（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點 選填題專練 第10講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案 理

第10講　函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 調(diào)研一　函數(shù)的性質(zhì) ■備考工具—————————————— 1．函數(shù)的單調(diào)性 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2 當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù) 當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的 (2)函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論： ①若f(x)，g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)； ②若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反； ③函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝的單調(diào)性相反； ④函數(shù)y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y＝的單調(diào)性相同． 2．函數(shù)的奇偶性與對稱性 (1)偶函數(shù)和奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 定義 條件 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 結(jié)論 函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù) 函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù) 圖象特征 圖象關(guān)于y軸對稱 圖象關(guān)于原點對稱 (2)奇偶函數(shù)的性質(zhì)： ①在公共定義域內(nèi)： a．兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)． b．兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)． c．一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)． ②若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0. ③奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反． (3)函數(shù)的對稱性常用的結(jié)論： ①函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝對稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)． 特殊：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對稱?f(a－x)＝f(a＋x)?f(x)＝f(2a－x)； 函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝0對稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))． ②函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a,0)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函數(shù)y＝f(x)關(guān)于(0,0)對稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))． ③y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱； y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a,0)對稱． (4)常見奇函數(shù)： y＝kx，y＝kx3，y＝kx，y＝，y＝Asinx，y＝Atanx，y＝ln，y＝ln(±1)，y＝，y＝ax－a－x. (5)常見偶函數(shù)： y＝c，y＝k|x|，y＝kx2，y＝Acosx，y＝ax＋a－x. 3．函數(shù)周期性 (1)周期函數(shù)的定義： 對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)常見的幾個結(jié)論： 周期函數(shù)y＝f(x)滿足： ①若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2a； ②若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2a； ③若f(x＋a)＝，則函數(shù)的周期為2a； ④若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|； ⑤若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)對稱，又關(guān)于點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|； ⑥若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對稱，又關(guān)于點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為4|b－a|； ⑦若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為2a； ⑧若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為4a. ■自測自評—————————————— 1．[2019·全國卷Ⅰ]已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c　　　 B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析：∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a＜c＜b.故選B. 答案：B 2．[2019·天津卷]已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：a＝log52<log5＝，而c＝0.50.2>0.51＝，故a<c；b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c<b.