ahp層次分析法簡單例子層次分析法判斷矩陣

最新ahp層次分析法簡單例子 [層次分析法判斷矩陣] 層次分析法判斷矩陣程序先確定判斷矩陣；然后用以下程序就好了：%層次分析法的matlab程序 %%%%diertimoxingyiclc,cleardisp(輸入判斷矩陣);% 在屏幕顯示這句話A=input(A=);% 從屏幕接收判斷矩陣[n,n]=size(A);% 計算A的維度，這里是方陣，這么寫不太好x=ones(n,100);% x為n行100列全1的矩陣y=ones(n,100);% y同xm=zeros(1,100);% m為1行100列全0的向量m(1)=max(x(:,1));% x第一列中最大的值賦給m的第一個分量y(:,1)=x(:,1);% x的第一列賦予y的第一列x(:,2)=A*y(:,1);% x的第二列為矩陣A*y(:,1)m(2)=max(x(:,2));% x第二列中最大的值賦給m的第二個分量y(:,2)=x(:,2)/m(2);% x的第二列除以m(2)后賦給y的第二列p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));% 初始化p，i，k為m(2)-m(1)的絕對值 while kp% 當kp是執(zhí)行循環(huán)體i=i+1;% i自加1x(:,i)=A*y(:,i-1);% x的第i列等于A*y的第i-1列m(i)=max(x(:,i));% m的第i個分量等于x第i列中最大的值y(:,i)=x(:,i)/m(i);% y的第i列等于x的第i列除以m的第i個分量k=abs(m(i)-m(i-1));% k等于m(i)-m(i-1)的絕對值enda=sum(y(:,i));% y的第i列的和賦予aw=y(:,i)/a;% y的第i列除以at=m(i);% m的第i個分量賦給tdisp(權向量:);disp(w);% 顯示權向量wdisp(最大特征值:);disp(t);% 顯示最大特征值t %以下是一致性檢驗CI=(t-n)/(n-1);% t-維度再除以維度-1的值賦給CIRI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];% 計算的標準CR=CI/RI(n);% 計算一致性 if CR<0.10disp(此矩陣的一致性可以接受!); disp(CI=);disp(CI);disp(CR=);disp(CR);elsedisp(此矩陣的一致性不可以接受!); end 層次分析法中判斷矩陣的構造問題ｙ７６３５８６分類號密級學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題（題名和副題名）儲敏（作省姓名）指導教師姓名肖偉教授申請學１１奇：級別亟論文提交Ｅｌ期±專業(yè)名稱廛旦鏨堂２ＱＱ５：６論文答辯日期學位授予單能和日期壹室墨三叁望答辯委員會主席評闊人２００５年６月日注１：注明《國際十進分類法ｕＤｃ》的分類號。摘要在定性問題的決策中，ＡＨＰ是一種優(yōu)秀的方法，其基礎是對評價對象的兩兩比較，并用比較結果構造判斷矩陣，而這些都依賴于決策者選用的偏好關系。常采用的偏好關系有Ｓａａｔｙ的基于“商”的偏好關系以及模糊偏好關系，相應構造的判斷矩陣分別為正互反判斷矩陣和模糊互補判斷矩陣。本文首先對ＳａａｔｙＡＨＰ的幾種常見標度進行了比較分析，然后對正互反判斷矩陣及模糊互補判斷矩陣的權重計算方法進行了歸納和總結；最后，本文提出了一種新的偏好關系，即基于“差”的偏好關系，從而將反對稱矩陣引入層次分析法，接著對新型偏好關系下判斷矩陣的構造、一致性的定義與性質以及權重的計算方法做了初步的研究，最后用算例說明了新方法的應用，并做了相應的比較分析，結果表明采用基于“差”的偏好關系構造反對稱矩陣拓展了ＡＨＰ的應用范圍，有一定的理論和應用價值。關鍵詞：層次分析法；標度：判斷矩陣；一致性；權重向量ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｂａｓｉｓｏｆＡＨＰｉｓｊｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘ，ｇｅｎｅｒａｌｌｙｉｎｃｌｕｄｉｎｇＡＨＰｏｎｊｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘａｎｄｆｕｚｚｙｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈｒｅｌｙＳａａｔｙｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎａｎｄｆｕｚｚｙｓｅｖｅｒａｌｆａｍｉｌｉａｒｒａｔｉｏｓｃａｌｅｓｏｆｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．ＴｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｍｐａｒｅｄＳａａｔｙＡＨＰｆｉｒｓｔｌｙ；ａｎｄｔｈｅｎ，ｃｏｍｍｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｐｒｉｏｒｉｔｙｖｅｃｔｏｒｆｒｏｍｆｕｚｚｙｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｍａｔｒｉｘｗｅｒｅｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒ３，ｔｈｅＡＨＰｊｕｄｇｍｅｎｔｍａｔｒｉｘｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄａａｎｄｎｅｗｋｉｎｄｏｆｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎ，ｉ．ｅ．ｄｉｓｔａｎｃｅｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎ；ｆｏｌｌｏｗｅｄｔｈｉｓ，ａｓｃａｌｅＷａＳｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｆｏｒｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｘ，ａｎｄｖｅｃｔｏｒｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘＷａＳｄｅｆｉｎｅｄ，ｔｈｒｅｅｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｐｒｉｏｒｉｔｙｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄ；Ａｔｔｈｅｅｎｄ，ｔｗｏｅｘａｍｐｌｅｓｗｅｒｅｕｓｅｄｔｏｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ也ｅｕｅｗｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｔｈｅｙｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｔｈｅｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｘＡＨＰｉＳｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｏａｎｄＶａｌｕａｂｌｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ａｎａｌｙｔｉｃｈｉｅｒａｒｃｈｙｐｒｏｃｅｓｓ；Ｒａｔｉｏｓｃａｌｅ；ＪｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘＣｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙＰｒｉｏｒｉｔｙｖｅｃｔｏｒｙ７６３５８Ｓ聲明本學位論文是我在導師的指導下取得的研究成果，盡我所知，在本學位論文中，除了加以標注和致謝的部分外，不包含其他人已經發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得任何教育機構的學位或學歷而使用過的材料。與我一同工作的同事對本學位論文做出的貢獻均已在論文中作了明確的說明。研究生簽名：／『ｉ彩參ｃｌ砂。廠年∥月夕。日學位論文使用授權聲明南京理工大學有權保存本學位論文的電子和紙質文檔，可以借閱或上網公布本學位論文的全部或部分內容，可以向有關部門或機構送交并授權其保存、借閱或上網公布本學位論文的全部或部分內容。對于保密論文，按保密的有關規(guī)定和程序處理。研究生簽名：｛彗叢少，廠年占月夕。日南京理工大學碩二｜＝學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題第一章概論§ｌ層次分析法概述美國運籌學家Ｔ．Ｌ．Ｓａａｔｙ于７０年代提出ＡｎａｌｙｔｉｃＨｉｅｒａｒｃｈｙＰｒｏｃｅｓｓ（ＡＨＰ），它是對方案的多指標系統進行分析的一種層次化、結構化決策方法，它采用數學方法將哲學上的分解與綜合思維過程進行了描述，從而建立決策過程的數學模型，具有適用性、簡潔性、有效性和系統性等特點。作為規(guī)劃、決策和評價工具，ＡＨＰ自問世以來，已在世界各地得到迅速普及和推廣，取得了大量的研究成果。ＡＨＰ的第一步工作是建立層次結構，本文只就單層ＡＨＰ中的部分問題進行討論。１．１層次分析法１．１．１構造判斷矩陣層次分析法的一個重要特點就是用兩兩重要性程度之比的形式表示出兩個方案的相應重要性程度等級。如對菜一準則，對其下的ｎ個方案進行兩兩對比，并按其重要性程度評定等級。記ａ。為第ｉ和第ｊ方案的重要性之比，表１．１列出Ｓａａｔｙ給出的９個重要性等級及其賦值。ｘ．比焉極端重要９強烈重要７明顯重要５稍微重要３同樣重要１ｌ量化值表１．１９比例標度表按兩兩比較結果構成的矩陣Ａ２（臼ｌ『）。。。，稱作判斷矩陣。易見％＞ｏ，ａ，ｉ＝１且嘶＝１／ａｉ（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ），即Ａ為正互反矩陣。１．１．２計算權重向量【２Ａ５１為了從判斷矩陣中提煉出有用的信息，達到對事物的規(guī)律性認識，為決策科學提供科學依據，就需要計算判斷矩陣的權重向量。定義１?１判斷矩陣Ａ＿（ａｉｊ）…，如對Ｖｉ，ｊ，ｋ＝１，２，…，ｎ，成立％２ａ＋ａⅫ，則稱Ａ滿足一致性，并稱Ａ為一致性矩陣。