（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點(diǎn) 選填題專(zhuān)練 第3講 不等式、線(xiàn)性規(guī)劃教學(xué)案 理

第3講　不等式、線(xiàn)性規(guī)劃 調(diào)研一　不等式的性質(zhì)與解法 ■備考工具—————————————— 1．不等式的基本性質(zhì) (1)對(duì)稱(chēng)性：a>b?b<a. (2)傳遞性：a>b，b>c?a>c. (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c. (4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc. (5)加法法則：a>b，c>d?a＋c>b＋d. (6)乘法法則：a>b>0，c>d>0?ac>bd. (7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)． (8)開(kāi)方法則：a>b>0?>(n∈N，n≥2)． 2．不等式的倒數(shù)性質(zhì) (1)a>b，ab>0?<. (2)a<0<b?<. (3)a>b>0,0<c<d?>. 3．分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)? 4．一元二次不等式恒成立問(wèn)題的解題方法 (1)圖象法：對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方． (2)更換主元法：如果不等式中含有多個(gè)變量，這時(shí)選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵，即需要確定合適的變量或參數(shù)，能使函數(shù)關(guān)系更加清晰明朗．一般思路為：將已知范圍的量視為變量，而待求范圍的量看作是參數(shù)，然后借助函數(shù)的單調(diào)性或其他方法進(jìn)行求解． (3)分離參數(shù)法：如果欲求范圍的參數(shù)能夠分離到不等式的一邊，那么這時(shí)可以通過(guò)求出不等式另一邊式子的最值(或范圍)來(lái)得到不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍．一般地，a≥f(x)恒成立時(shí)，應(yīng)有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立時(shí)，應(yīng)有a≤f(x)min. ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．[2019·石家莊質(zhì)檢]已知a>0>b，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a(chǎn)2<－ab　　 B．|a|<|b| C.> D.a>b 解析：通解：當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，滿(mǎn)足a>0>b，此時(shí)a2＝－ab，|a|＝|b|，a<b，∴A，B，D不一定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴－＝>0，∴>一定成立，故選C. 優(yōu)解：∵a>0>b，∴>0>，∴>一定成立，故選C. 答案：C 2．[2019·贛中南五校聯(lián)考]對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有以下四個(gè)命題：①若ac2>bc2，則a>b；②若a>b，c>d，則a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，則ac>bc；④若a>b，則>.其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①ac2>bc2，則c≠0，則a>b，①正確；②由不等式的同向可加性可知②正確；③錯(cuò)誤，比如令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，滿(mǎn)足a>b，c>d，但ac＝－4<bd＝－3；④錯(cuò)誤，比如令a＝－1，b＝－2，滿(mǎn)足a>b，但＝<＝.故選B. 答案：B 3．[2019·河南六市模擬]若<<0，則下列結(jié)論不正確的是(　　) A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2 C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| 解析：因?yàn)?lt;<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A，B，C均正確，而|a|＋|b|＝|a＋b|，故D錯(cuò)誤，故選D. 答案：D 4．[2019·安徽六校一中月考]在區(qū)間(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，則m的取值范圍為(　　) A．m>－4 B．m<－4 C．m>－5 D．m<－5 解析：記f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在區(qū)間(1,2)上有解，需滿(mǎn)足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故選C. 答案：C 5．[2019·青島城陽(yáng)一中月考]已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，則不等式x2－bx－a<0的解集是(　　) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C. D.∪ 解析：∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是， ∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的兩個(gè)根為－，－，－＝－－，＝，∴a＝－6，b＝5，∴x2－bx－a<0，即x2－5x＋6<0，(x－2)(x－3)<0， ∴2<x<3，故選A. 答案：A 6．[2019·湖北重點(diǎn)中學(xué)考試]已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，則A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|x<1} D．? 解析：通解：解不等式x2－3x＋2≥0，得x≤1或x≥2，則A＝{x|x≤1或x≥2}．解不等式log3(x＋2)<1，得－2<x<1，則B＝{x|－2<x<1}，則A∩B＝{x|－2<x<1}，故選A. 優(yōu)解：因?yàn)椋?∈A且－2?B，故排除B、C，又0∈A且0∈B，故排除D，故選A. 答案：A 7．[2019·湖南四校調(diào)研]已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2－x－2<0}，則(?RA)∩B＝(　　) A．(－1,0] B．[－1,2) C．[1,2) D．(1,2] 解析：通解：由題意知，?RA＝{x|x≥1或x≤－1}，又B＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，所以(?RA)∩B＝{x|1≤x<2}，故選C. 優(yōu)解：因?yàn)??A且1∈B，所以排除A，D，又－1?B，所以排除B，故選C. 答案：C 8．