所以a<c<b. 答案：A 3．[2019·全國卷Ⅲ]設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則(　　) 解析：根據(jù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)可知，f＝f(－log34)＝f(log34)，因為0＜＜＜20＜log34，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f()＞f()＞f(log3)． 答案：C 4．[2019·湖北重點中學(xué)]已知函數(shù)f(x)＝(ex＋e－x)·ln－1，若f(a)＝1，則f(－a)＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：解法一：由題意，f(a)＋f(－a)＝(ea＋e－a)·ln－1＋(ea＋e－a)ln－1＝(ea＋e－a)·－2＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－3，故選D. 解法二：令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln，則g(－x)＝(e－x＋ex)ln＝－(ex＋e－x)ln＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故選D. 答案：D 5．[2019·山西第一次聯(lián)考]已知函數(shù)g(x)＝f(2x)－x2是奇函數(shù)，且f(1)＝2，則f(－1)＝(　　) A．－ B．－1 C. D. 解析：令x＝，則g＝f(1)－，因為f(1)＝2，所以g＝2－＝.令x＝－，則g＝f(－1)－，f(－1)＝g＋.因為g(x)是奇函數(shù)，所以g＝－g＝－，所以f(－1)＝－＋＝－.故選A. 答案：A 6．[2019·廣東六校聯(lián)考]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，則f＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：函數(shù)f(x)的定義域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，所以f＝f＝f＝－f.因為在[0,1]上有f(x)＝x2，所以f＝2＝，故f＝－，故選D. 答案：D 7．[2019·全國卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)＝x(x－1)．若對任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，則m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：當(dāng)－1＜x≤0時，0＜x＋1≤1，則f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x；當(dāng)1＜x≤2時，0＜x－1≤1，則f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；當(dāng)2＜x≤3時，0＜x－2≤1，則f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得 f(x)＝ 由此作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由圖可知當(dāng)2＜x≤3時，令22(x－2)(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，將這兩個值標(biāo)注在圖中．要使對任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即實數(shù)m的取值范圍是，故選B. 答案：B 8．[2019·全國卷Ⅱ]已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝________. 解析：當(dāng)x＞0時，－x＜0，f(－x)＝－e－ax.因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝a＝8，所以a＝－3. 答案：－3 9．[2019·南昌重點中學(xué)]已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝ex－1，則f(－2 017)＋f(2 018)＝________. 解析：∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f(－2 017)＝f(2 017)，又f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù)，∴f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(0)，又當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝ex－1，∴f(1)＝e－1，f(0)＝0，∴f(－2 017)＋f(2 018)＝e－1. 答案：e－1 10．[2019·湖南四校調(diào)研]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＋f(x)＝0，當(dāng)－≤x≤0時，f(x)＝2x＋a，則f(16)＝________. 解析：由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，所以函數(shù)f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，則f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，a＝－1，所以當(dāng)－≤x≤0時，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－，則f(1)＝－f(－1)＝，故f(16)＝. 答案： 調(diào)研二　函數(shù)的圖象與零點、方程的根 ■備考工具—————————————— 1．