（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：中檔大題規(guī)范練（一）三角函數(shù)與解三角形 理

（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：中檔大題規(guī)范練（一）三角函數(shù)與解三角形 理 1．已知函數(shù)f(x)＝sin x·(cos x＋sin x)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若關(guān)于x的方程f(x)＝t在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解　(1)f(x)＝sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x＋(1－cos 2x) ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因?yàn)閤∈， 所以2x－∈. 令u＝2x－， 因?yàn)閥＝sin u在上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 令u＝2x－＝，則x＝， 所以f(x)在上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)． 由題意知，關(guān)于x的方程f(x)＝t在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于y＝f(x)與y＝t的圖象在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 又因?yàn)閒(0)＝0，f＝1＋，f＝， 所以≤t<1＋， 即t的取值范圍是. 2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos A＝－，b＝，c＝. (1)求a； (2)求cos(B－A)的值． 解　(1)在△ABC中，由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A ＝2＋5－2×××＝9， ∴a＝3(舍負(fù))． (2)在△ABC中，由cos A＝－，得A∈， ∴sin A＝＝ ＝. 在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝，∴sin B＝， 又A∈，故B∈， ∴cos B＝＝ ＝. ∴cos(B－A)＝cos Bcos A＋sin Bsin A ＝×＋×＝. 3．(2018·河北省衡水中學(xué)模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A－sin A·sin B. (1)求角C； (2)若A＝，△ABC的面積為4，M為AB的中點(diǎn)，求CM的長． 解　(1)由cos2B－cos2C＝sin2A－sin Asin B， 得sin2C－sin2B＝sin2A－sin Asin B. 由正弦定理，得c2－b2＝a2－ab， 即a2＋b2－c2＝ab. 又由余弦定理，得cos C＝＝＝. 因?yàn)?<C<π，所以C＝. (2)因?yàn)锳＝C＝， 所以△ABC為等腰三角形，且頂角B＝. 故S△ABC＝a2sin B＝a2＝4，所以a＝4(舍負(fù))． 在△MBC中，由余弦定理，得 CM2＝MB2＋BC2－2MB·BCcos B ＝4＋16＋2×2×4×＝28， 解得CM＝2. 4．(2018·重慶市綦江區(qū)調(diào)研)已知a＝(2cos x,2sin x)，b＝，函數(shù)f(x)＝cos〈a，b〉． (1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)； (2)若銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且f(A)＝1，求的取值范圍． 解　(1)由條件可知，a·b＝2cos x·sin＋2sin x·cos＝2sin， ∴f(x)＝cos〈a，b〉＝＝ ＝sin. 由2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， 即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x＝＋，k∈Z. (2)由正弦定理得＝， 由(1)知，f(x)＝sin， 又f(A)＝1，得sin＝1， ∴2A－＝2kπ＋，k∈Z， 又A∈(0，π)，得A＝， ∵A＋B＋C＝π，∴C＝－B，代入上式化簡得， ＝ ＝ ＝ ＝2sin. 又在銳角△ABC中，有0<B<， 0<C＝－B<， ∴<B<，∴<B＋<， 則有<sin≤1， 即<≤2. 5．(2018·河南省鄭州外國語學(xué)校調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C. (1)若cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B，求sin A＋sin B的值； (2)若c＝2，求△ABC面積的最大值． 解　(1)∵cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B， ∴1－sin2A ＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B， ∴sin2A ＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B， ∴由正弦定理，得a2＋b2－c2＝－ab， ∴由余弦定理，得cos C＝＝－， 又0<C<π， ∴C＝， ∴sin A＋sin B＝sin C＝sin ＝. (2)當(dāng)c＝2，a＋b＝c＝2， ∴cos C＝＝＝－1， ∴sin C＝＝ ＝ ， ∴S＝absin C＝ab ＝. ∵a＋b＝2≥2， 即0<ab≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號成立， ∴S＝≤＝， ∴△ABC面積的最大值為.