定理１．１一致性矩陣Ａ具有下列簡單性質：（１）ｒａｎｋ（Ａ）２１，且存在唯一的非零特征值五。。＝ｎ，其規(guī)范化特征向量ｗ２（ｗｌ，Ｗ２，…，Ｗ行）１叫做權重向量，Ｋａ口２ｗ／Ｗｊ；南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題（２）Ａ的列向量之和經規(guī)范化后的向量，就是權重向量；（３）Ａ的任一列向量經規(guī)范化后的向量，就是權重向量；（４）對Ａ的全部列向量求每一分量的幾何平均，再規(guī)范化后的向量，就是權重向量。根據上述定理中的性質（２）和（４）即得到判斷矩陣滿足一致性的條件下求取權值的方法，分別稱為和法和根法。而當判斷矩陣不滿足一致性時，用和法和根法計算權重向量則很不精確。特征向量法是ＡＨＰ的～種基本方法，Ｐｅｒｒｏｎ定理為特征向量法奠定了理論基礎。定理１．２（Ｐｅｒｒｏｎ）成立：記Ａ＝（口ｆ，）√Ｍ＞ｏ為正矩陣，Ｐ（Ａ）為其譜半徑，則下列論斷（１）Ａ的最大特征值旯ｍ戡存在、唯一，且五。。＝Ｐ（Ａ）；（２）與兄。。對應的規(guī)范化特征向量ｗ＝（Ｗ１，Ｗ２，…，ｗＨ）７為正向量，即ｗ中每個元素似＞Ｏ。因此，對于構造出的判斷矩陣，就可以求出最大特征值所對應的特征向量，然后規(guī)范化作為權值。１．１．３一致性檢驗‘２】在實際應用過程中，由于專家在進行兩兩比較時的價值取向和定級技巧以及重要性等級賦值的非等比性，當判斷矩陣的階數ｎ＞２時，通常難于構造出滿足一致性的矩陣來。但判斷矩陣偏離一致性條件又應有一個度，為此，必須對判斷矩陣是否可接受進行鑒別，這就是一致性檢驗的內涵。定理１?３設Ａ。。是正互反矩陣Ａ２（口ｌ，）…的最大特征值，則必有五…≥ｎ，其中，等式當且僅當Ａ為一致性矩陣時成立。應用上面的定理，則可以根據兄。。。２ｎ是否成立來檢驗矩陣的一致性，如果五。，比ｎ大得越多，則Ａ的非一致性程度就越嚴重。因此，定義一致性指標ｒＴ一以ｍｘ一／，７“。磊二ｉ一和平均隨機一致性指標ＲＩ，見表１．２。南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題ｌ矩陣階數３４ｃＩ樣本均值（ＲＩ）０．５１４９０．８９３１１．１１８５１．２４９４１．３４５０１．４２００矩陣階數９ｌＯ１１１２１３ｃＩ樣本均值（ＲＩ）１．４６１６１４８７４５６７１．５１５６１．５４０５１．５５８３ｆ８表１．２平均隨機一致性指標標準值Ｓａａｔｙ建議取一致性指標（ｃＩ）對隨機一致性指標值（ＲＩ）之比，作為一致性檢驗判別式，并稱作一致性比率（簡記為ｃＲ），即ｃＲ：旦砒如果ＣＲ＜Ｏ．１，則認為該判斷矩陣通過一致性檢驗?？梢姡粒龋蟹椒ú粌H原理簡單，而且具有扎實的理論基礎，是定量與定性方法相結合的優(yōu)秀的決策方法。１．２層次分析法研究的意義㈣“簡單就是美”。由于ＡＨＰ給人們決策提供了簡單的層次框架和方法，同時它又蘊涵著深刻的決策心理機制和決策效用機制，因而這一簡單而又深奧的理論進行研究具有重要的意義。（１）理論意義集數學方法、層次結構、試驗心理學和比較權衡分析于一體的ＡｔｔＰ，無疑具有十分豐富的內涵，可以給我們提供廣闊的研究空間，并使ＡＨＰ的研究可以集眾學科之大成，同時也可以進一步促進眾多學科的發(fā)展，尤其是，由于ＡＨＰ在決策科學中占有重要的地位，對它的深入研究有益揭示決策的本質。（２）心理學意義ＡＨＰ本身就是建立在試驗心理學之上的，而它的作用卻遠遠超出了試驗心理學的范疇，隨著人們對ＡＨＰ研究的進一步深入，人們在洞悉ＡＨＰ中心理機制的基礎上，提出了更貼近人的決策心理的不確定ＡＨＰ方法等，可以相信，ＡＨＰ的研究與心理學的發(fā)展使相互促進的。（３）應用意義客觀事物的復雜性和多樣性給我們的應用研究提供了極其廣闊的領域，在豐富了相關領域研究成果的同時，也對ＡＨＰ的適用范圍和條件有更深刻的認識和了解，可以為ＡＨＰ的進一步研究與應用提供指導。３南京理工大學碩上學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造蠼題可以看出，ＡＨＰ在具有簡單表現形式的同時，有著深刻的理論內容：簡單的表現形式使得層次分析法有著廣泛的應用領域，深刻的理論內容奠定了它在多準則決策領域中的地位：從而對層次分析法進行研究有著重要的理論價值和應用價值。§２問題的引入及本文工作概要由于寬廣的應用領域及巨大的應用價值，ＡＨＰ理論仍在繼續(xù)發(fā)展著；二十多年對ＡＨＰ的研究和應用使得它己發(fā)展成一棵枝繁葉茂的大樹，在應用ＡｔｔＰ時，不同的階段有多種不同的方法。然而，方法的多樣性一方面給決策者提供了選擇的方便和自由，另一方面也增加了決策者做出正確選擇的困難；而且，近年來ＡＨＰ成果豐富，但缺乏系統的最新總結，已有成果沒有得到很好的推廣，重復研究也時有出現；何況，盡管ＡＨＰ模型在理論上有著精巧的構思及嚴格的數學證明，但在實際運用過程中經常遇到諸如如何使標度選擇、判斷矩陣權重計算更合理等同題，這些同題無一定的模式可遵循，且直接影響著評價結果的可信度和準確性。正因為如此，對ＡＨＰ進行綜述研究，并在總結的同時提出新的理論顯得尤為重要。不僅如此，上面介紹的ＡＨＰ基于“商”偏好關系，構造正互反判斷矩陣，在此之后研究人員提出了模糊偏好關系，并構造模糊互補判斷矩陣，這將在第二章的權重計算中介紹；那么除已有的兩種偏好關系之外有沒有其它的偏好關系可用于構造判斷矩陣？