圖象的變換 (1)平移變換： ①y＝f(x±a)(a>0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象沿x軸方向向左(＋a)或向右(－a)平移a個單位得到； ②y＝f(x)±b(b>0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象沿y軸方向向上(＋b)或向下(－b)平移b個單位得到． (2)對稱變換： ①y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱； ②y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱； ③y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱． (3)伸縮變換： ①y＝kf(x)(k>0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象上每一個點的縱坐標(biāo)伸長(k>1)或縮短(0<k<1)為原來的k倍而得到； ②y＝f(kx)(k>0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象上每一個點的橫坐標(biāo)伸長(0<k<1)或縮短(k>1)為原來的而得到． (4)翻折變換： ①要得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖象，可先畫出y＝f(x)的圖象，然后“上不動，下翻上”即可得到； ②由于y＝f(|x|)是偶函數(shù)，要得到y(tǒng)＝f(|x|)的圖象，可先畫出y＝f(x)的圖象，然后“右不動，左去掉，右翻左”即可得到． 2．利用函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象的一般步驟 (1)確定函數(shù)的定義域； (2)化簡函數(shù)的解析式； (3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性等)和圖象上的特殊線(如漸近線、對稱軸等)； (4)利用基本函數(shù)的圖象確定所給函數(shù)的圖象． 3．函數(shù)零點的等價關(guān)系 4．零點存在性定理 ■自測自評—————————————— 1．[2019·惠州調(diào)研]若函數(shù)f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a>0，且a≠1，f(2)g(2)<0，則函數(shù)f(x)，g(x)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是(　　) 解析：由題意知f(x)＝ax－2是指數(shù)型函數(shù)，g(x)＝loga|x|是對數(shù)型函數(shù)，且是一個偶函數(shù)，由f(2)g(2)<0，可得g(2)<0，故loga2<0，故0<a<1，由此可以確定C、D兩選項不正確，且f(x)＝ax－2是一個減函數(shù)，由此可知B選項不正確，A選項正確，故選A. 答案：A 2．[2019·山西八校聯(lián)考]函數(shù)f(x)＝2|x|－x2的圖象大致為(　　) 　 解析：由題意知，當(dāng)x>0時，f′(x)＝2xln2－2x，當(dāng)x→0時，2x→1,2x→0，f′(x)>0，說明函數(shù)f(x)的圖象在y軸右側(cè)開始時是遞增的，故排除選項A，B，D，選C. 答案：C 3．[2019·長沙、南昌高三第一次聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－mx＋2m有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A．(－1,0)　　　　 B．(0,1) C．(－1,1) D．(1,3) 解析：函數(shù)g(x)＝f(x)－mx＋2m的零點即方程f(x)＝m(x－2)的根，∴m＝＝根據(jù)題意可知直線y＝m與函數(shù)y＝的圖象有三個不同的交點．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知當(dāng)0<m<1時，兩個函數(shù)圖象有三個不同的交點，即函數(shù)g(x)＝f(x)－mx＋2m有三個不同的零點，故選B. 答案：B 4．[2019·河北九校聯(lián)考]若函數(shù)f(x)＝kx－|x－e－x|有兩個正實數(shù)零點，則k的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B. C．(0,1) D．(0，e) 解析：令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，當(dāng)x>0時，k＝|＝|1－，令g(x)＝1－，x>0，則g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為g＝1－<0，g(1)＝1－>0，所以在上存在一個a，使得g(a)＝0，所以y＝|g(x)|的圖象如圖所示．由題意知，直線y＝k與y＝|g(x)|的圖象有兩個交點，所以0<k<1，故選C. 答案：C 5．[2019·安徽五校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝若則方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0有五個不同實數(shù)根的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：畫出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖1所示． 圖1 設(shè)f(x)＝t，則方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0有五個不同的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為方程t2－at＋b＝0在區(qū)間(0,1)和區(qū)間(－∞，0)上分別有一個實數(shù)根．令g(t)＝t2－at＋b，可得不等式組即結(jié)合畫出圖形，如圖2，不等式組表示的區(qū)域為邊長為2的正方形ABCD，不等式組表示的區(qū)域為圖2中的陰影部分，所以方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0有五個不同實數(shù)根的概率P＝＝，故選B. 圖2 答案：B 6．[2019·山西第一次聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)－sinx(a>0)恰有兩個零點x1，x2，且x1<x2，則x1－tanx1＝(　　) A．2 B．－2 C．－1 D．1 解析：函數(shù)f(x)＝a(x－1)－sinx(a>0)的零點，即方程a(x－1)－sinx＝0(a>0)的根，即直線y＝a(x－1)(a>0)和曲線y＝sinx交點的橫坐標(biāo)．畫出直線y＝a(x－1)(a>0)與曲線y＝sinx，如圖所示，則當(dāng)直線y＝a(x－1)(a>0)與曲線y＝sinx恰有兩個公共點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，且x1<x2時，直線y＝a(x－1)(a>0)與曲線y＝sinx相切，又直線y＝a(x－1)(a>0)恒過點(1,0)，所以切點為A(x1，sinx1)．對y＝sinx求導(dǎo)，得y′＝cosx，于是cosx1＝a，所以＝cosx1，得x1－tanx1＝1.故選D. 答案：D 7．