[2019·福建五校聯(lián)考]已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|y＝}，則A∩B＝(　　) A．{x|－1<x<0} B．{x|－1<x≤0} C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2} 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝有意義，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x≤0}．故選B. 答案：B 調(diào)研二　基本不等式 ■備考工具—————————————— 1．基本不等式及有關(guān)結(jié)論 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，即正數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． (2)重要不等式：a∈R，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． (3)幾個(gè)常用的重要結(jié)論 ①＋≥2(a與b同號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))； ②a＋≥2(a>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)取等號(hào))，a＋≤－2(a<0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時(shí)取等號(hào))； ③ab≤2(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))； ④≤≤≤(a，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))． 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2(簡(jiǎn)記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值(簡(jiǎn)記：和定積最大)． ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．[2018·天津卷]已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為_(kāi)_______． 解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，當(dāng)且僅當(dāng)23b－6＝，即b＝1時(shí)等號(hào)成立． 答案： 2．[2019·南京調(diào)研]已知實(shí)數(shù)x>0，y>0，且滿(mǎn)足xy＋x＋2y＝4，則x＋2y的最小值為_(kāi)_______． 解析：解法一：(拼湊法) ∵xy＋x＋2y＝4，∴x(y＋1)＋2y＝4， ∴x(y＋1)＋2(y＋1)＝6， 即(x＋2)(y＋1)＝6，∴(x＋2)(2y＋2)＝12. ∵x>0，y>0，∴x＋2>2,2y＋2>2. ∴(x＋2)＋(2y＋2)≥2＝2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)x＋2＝2y＋2，即x＝2－2，y＝－1時(shí)取“＝”． ∴x＋2y≥4－4.即(x＋2y)min＝4－4. 解法二：(判別式法) 令x＋2y＝t，則t>0,2y＝t－x， ∴x·＋t＝4.整理得x2－tx＋8－2t＝0， 由Δ≥0，得t2－4(8－2t)≥0，(t＋4)2≥48. ∵t>0，∴t＋4≥4，∴t≥4－4. 即x＋2y的最小值為4－4. 方法3：(解不等式法) ∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y＋·x·2y≤x＋2y＋·2. ∴(x＋2y)2＋8(x＋2y)－32≥0. 解得x＋2y≥4－4. 答案：4－4 3．[2018·東北三省四市一模]已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為(　　) A．8　　　　　　　　 B．9 C．12 D．6 解析：由題意可得＋＝1，則x＋y＝(x＋y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y＝6時(shí)等號(hào)成立，故x＋y的最小值為9.選B. 答案：B 4．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：記t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2m<tmin. 因?yàn)椋?，所以t＝x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋. 而x>0，y>0，所以＋≥2＝4. (當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立)． 所以t＝4＋＋≥4＋4＝8，即tmin＝8. 故m2＋2m<8，即(m－2)(m＋4)<0， 解得－4<m<2. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－4,2)． 答案：(－4,2) 5．若a，b∈R，ab>0，則的最小值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閍b>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值是4. 答案：4 6．[2019·天津卷]已知a∈R.設(shè)函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[0，e] D．[1，e] 解析：解法一：當(dāng)a＝0時(shí)，不等式f(x)≥0恒成立，排除D；當(dāng)a＝e時(shí)，f(x)＝當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝x2－2ex＋2e的最小值為f(1)＝1>0，滿(mǎn)足f(x)≥0；當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)＝x－elnx可得f′(x)＝1－＝，易得f(x)在x＝e處取得極小值(也是最小值)f(e)＝0，滿(mǎn)足f(x)≥0恒成立，排除A，B.故選C. 解法二：若x≤1，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a，當(dāng)a≤1時(shí)，可得f(x)的最小值為f(a)＝－a2＋2a，令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；當(dāng)a>1時(shí)，可得f(x)的最小值為f(1)＝1≥0，滿(mǎn)足條件．所以a≥0. 若x>1，由f(x)＝x－alnx可得f′(x)＝1－＝，當(dāng)a≤1時(shí)，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，故只需f(1)≥0，顯然成立；當(dāng)a>1時(shí)，由f′(a)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值為f(a)＝a－alna，令f(a)≥0，解得a≤e，故1<a≤e，所以a≤e，a的取值范圍是[0，e]． 