正是基于這樣的思想，本文首次提出了基于“差”的偏好關系。本文的主要工作有：（１）概括了ＡＨＰ的主要研究方向，理清了ＡＩＩＰ發(fā)展的脈絡，對后續(xù)研究有啟發(fā)意義；（２）對ＳａａｔｙＡＨＰ的幾種常見標度進行了比較分析，并指出了應用的范圍；（３）就正互反判斷矩陣和模糊互補判斷矩陣的計算權重的方法做了總結；（４）提出一種新的偏好關系，即基于“差”的偏好關系，將反對稱矩陣引入ＡＨＰ方法，用以構造判斷矩陣，并就矩陣的構造、一致性的定義和性質以及權重的計算方法進行了初步研究，最后用算例說明了方法的應用，并做了比較分析。南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題第二章ＡＨＰ的標度系統及權重向量的計算§１層次分析法研究迸展簡述美國運籌學家Ｔ．Ｌ．Ｓａａｔｙ于７０年代提出ＡＨＰ方法，它是對方案多個指標系統進行分析的一種層次化、結構化決策方法，它采用數學方法將哲學上的分解與綜合思維過程進行了描述，從而建立決策過程的數學模型。層次分析法的提出，為求解多目標、多準則或無結構特性的復雜決策問題提供了一種簡便的方法，它有著適用性、簡潔性、有效性和系統性等特點，因而在提出后的二十多年的時間內得到了廣泛的應用和發(fā)展；而與此同時，研究人員和工程人員在研究及應用ＡＨＰ的過程中，又發(fā)現了ＡＨＰ方法的諸多不盡人意之處，但也正是因為這些缺點和不足促成了許多新的研究熱點。這些問題主要表現在：（１）標度問題構造判斷矩陣是應用層次分析法的基礎性工作，ＡＨＰ為了表示兩事物相對權重的對比，用標度來量化判斷語言，因而選擇標度是構造判斷矩陣的前提，是決策正確性的基礎：一般情況采用１～９標度，這主要來源于心理學試驗以及Ｍｉｌｌｅｒ【６１的工作。但實踐證明，１～９標度是較粗略的。對于具體的決策問題，決策者往往難以準確給出兩個對象的重要性程度之比，特別是難以適應決策層次中單層含有較多對象的決策問題，也不符合人們在兩兩對象比較中常采取的“三七開”、“－－）ｔ．開”等方式，這說明Ｓａａｔｙ提出的評價標度系統與人們頭腦中的實際標度系統并不一致，從而可能導致排序上的錯誤結論。因而標度問題一直是學者研究的焦點之一，如何改進已有的標度或提出新的標度是國內學者常走的兩條線路；１９８８年左軍川針對用Ｓａａｔｙ的１～９標度法構造判斷矩陣時的困難，提出了Ｏ～２標度法；徐澤水日’９１在Ｏ～２三標度法的基礎上又提出了一１～ｌ三標度法和一２～２五標度法；為了改善１～９標度法的精度，舒康等ｍ１提出了指數標度法，汪浩等｜ｌ”提出了９／９～９／１和１０／１０～１８／２分數標度法，侯岳衡ｍ１等在舒康等的指數標度法基礎上提出了９“９～９”９指數標度法等，這些將在第二節(jié)給出討論和比較。（２）權重的計算問題權重計算是ＡＨＰ的重要步驟之一，在構造了判斷矩陣之后，如何通過判斷矩陣求取權值以達到評價的目的呢？Ｓａａｔｙ通過求取最大特征值對應的特征向量而得到權值，但是，實踐證明，這個方法雖然簡單，卻也有其不足，因而求取權值是ＡＨＰ方法研究的又一熱點。南京理工大學碩Ｊ二學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題（３）判斷矩陣元素的改進ＡＨＰ在受到廣泛歡迎的同時，也受到了許多批評，其中之一就是：在構造判斷矩陣時指派ｌ～９間整數及其倒數的標度時沒有考慮人的判斷的Ｆｕｚｚｙ性。有人指出，ＡＨＰ在方案兩兩比較重要性的賦值時只考慮了人的判斷的兩種可能的極端情況：以隸屬度ｌ選擇某個標度值，同時又以隸屬度１否定其它標度值。這一批評不無道理，因為這對更客觀地表現人的思維判斷以及事物本身的復雜性來說，不能說是沒有缺陷的。因此，當用精確數字構造的判斷矩陣不能滿足要求、不能準確反映決策者的偏好關系的時候，如何準確反應這種偏好關系就成了ＡＨＰ的主要問題。一九八三年荷蘭學者ＶａｎＬｏａｒｈｏｖｅｎ提出了用三角模糊數表示Ｆｕｚｚｙ比較判斷的方法【１”，它假定用三角Ｆｕｚｚｙ數來表示方案兩兩重要性的比較判斷，這給運算帶來了不少方便，并從此成為了ＡＨＰ方法研究的一個新的分支，許多國內外學者對模糊環(huán)境下的判斷矩陣的構造、權重的計算、一致性檢驗等多方面進行了研究和討論。［１４－２０ｌ圖２．１層次分柝法簡表傳統的ＡＨＰ用一個確定的數表示判斷，當問題比較復雜、敏感、信息不全、決策方案不足以全面反映決策環(huán)境，或者專家對方案的了解不夠全面、確切時，人的判斷就具有多種可能，無法指出一個確定的數值表達兩兩比較中的重要程度，一般稱為南京理工火學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題判斷具有不確定性。用模糊數表示方案兩兩重要性的比較判斷是解決這一問題的有效途徑，不僅如此，有的研究人員將區(qū)間數１２１－２４１、可拓集Ⅲ１引入ＡＨＰ，都是對層次分析法的有效拓展。在以上列出的幾個問題之外，還有一致性闖題、保序性問題、群體決策問題以及殘缺判斷矩陣等問題，這些都是以“商”偏好關系為基礎，也就是說，它們的基礎是正互反判斷矩陣；在ＡＨＰ的發(fā)展過程中，研究人員又提出了模糊偏好關系，即構造模糊互補判斷矩陣；那么，除已有的兩種偏好關系之外，是否還有其它的偏好關系？是否可以考慮兩兩之間的重要性程度之差呢？如果可以，是否可以由此構造判斷矩陣、求取權值以達到決策的目的呢？