[2019·武昌調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝x3＋a，則f(x)的零點可能有(　　) A．1個 B．1個或2個 C．1個或2個或3個 D．2個或3個 解析：因為f(x)＝x3＋a，所以f′(x)＝x2＋ax＋a，令f′(x)＝0，則Δ＝a2－4a＝(a－2)2－4. 因為x2＋x＋2＝(x＋1)2＋>0，所以令f(x)＝0，則a＝，f(x)的零點轉(zhuǎn)化為直線y＝a與函數(shù)g(x)＝的圖象的交點． g′(x)＝＝ ，令g′(x)＝0，即－x4－x3－2x2＝0，整理得x2(x2＋4x＋12)＝0，由于x2＋4x＋12＝(x＋2)2＋8>0，所以x＝0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，所以直線y＝a與函數(shù)g(x)的圖象可能有1個交點．所以f(x)的零點可能有1個．故選A. 答案：A 8．[2019·江蘇卷]設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f(x)的周期為4，g(x)的周期為2，且f(x)是奇函數(shù)．當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)＝，g(x)＝其中k>0.若在區(qū)間(0,9]上，關(guān)于x的方程f(x)＝g(x)有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是________． 解析：當(dāng)x∈(0,2]時，令y＝，則(x－1)2＋y2＝1，y≥0，即f(x)的圖象是以(1,0)為圓心、1為半徑的半圓，利用f(x)是奇函數(shù)，且周期為4，畫出函數(shù)f(x)在(0,9]上的圖象，再在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)(x∈(0,9])的圖象，如圖，關(guān)于x的方程f(x)＝g(x)在(0,9]上有8個不同的實數(shù)根，即兩個函數(shù)的圖象有8個不同的交點，數(shù)形結(jié)合知g(x)(x∈(0,1])與f(x)(x∈(0,1])的圖象有2個不同的交點時滿足題意，當(dāng)直線y＝k(x＋2)經(jīng)過點(1,1)時，k＝，當(dāng)直線y＝k(x＋2)與半圓(x－1)2＋y2＝1(y≥0)相切時，＝1，k＝或k＝－(舍去)，所以k的取值范圍是. 答案： 調(diào)研三　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 ■備考工具—————————————— 一、導(dǎo)數(shù)的運算法則 1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝C(C為常數(shù)) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a>0，且a≠1) f(x)＝lnx f′(x)＝ 2．導(dǎo)數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 3．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)與中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的乘積，設(shè)y＝f(u)，u＝g(x)，則y′＝f′(u)·g′(x)，其中f′(u)與g′(x)有意義． 4．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．用好這個條件是解決切線問題的關(guān)鍵，不知道切點時要先設(shè)切點． (2)曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，斜率為k＝f′(x0)的切線，是唯一的一條切線． (3)曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條． 二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在區(qū)間(a，b) 內(nèi)f′(x) 2．由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在該區(qū)間恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．必要時還需對“＝”進行檢驗． 三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值 1．判斷函數(shù)極值的方法 一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時， (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值； (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值． (3)“極值點”不是點，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1即為極大值點，極大值為f(x1)；在x2處取得極小值，則x2為極小值點，極小值為f(x2)． 2．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號，如果左正右負，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極小值，可列表完成． 3．函數(shù)的最值 在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值與最小值．在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y＝f(x)，若有唯一的極值點，則這個極值點就是最值點． ■自測自評—————————————— 1．[2019·全國卷Ⅲ]已知曲線y＝aex＋xlnx在點(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則(　　) A．a(chǎn)＝e，b＝－1　　　 B．a(chǎn)＝e，b＝1 C．a(chǎn)＝e－1，b＝1 D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1 解析：因為y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲線在點(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得 答案：D 2．[2019·合肥調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x＋2cosx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則對任意a∈R，下列不等式一定成立的是(　　) A．