答案：C 調(diào)研三　線(xiàn)性規(guī)劃 ■備考工具—————————————— 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 當(dāng)A>0時(shí)，區(qū)域Ax＋By＋C>0表示直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的右側(cè)；區(qū)域Ax＋By＋C<0表示直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的左側(cè)． 2．線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題 求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b>0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸上截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b<0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大． 3．利用線(xiàn)性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的步驟 (1)作圖——畫(huà)出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線(xiàn)系中的任意一條直線(xiàn)l； (2)平移——將l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置．有時(shí)需要進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)l和可行域邊界的斜率的大小比較； (3)求值——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值． ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．[2019·天津卷]設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝－4x＋y的最大值為(　　) A．2　　　　　　　 B．3 C．5 D．6 解析：畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示， 作出直線(xiàn)－4x＋y＝0，并平移，可知當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值．由可得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,1)，故zmax＝－4×(－1)＋1＝5. 答案：C 2．[2019·浙江卷]若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝3x＋2y的最大值是(　　) A．－1 B．1 C．10 D．12 解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線(xiàn)z＝3x＋2y過(guò)點(diǎn)(2,2)時(shí)，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故選C. 答案：C 3．[2019·湖北重點(diǎn)中學(xué)考試]已知x，y滿(mǎn)足約束條件若的最大值為2，則m的值為(　　) A．4 B．5 C．8 D．9 解析：由題意知x≥1，y≥x，則m≥x＋y≥2，作出滿(mǎn)足約束條件的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．因?yàn)楸硎径c(diǎn)P(－1,0)與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)連線(xiàn)的斜率，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平面區(qū)域的頂點(diǎn)A(1，m－1)時(shí)，直線(xiàn)的斜率取得最大值＝2，解得m＝5. 答案：B 4．若變量x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝(x＋2)2＋(y＋2)2的最大值為_(kāi)_________，最小值為_(kāi)_______． 解析：如圖所示，畫(huà)出不等式組表示的可行域，即由點(diǎn)O(0,0)，A，B(2,2)所圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)．又點(diǎn)P(－2，－2)在直線(xiàn)BO：x－y＝0上，z＝(x＋2)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)P(－2，－2)間距離的平方，易知所求最大值為|PB|2＝32，最小值為點(diǎn)P(－2，－2)到直線(xiàn)AO：x＋2y＝0的距離的平方，即2＝(此時(shí)動(dòng)點(diǎn)(x，y)在線(xiàn)段AO上)． 答案：32　 5．[2018·湖北七校聯(lián)考]已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件若z＝x－ay(a>0)的最大值為4，則a＝(　　) A．2 B. C．3 D．4 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則A(2,0)，B(－2，－2)．顯然直線(xiàn)z＝x－ay過(guò)A時(shí)不能取得最大值4，若直線(xiàn)z＝x－ay過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最大值4，則－2＋2a＝4，解得a＝3，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝x－3y，作出直線(xiàn)x－3y＝0，平移該直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，截距最小，此時(shí)z的最大值為4，滿(mǎn)足條件． 答案：C 6．寒假期間，某校家長(zhǎng)委員會(huì)準(zhǔn)備租賃A，B兩種型號(hào)的客車(chē)安排900名學(xué)生到重點(diǎn)高校進(jìn)行參觀．已知A，B兩種客車(chē)的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 200元/輛和1 800元/輛，家長(zhǎng)委員會(huì)為節(jié)約成本，要求租車(chē)總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛，則租金最少為_(kāi)_______元． 解析：設(shè)租用A，B兩種型號(hào)的客車(chē)分別為x輛，y輛，所用的總租金為z元，則z＝1 200x＋1 800y，其中x，y滿(mǎn)足不等式組(x，y∈N)，即(x，y∈N)，由z＝1 200x＋1 800y，得y＝－x＋，作出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，由得作出直線(xiàn)y＝－x并平移，由圖象知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,12)時(shí)，直線(xiàn)在y軸的截距最小，此時(shí)z最小，此時(shí)的總租金為1 200×5＋1 800×12＝27 600(元)． 答案：27 600 10