這將在后文得到解答?？傮w來說，理論的發(fā)展源于需要的驅動，由于其獨具的優(yōu)點及廣闊的應用領域，層次分析法得到了深入的研究，正不斷趨于完善。§２ＮＩＰ的標度系統ＳａａｔｙＡＨＰ的基礎工作是構造判斷矩陣，而在進行兩兩比較時該如何量化決策者的感覺，即如何更準確地反映評價對象間的重要性之比？這是構造判斷矩陣的關鍵。在創(chuàng)立ＮＩＰ之初，Ｓａａｔｙ用實驗驗證１～９分制得到的結果與光照度定律一致，而又由于１９５６年Ｍｉｌｌｅｒ［６１認為人們在處理事物時，同時處理的對象不能超過９個，從而ＡＨＰ采用了ｉ～９標度。但正如上文所說，實踐證明１＂－－９標度是較粗略的。對于具體的決策問題，決策者往往難以準確給出兩個對象的重要性程度之比，特別是含有較多對象的時候，也不符合人們在兩兩對象比較中常采取的“三七開”、“二八開”等方式，這說明Ｓａａｔｙ提出的評價標度系統與人們頭腦中的實際標度系統并不一致，而且在應用時也存在困難，從而可能導致排序上的錯誤結論。因而，標度問題一直是學者研究的焦點之一，到目前為止，人們已提出了近十種標度，如Ｏ～２標度法、一ｌ～１三標度法、一２～２五標度法、９／９～９／１和１０／１０～１８／２分數標度法、指數標度法等。對標度問題的研究，國內外學者所做的工作基本上是沿著以下兩條路線：一種方法是通過給出新標度，力圖使決策者能更容易地填寫比較矩陣，然后用某種變換將比較矩陣變換成Ｓａａｔｙ的１～９標度法下的判斷矩陣，如三標度法和五標度法；另一種方法是利用給出的新標度直接構造判斷矩陣，以期改善判斷矩陣的一致性，如各種指數標度法和分數標度法。然而，對于同一個決策問題，運用不同的標度法構造判斷矩陣，有時會產生不同的方案排序，從而影響了決策的可信度。那么，應用ＡＨＰ時，面對如此眾多的標度法，該如何選擇呢？許多研究人員對此進行了深入的探討，他們一方面不斷提出新的標７南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題度，一方面對各種標度進行綜合比較，以期為應用ＡＨＰ提供方便。２．１已有的比較較早的比較有駱正清【２６１在１９９３年對左軍的三標度法和Ｓａａｔｙ的１～９標度法的比較，結論是：在單一準則下，三標度法和Ｓａａｔｙ的１～９標度法～樣，能夠保序，但其精度不如后者；汪浩［１１１對１～９標度及９／９～９／１和１０／１０～１８／２分數標度法的比較，其結論是：當語言一致時，９／９～９／ｌ標度的～致性最好，１０／ｌＯ～１８／２標度次之，１～９標度的性能最差：此外，駱正清㈣、徐澤水１２８１等分別對常見的四種標度１～９標度、９／９～９／ｉ標度、１０／ｉ０～１８／２標度和指數標度進行了比較。他們所采用比較的方法略有不同，駱正清提出了用傈序性、一致性、標度均勻性、標度可記憶性、標度可感知性、標度權重擬合性等標準，綜合比較層次分析法中的不同標度，并得出結論：對單一準則下的排序，各種標度法都具有保序性，建議使用１～９標度，對精度要求較高的多準則下的排序問題，建議使用指數標度；而徐澤水則從一致性指標、最大偏差值、均方差等方面進行比較，他認為：０／１０～１８／２標度的性能最好，最適宜于精確的權值計算且能得到較為合理的結果；另外，ＭａｌｃｏｌｍＢｅｙｏｎ［”１從權重分布的角度對幾種常見標度進行了比較分析。通過對不同學者所作的比較研究可以發(fā)現，一般認為１～９標度的內在邏輯關系存在明顯的不合理性，因而試圖用各種方法加以改進；但是，不同的學者對標度評價所得出的結論有很大區(qū)別，甚至是對立的。如汪浩在［１１］中認為９／９～９／１標度的一致性最好，而徐澤水認為】０／ｔ０～１８／２標度的性能最好。為什么不同的學者對同一問題得出了不同的結論？駱正清等在［２７］中認為，除了評價標準不同之外，更主要的是不同學者在比較時所采用方法還有待商榷，如在［２７］、ｆ２８］中都以ｃＩ看作一個評價指標，顯然不甚恰當，因為用不同標度構造的判斷矩陣有不同的隨機一致性指標，對此，本文代之以ＣＲ指標。本節(jié)將對一些常見標度進行比較。２．２幾種常見標度的比較以前人的工作為基礎，本節(jié)將對１～９標度（Ｓ１）、９／９～９／ｉ標度（Ｓ２）、１０／１０～ｋ標度（ｓ３）以及９ｉ～９…一、）進行比較，它們的通式分別為、了ｉ—ｉ、云專、、殺毒、９忙?！保?，ｋ＝ｌ，２，…，９。根據［２７］的觀點，考察標度的優(yōu)劣，必須著眼于標度本身，研究其特性，用典型的判斷矩陣（由某一標度的所有標度值構成），而不是用一個特定的判斷矩陣（只有幾個標度值構成）去比較分析。因而，本文沿著［２７］、［２８］的思路，從標度的保序性、判斷一致性、最大偏差值、均方差、標度均勻性等方面進行綜合分析。南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題首先給出這幾種標度的描述，見表２．１。區(qū)別Ｓ１Ｓ２Ｓ３Ｓ４同樣重要１１．０００１．０００１．０００微小重要２１．１２５１．２２２１３１６稍微重要３１．２８６１．５００１．７３２更為重要４１．５００１．８５７２．２８０明顯重要５ｉ．８００２．３３３３．０００十分重要６２．２５０３．０００３．９４８強烈重要７３．０００４．０００５１９６８４．５００５．６６７６．８３９極端重要９９．０００９．０００９．０００表２．１幾種標度的描述如同［２７］一樣，設有一組被比較對象為彳。