f(a2＋1)≥f(2a) B．f(a2＋1)≤f(2a) C．f(a2＋1)≥f(a＋1) D．f(a2＋1)≤f(a) 解析：依題意可知，f(x)＝ex＋e－x＋2cosx＝f(－x)，所以f(x)是偶函數(shù)，f′(x)＝ex－e－x－2sinx，且f′(0)＝0，令h(x)＝f′(x)，則h′(x)＝ex＋e－x－2cosx，當(dāng)x∈[0，＋∞)時，h′(x)＝ex＋e－x－2cosx≥0恒成立，所以f′(x)＝ex－e－x－2sinx在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，(a2＋1)2－4a2＝(a2－1)2≥0，所以f(a2＋1)≥f(2a)，故選A. 答案：A 3．[2019·山西八校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝(kx－2)ex－x(x>0)，若f(x)<0的解集為(s，t)，且(s，t)中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：令f(x)<0，得kx－2<，令g(x)＝(x>0)，則g′(x)＝(x>0)，令g′(x)>0，解得0<x<1，令g′(x)<0，解得x>1，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增．當(dāng)x→＋∞時，g(x)→0，作出g(x)及函數(shù)y＝kx－2的大致圖象如圖所示．f(x)<0的解集為(s，t)，且在(s，t)上恰有兩個整數(shù)解，由圖可知，這兩個整數(shù)解為1和2，從而有解得＋≤k<＋1. 答案：D 4．[2019·南昌重點中學(xué)]已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x≥0時，滿足f′(x)－f(x)>0.若?x∈[－2，＋∞)，使不等式f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)成立，則實數(shù)a的最小值為(　　) A.－1 B．2－ C．1＋2e2 D．1－ 解析：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，滿足f′(x)－f(x)>0，所以不妨設(shè)f(x)＝ex－e－x，因為f(x)＝ex－e－x是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以由f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)得ex(x3－3x＋3)≤aex＋x，所以不等式ex(x3－3x＋3)－aex－x≤0在區(qū)間[－2，＋∞)上有解，所以a≥x3－3x＋3－在區(qū)間[－2，＋∞)上有解，設(shè)g(x)＝x3－3x＋3－，x∈[－2，＋∞)，則g′(x)＝3x2－3＋＝(x－1)，當(dāng)x∈[－2,1)時，g′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[－2,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以g(x)≥g(1)＝1－，所以a≥1－，故選D. 答案：D 5．[2019·開封定位考試]已知函數(shù)f(x)＝lnx＋，k∈[4，＋∞)，曲線y＝f(x)上總存在兩點M(x1，y1)，N(x2，y2)，使曲線y＝f(x)在M，N兩點處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：f′(x)＝－－1(x>0，k≥4)，由題意知，f′(x1)＝f′(x2)(x1，x2>0且x1≠x2)，即－－1＝－－1，化簡得4(x1＋x2)＝x1x2，而x1x2<2，所以4(x1＋x2)<2，即x1＋x2>對k∈[4，＋∞)恒成立，令g(k)＝k＋，則g′(k)＝1－＝>0對k∈[4，＋∞)恒成立，故g(k)在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(4)＝5，所以≤，所以x1＋x2>，故x1＋x2的取值范圍為. 答案：B 6．[2019·安徽示范高中]設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f′(x)，對任意的x∈R，有f(－x)－f(x)＝0，且x∈[0，＋∞)時，f′(x)>2x.若f(a－2)－f(a)≥4－4a，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞) 解析：令G(x)＝f(x)－x2，則G′(x)＝f′(x)－2x，x∈[0，＋∞)時，G′(x)＝f′(x)－2x>0，∴G(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．G(－x)＝f(－x)－(－x)2＝f(x)－x2＝G(x)，∴G(x)為偶函數(shù)，G(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)． ∵f(a－2)－f(a)≥4－4a，∴f(a－2)－4＋4a－a2≥f(a)－a2，∴f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，即G(a－2)≥G(a)，∴|a－2|≥|a|，∴a≤1. 答案：A 7．[2019·廣東六校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx滿足f(1＋x)＋f(1－x)＋22＝0，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________． 解析：函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx滿足f(1＋x)＋f(1－x)＋22＝0，即(1＋x)3＋a(1＋x)2＋b(1＋x)＋(1－x)3＋a(1－x)2＋b(1－x)＋22＝0，整理得(2a＋6)x2＋2a＋2b＋24＝0，即，解得，所以f(x)＝x3－3x2－9x，f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)<0，解得－1<x<3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,3)． 答案：(－1,3) 8．[2019·浙江卷]已知a∈R，函數(shù)f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，則實數(shù)a的最大值是________． 解析：f(t＋2)－f(t)＝[a(t＋2)3－(t＋2)]－(at3－t)＝2a(3t2＋6t＋4)－2，因為存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，所以－≤2a(3t2＋6t＋4)－2≤有解．因為3t2＋6t＋4≥1，所以≤a≤有解，所以a≤max＝，所以a的最大值為. 答案： 16