，y>0，∴x＋2>2,2y＋2>2. ∴(x＋2)＋(2y＋2)≥2＝2＝4. 當且僅當x＋2＝2y＋2，即x＝2－2，y＝－1時取“＝”． ∴x＋2y≥4－4.即(x＋2y)min＝4－4. 解法二：(判別式法) 令x＋2y＝t，則t>0,2y＝t－x， ∴x·＋

12、t＝4.整理得x2－tx＋8－2t＝0， 由Δ≥0，得t2－4(8－2t)≥0，(t＋4)2≥48. ∵t>0，∴t＋4≥4，∴t≥4－4. 即x＋2y的最小值為4－4. 方法3：(解不等式法) ∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y＋·x·2y≤x＋2y＋·2. ∴(x＋2y)2＋8(x＋2y)－32≥0. 解得x＋2y≥4－4. 答案：4－4 3．[2018·東北三省四市一模]已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為(　　) A．8　　　　　　　　 B．9 C．12 D．6 解析：由題意可得＋＝1，則x＋y＝(x＋y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當x＝3

13、，y＝6時等號成立，故x＋y的最小值為9.選B. 答案：B 4．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數m的取值范圍為________． 解析：記t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2m0，y>0，所以＋≥2＝4. (當且僅當＝，即x＝2y時等號成立)． 所以t＝4＋＋≥4＋4＝8，即tmin＝8. 故m2＋2m<8，即(m－2)(m＋4)<0， 解得－40，則的最小值為__

14、______． 解析：因為ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，當且僅當時取等號，故的最小值是4. 答案：4 6．[2019·天津卷]已知a∈R.設函數f(x)＝若關于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[0，e] D．[1，e] 解析：解法一：當a＝0時，不等式f(x)≥0恒成立，排除D；當a＝e時，f(x)＝當x≤1時，f(x)＝x2－2ex＋2e的最小值為f(1)＝1>0，滿足f(x)≥0；當x>1時，由f(x)＝x－elnx可得f′(x)＝1－＝，易得f(x)在x＝e處取得極小值(也是最小值)f(e)＝0，滿足f

15、(x)≥0恒成立，排除A，B.故選C. 解法二：若x≤1，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a，當a≤1時，可得f(x)的最小值為f(a)＝－a2＋2a，令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；當a>1時，可得f(x)的最小值為f(1)＝1≥0，滿足條件．所以a≥0. 若x>1，由f(x)＝x－alnx可得f′(x)＝1－＝，當a≤1時，f′(x)>0，則f(x)單調遞增，故只需f(1)≥0，顯然成立；當a>1時，由f′(a)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值為f(a)＝a－alna，令f(a)≥0，解得a≤e，故1

16、 答案：C 調研三　線性規(guī)劃 ■備考工具—————————————— 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 當A>0時，區(qū)域Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0的右側；區(qū)域Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0的左側． 2．線性目標函數的最值問題 求線性目標函數z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b>0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸上截距最小時，z值最小；當b<0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大． 3．利用線性規(guī)劃求目標函數最值的步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平面

17、直線系中的任意一條直線l； (2)平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應的點的位置．有時需要進行目標函數l和可行域邊界的斜率的大小比較； (3)求值——解有關方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值． ■自測自評—————————————— 1．[2019·天津卷]設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝－4x＋y的最大值為(　　) A．2　　　　　　　 B．3 C．5 D．6 解析：畫出可行域如圖中陰影部分所示， 作出直線－4x＋y＝0，并平移，可知當直線過點A時，z取得最大值．由可得所以點A的坐標為(－1,1)，故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.

18、答案：C 2．[2019·浙江卷]若實數x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值是(　　) A．－1 B．1 C．10 D．12 解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，數形結合可知，當直線z＝3x＋2y過點(2,2)時，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故選C. 答案：C 3．[2019·湖北重點中學考試]已知x，y滿足約束條件若的最大值為2，則m的值為(　　) A．4 B．5 C．8 D．9 解析：由題意知x≥1，y≥x，則m≥x＋y≥2，作出滿足約束條件的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．因為表示定點P(－1,0)與平面區(qū)域內的點(x，y)連線的斜率，由圖可知，當直線經

19、過平面區(qū)域的頂點A(1，m－1)時，直線的斜率取得最大值＝2，解得m＝5. 答案：B 4．若變量x，y滿足約束條件則z＝(x＋2)2＋(y＋2)2的最大值為__________，最小值為________． 解析：如圖所示，畫出不等式組表示的可行域，即由點O(0,0)，A，B(2,2)所圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)．又點P(－2，－2)在直線BO：x－y＝0上，z＝(x＋2)2＋(y＋2)2表示可行域內的動點(x，y)與定點P(－2，－2)間距離的平方，易知所求最大值為|PB|2＝32，最小值為點P(－2，－2)到直線AO：x＋2y＝0的距離的平方，即2＝(此時動點(x，y)在線段AO

20、上)． 答案：32　 5．[2018·湖北七校聯考]已知實數x，y滿足約束條件若z＝x－ay(a>0)的最大值為4，則a＝(　　) A．2 B. C．3 D．4 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則A(2,0)，B(－2，－2)．顯然直線z＝x－ay過A時不能取得最大值4，若直線z＝x－ay過點B時取得最大值4，則－2＋2a＝4，解得a＝3，此時，目標函數z＝x－3y，作出直線x－3y＝0，平移該直線，當直線經過點B時，截距最小，此時z的最大值為4，滿足條件． 答案：C 6．寒假期間，某校家長委員會準備租賃A，B兩種型號的客車安排900名學生到重點高校進

21、行參觀．已知A，B兩種客車的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 200元/輛和1 800元/輛，家長委員會為節(jié)約成本，要求租車總數不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為________元． 解析：設租用A，B兩種型號的客車分別為x輛，y輛，所用的總租金為z元，則z＝1 200x＋1 800y，其中x，y滿足不等式組(x，y∈N)，即(x，y∈N)，由z＝1 200x＋1 800y，得y＝－x＋，作出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，由得作出直線y＝－x并平移，由圖象知當直線經過點(5,12)時，直線在y軸的截距最小，此時z最小，此時的總租金為1 200×5＋1 800×12＝27 600(元)． 答案：27 600 10