、彳。、彳，、４。、彳，、４。、彳，、爿。、么，，不失一般性，假定在某準則Ｃ下，下標大的對象比下標小的對象都重要。為了問題研究，進一步假定：Ａ與其本身（彳，）及爿：、４。、４。、４，、彳。、么，、彳。、彳，之間的關系恰好構成Ａｔ／Ｐ法中的九個等級，即：同樣重要、微小重要、稍為重要、更為重要、明顯重要、十分重要、強列重要、更強列重要、極端重要，相應地，４：與其本身（Ａ：）及彳，、Ａ。、爿，、４。、么，、４。、＿／Ｉ，之間的關系恰好構成ＡＨＰ法中的同樣重要、微小重要、稍為重要、更為重要、明顯重要、十分重要、強列重要、更強列重要，如此依次類推。根據以上關系，可得到這九個被比較對象在四種標度下的判斷矩陣，以１～９標度為例，如Ａ所示，其它標度下的矩陣可同樣構造。”ｍ№●２３ｍ他，２們Ⅲ協ＭＡ＝４３５４Ｍ∽●２６５３７６４％¨眈。：８７卅拋。，，５ｏｍ忱，：，ｌ更強烈重要南京理工大學碩士學位論文層次分析ｊ去中判斷矩陣的鰒鲞塑嬰可以看出，Ａ是一個非常典型的判斷矩陣，其特點是：對角線下的第一列就是ｌ～９標度的九個標度值，對角線下的第二列比第一列少一個數９，依此類推。并且上三角的元素全小于ｌ，下三角的元素全大于１：為更好地進行比較，下面給出了四種標度下此類矩陣（即上三角的元素全不大于１，下三角的元素全不小于ｌ的９階矩陣）的隨機一致性指標，見表２．２。標度隨機一致性指標表２．２Ｓｌ０．５２９７Ｓ２０．３０４８Ｓ３０．３５７３Ｓ４Ｏ．４２１２四種標度下九階矩陣的隨機一致性指標２．２．１保序性所謂保序性，是指根據某一標度（建立判斷矩陣，求其最大特征對應的特征向量，并以該特征向量的各分量作為被比較對象的權重）得到的被比較對象的排序結果，能真實地反映被比較對象之間的原來的次序關系。根據以上定義，下面研究以上四種標度的保序性。而為了研究保序性，就有必要計算Ａ一”，Ａ，這九個比較對象在不同標度下得到的判斷矩陣的最大特征值所對應的特征向量，結果如表２．３。ｗ１ｓｌｓ２ｓ３ｓ４Ｗ２Ｗ３ｗｄＷ５ｗ６Ｗ—Ｗｇ｝屹０．０１８３Ｏ．０４６５０．０３６６０．０２９１０．０２４７０．０５８８０．０４７５０．０３８４０．０３５００．０７１４０．０６０２Ｏ．０５０５０．０５０７Ｏ．０８４５０．０７５３０．０６６４０．０７３９０．０９８９０．０９３５０．０８７４０．１０７５Ｏ．１１５４０．１１６００．１１５１Ｏ．１５５５Ｏ．１３６２０．ｉ４４９０．１５１４０．２２２３０．１６６００．１８４０Ｏ．１９９３０．３１２ｔＯ．２２２１０．２４１９０．２６２３表２．３不同標度下得到的權重由表２．３可知，被比較的９個對象在不同的標度下所得到的權重是不同的，但四種標度下的排序卻是一致的，按照上面的定義，即各種標度都具有保序性。而同時根據［２７］，從面得到如下結論：結論１對單一準則下的排序問題，所有標度法都具有保序性。但是，正如［２７］中所說，進一步考察多準則下的排序問題可以發(fā)現，不同標度得到的綜合權重不僅不同，而且排序結果往往也是不同的。因此，從某種意義上來說，對于多準則下的排序問題，各種標度都不一定能夠保序。由于多準則下的排序結果不僅與標度有關，而且與各準則的權重也有關，因此，多準則排序問題更加復雜，所以，１ｎ南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題本文只就單準則的排序問題進行了討論。２．２．２一致性在實際應用過程中，當判斷矩陣的階數ｎ＞２時，要構造滿足一致性的矩陣通常是比較困難的。但判斷矩陣偏離一致性條件又應有一個度，如果超出這個度，那么這些判斷就不能真實反應比較對象間的關系，這個判斷矩陣就不能接受。因而，層次分析法中引入一致性概念，主要就是用于評判決策者構造出來的判斷矩陣是否可以接受。正是由于定性問題的復雜性，人們對一組事物進行兩兩比較時，所做出的定性判斷往往并不能總是保持完全一致，于是，層次分析法引入了一致性指標ｃＲ作為衡量判斷矩陣一致性的標準，其中ＣＲ：旦．ａ：丑幽！二！，Ｒ／’ｎ一１ｃＩ為隨機一致性指標，是給定的統計意義上的常數；并規(guī)定ＣＲ＜０．１時不一致性判斷矩陣是可以接受的。顯然，ＣＲ越小，判斷矩陣的一致性越好：當ＣＲ等于零時，判斷矩陣是完全一致的。那么，影響判斷矩陣一致性的因素有哪些呢？毫無疑問，判斷矩陣的一致性與決策者個人判斷是否能保持邏輯上的一致性密切相關。然而，進一步分析不難發(fā)現：對同一個排序問題，即使做出的定性判斷完全相同，但如果運用不同的標度求解，得到的判斷矩陣是不一樣的，一般情況下判斷矩陣的一致性也是不同的。可見，判斷矩陣的一致性與標度本身也有關?；谝陨戏治觯疚膶⒂貌煌瑯硕认碌呐袛嗑仃嚨囊恢滦宰鳛楹饬繕硕葍?yōu)劣的一個重要指標。駱正清阱１認為，由于不同標度下的判斷矩陣的階數都相同（ｎ＝９），故而只需要比較ＣＩ，就可以知道哪一個標度下判斷矩陣的一致性更好一些。但實際情況是，不同標度的隨機一致性指標是不相同的；因而不同于以前的比較，這里用的是ＣＲ，而不是ＣＩ，顯然這樣更合理。ＣＩＣＲ死。。ＳｌＳ２Ｓ３Ｓ４９．４０１４９．１０７１９．０２５７９最大偏差８．０２０１４．２２７５２．３９３９０均方差１．２７３９０．５０６９０．２９３３００．０５０２０．０１３４０．００３２００．０９４８０．０４４００．００９０Ｏ表２．４四種標度的比較：一致性，最大偏差，均方差對不同標度下構造出來的判斷矩陣的一致性進行比較（見表２．４）。從表２．４前四南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題列可以看出，四種標度的ＣＲ值依次遞減，１～９標度的ＣＲ值最大，９ｉ～９ｉ標度的ｃＲ值最小，為零。從而可以得到以下結論：結論２９ｉ～９－標度法的一致性最好，分數標度法的一致性次之，１～９標度法的一致性最差。２．２．３最大偏差值及均方差ｃＲ是一個較好的反映判斷矩陣一致性的指標，對于構造出來的每一個判斷矩陣Ａ２（ａｏ）…，可以用特征值方法求出權重向量ｗ＝（ｗ１，ｗ２，．．．，ｗ力）７，而由定理１．１知道，當Ａ為一致性矩陣時，國２ＷＪＷｊ，ｉ，Ｊ＝１，２，…ｎ，因而用吼與訓１峨的偏差來度量判斷矩陣的一致性是自然的，也是有效的。首先給出最大偏差值及均方差的定義，記最大偏差為Ｓ，均方差為仃，ｓ：ｍａｘｂ一掣甌鬲。顯然，它們的取值越小越好。對不同標度下構造出來的判斷矩陣進行比較，結果如表２．４最后兩列所示，可以看出最大偏差及均方差均依次遞減，從而有結論３從最大偏差及均方差來看，１～９標度的一致性最差，其次是９／９～９／１０８標度，再次是１０／１０～１８／２標度，９ｉ～９ｉ標度的一致性最好。２．２．４標度均勻性㈣所謂標度均勻性，是指在某一標度下，所有相鄰的兩標度值的差或商的值大致相等的程度。顯然，對一個特定的標度，如果其中某兩個相鄰的標度值的差或商，比該標度下其它兩個相鄰的標度值的差或商大得太多，那么這種標度就不是很合理。因此，標度均勻性可以作為衡量某一標度是否合理的重要標準。為了研究標度均勻性，現給出以下幾個定義：定義２．１某一標度下相鄰的標度值差ｄ。．為：ｄ。＝Ｓ，一ｓ，，ｊ＝ｉ＋ｌ，ｉ＝１，２，。一，８，塑重型王奎蘭墅土蘭堡蘭苧星盜坌塹鯊！型塑塹墮！墮！墾墮——Ｄ。＝Ｊ，／ｓ。，Ｊ＝ｉ＋１，ｉ＝１，２，…，８，其中，Ｓ，，ｓ．為某一標度下相鄰的兩個標度值。定義２．２某一標度下相鄰的標度值商Ｄ。，為：其中，ｓ，，＆為某一標度下相鄰的兩個標度值。定義２．３某一標度下標度值差的距離（記為ｄ），為該標度下最大標度值差與該標度下最小標度值差的商，ｄ２ｍａｘ｛ｄ口｝／ｍｉｎ｛ｄｐ），Ｊ５ｉ＋１，ｉ２１，２，…，８?定義２．４某一標度下標度值商的距離（記為Ｄ），為該標度下最大標度值商與該標度下最小標度值商的商，Ｄ＝ｍａｘ｛Ｄ“｝／ｍｉｎ｛Ｄ“），Ｊ＝ｉ＋ｌ，ｉ＿１，２，…，８．定義２．５某一標度的標度值距離的平衡值為ｄ／Ｄ或Ｄ／ｄ的最大值，即，ｂ＝ｍａｘ（ｄｉＤ，Ｄ／ｄ）。駱正清在［２７］中認為，ｂ在１．１到２．０之間，標度均勻性比較理想；ｂ在２．１１８到６．０之間，標度均勻性比較好；ｂ取其它值，標度均勻性比較差。根據以上指標，可以計算幾種指標的均勻性，結果如表２．５所示。Ｓ１ｄＤｂｌ１．７７８１．７７８Ｓ２３６１。７７８２０．２５０Ｓ３１５．０１４１．３００１１．５５０Ｓ４６．８３９ｌ６．８３９表２．５不同標度下標度值的幾種距離從上表可以得到以下結論：０８結論４從標度的均勻性來看，ｌ～９標度的均勻性最好，９ｉ～９ｉ標度的均勻性次之，兩種分數標度的均勻性較差。以上從標度的保序性、判斷矩陣的一致性、最大偏差值、均方差、標度均勻性等方面對四種標度進行了比較，結果表明，在單準則的情況下，四種標度都是保序的；從一致性指標、最大偏差值、均方差來分析，９－０～９；標度法的一致性最好，分數標度法的一致性次之，１～９標度法的一致性最差；但從標度的均勻性來看，１～９標度南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題的最好，９ｉ～９ｉ標度次之，兩種分數標度的均勻性較差。０基于以上分析，可以看出，無論從ｃＲ指標，還是從最大偏差及均方差來看，９ｉ～Ｂｑｉ標度都具有最好的一致性，而標度本身的均勻性僅次于１～９標度；因而，個人認為，對于一般精度要求不高的決策問題，可以使用１～９標度以及分數標度法，而對Ｏ８于計算精度要求較高的決策問題，使用９－～９ｉ標度較為理想。§３權重向量的計算在決策過程中，決策者給出方案兩兩比較的偏好信息。在以前的研究中，給出的偏好信息有兩類，即基于“商”的偏好信息和模糊偏好信息，它們可由判斷矩陣來表示，從而相應的判斷矩陣有兩類，即正互反判斷矩陣和模糊互補判斷矩陣。在應用層次分析法時，如何從判斷矩陣計算權重向量是一項非常重要的步驟，而多年的發(fā)展使得計算的方法十分豐富，本文對兩類矩陣的一些重要的權重計算方法以及兩類矩陣的關系進行了初步的歸納和總結。３．１正互反判斷矩陣權重向量的計算在第一章對層次分析法的介紹過程中就已經給出了一致性矩陣的權重向量的計算方法，權重向量即為唯一特征值對應的規(guī)范化的特征向量，也是任－－ｙＪＪ向量經規(guī)范化后的向量；而一般的判斷矩陣并不滿足一致性，若用列向量經規(guī)范化后的向量作為權重向量，則過于粗糙，但根據Ｐｅｒｒｏｎ定理，正矩陣Ａ＝（ａｉｉ）的最大特征值是唯一存在的，并且對應的規(guī)范化特征向量為正向量，從而Ｓａａｔｙ將其譜半徑ｐ（Ａ）對應的規(guī)范化特征向量定義為權重向量。于是，對于一個不具有一致性的判斷矩陣，只要求取其最大特征值，然后計算對應的特征向量，規(guī)范化后即得權重向量。然而，這里是有疑問的，這樣得到的權重向量是否代表了真正的權重向量呢？在此之后，ＡＨＰ的研究人員基于特征值及對一致性條件的偏差分析又提出了許多方法。３．１．１基于特征向量的方法特征向量法在上面已經得到介紹，而許多研究人員將此方法進行推廣得到了一些新的方法，主要有廣義特征根法、改進梯度特征向量法以及廣義梯度特征向量法。３．１．１．１廣義特征根法［３１１有研究人員認為，判斷矩陣的確定可能依賴于被比較方案的先后順序，也就是說，決策者對ｉ方案相對于ｊ方案的相對重要性容易做出判斷，而對于ｊ方案相對于ｉ方案的相對重要性則可能難以判斷，即使給出判斷也不一定具有互反性。因此為了在排序權重的計算中反映出這種決策者的心理因素，人們設計了如下的廣義特征根法。設對于判斷矩陣Ａ＿（口玎）…，決策者給出其上三角部分較有把握，于是可在Ａ的基礎上構成～個輔助矩陣４＝∞，）…，其元素滿足“口Ⅱ＝盼迎比州＝ｎ其中ｗ＝（ｗ１，Ｗ２，…，ｗ＂）７是待定的權重向量。顯然，當Ａ為一致性矩陣時，有ｊ：爿，當Ａ不具有一致性時，ｊ不僅不是一致的，也不是互反的。用爿代替Ａ，求解４的右特征向量ｗ，注意到爿ｗ＝五，。Ｗ即為１口１２１；１似ｗ：／ｗｉｗ．／ｗｗ。／ｗ：展開后有２．．．毗＝五…圓吼．．．，ｍ批；慨Ｗ２：●ＷｎＩｎｗ．＝旯。。Ⅵ，７ｉｗ，＋∑編批＝五。ｗ，ｉ＝ｌ，２，…，”～１，ＬＪ＝ｆ＋Ｉ由此可解得見…＝％Ⅵｋ一１２ａ…１。１化，ｗ２擊（婁。嘞Ｍ”＿１，２，…，”一２將上式求得的ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…，ｗｎ）７歸一化后，即得到排序權重向量。３．１．１．２改進梯度特征向量法…１廣義特征根法對方案比較順序比較敏感這一特點，實際上還可進一步加以利用。因為人們在進行兩兩比較時，總是對某些比較判斷較有把握，而對另一些比較判斷可能把握不大，甚至沒有把握。此時，Ａｔ（－Ｊ自然希望在導出排序權重向量過程中，能加１５強那些有把握的判斷的影響作用，而削弱那些沒把握的判斷的影響作用ａ特別當判斷矩陣不一致程度很高時，人們比較判斷的偏好性就更明顯。為此，人們在廣義特征根法基礎上引進一個置信度矩陣Ａ２（五ｑ）…，此中五ｕ用來描述判斷吼的置信度，并通過對原比較判斷矩陣Ａ與置信度矩陣Ａ的某種組合運算使不同置信度的判斷甜。在排序向量的導出中起不同的作用。此即改進梯度特征向量法的基本思想。對比較判斷矩陣Ａ。（ａ驢）。。。的上三角（或下三角）部分構造相應的置信度矩陣Ａ２（見矽。，此中Ａ的上三角部分元素五ｉ＿ｉ表示決策者在做出判斷％時的置信度，ｏ≤五Ⅱ≤１，萎，五。２ｌ，五ｉｊ越大，表示日Ｆ越可信，五ｕ…Ｎ，ＮａＦ絕對可信，五ｕ２０表示以。不可信；而Ａ的下三角部分全?。埃从校睙o：０Ａ０１Ｏ１?‘元。?‘Ｚ：。０“允?！瘛瘛希痹冢恋幕A上構造輔助矩陣Ａ＝∞ｖ）…，使Ａ＝ＡＡ。Ａ＋（Ｅ—Ａ）。Ｗ，其中Ａ。Ｂ是矩陣的Ｈａｄａｍａｎｄ乘積，Ｅ為元素全為１的ｎ階方陣，Ｗ＝（墮）～，ｗ（ｉ＝１，２，…，ｎ）ｗ；是待定的權重向量的各分量。則有３，ｏａｏ＋”＂警，川扣ｌ，２，…，川口Ⅳ＝１，Ｊ＝ｉ，ｉ＝１，２，，～，”，，＜ｆ，ｆ＝２，３，…，門．盟，ＷＪｊ的上三角元素由兩部分組成，其中Ａ“甌是可信成分，（１－旯口）絲可看成不可。Ｗ，。。信部分。當我們采用輔助矩陣彳來導出權重向量ｗ時，顯然五ｑ越大，甌在導出ｗ過程中的作用就越明顯，從而起到了具有不同置信度的％在導出Ｗ時所超的不同的南京埋工大學碩上學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題影響作用。Ａ作為Ａ的代替，以下來求４的右主特征向量ｗ，即解特征方程４ｗ＝力。；ｗ展開得到ｆ五。。＝挖，ＪＬ。Ｉ（ｎ－１）ｗ＋∑如ａ，ｗ，＝”ｗＪ，ｉ＝１，２，…，”一１，』２ＨＪ即可解得允一２ｎ，１４７．一Ｉ。ａ。一１．。ｗｏ，ｗｌ＝∑厶ａＦⅥ，ｉ＝１糾２一，ｎ－２３．１．１．３廣義梯度特征向量法１３２１上述算法均以判斷矩陣Ａ２（口ｌ，）。為基礎。眾所周知吼表示了元素ｉ與元素ｊ的直接比較信息，ａ≯＝∑口。ａ州則表示了元素ｉ與元素ｊ的直接比較信息和元素ｉ通過元素ｍ與元素ｊ的間接比較信息，ＮＣｇＡ２＝（毋’）…比Ａ具有更多的信息，類似的么‘＝（口滬ｈ…，日ｉ’＝乏ａｑ，ａｆ，ｊ：…ａ妒給出了元素ｉ與元素ｊ的直接比較和間接比較的綜合信息。設判斷矩陣Ａ２（ｄ擴）…，構造矩陣判斷矩陣Ｂ２（６擴）。。。，其中七ａ》≤，陀ｗ｛ｗｉ，ｉ＞ｊ，ｉ，｛－、“２一，ｎ口：＿｝）如上定義，ｗ＝（ｗｌ，ｗ２，…，ｗ訂）’是待定的權重向量。求Ｂ的右主特征向量ｗ，即解特征方程?。轿濉?。ｗ，１Ｗ２／ｗｂ１，ｂ２３Ⅵ‘／Ⅵ‘ｗ．／ｗ：ｗ．／ｗ，錈Ｗ１＝五…Ⅵ，２：ｍ解上述特征方程得ｗ＝擊靜，ｗｊ，，＝¨，…孔令Ⅵ＝１，將ｗ＝（ｗＩ，ｗ２，…，ｗ月）‘歸一化，即得所求的權重向量。３．１．２基于偏差最小化的方法對于判斷矩陣Ａ２（口ｌ『）…，當其滿足一致性時，對Ｖｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ，有吼＝ｗ，／ｗ，成立，而當Ａ不滿足一致性時，ａ。與州彬是不全相等的，因而研究人員認為礪與Ｗ／Ｗｊ矧的距離的大小可以作為衡量判斷矩陣一致性程度的指標，因此人們從偏差最小化的角度取求取權值，即建立優(yōu)化模型：Ｍｉｎ≯（彤，爿）其中，Ａ為判斷矩陣，ｉｇＤ＝｛ｗＪ∑ｍ＝１，Ⅵ＞ｏ，ｉ＝１，２，…，ｎ）為待求的權重向量集，Ｗ：（絲）…為權重矩陣，妒為模型選用的偏差函數，從而構造不同的偏差函數就形Ⅵ成了不同的方法。３．１．２．１最小二乘法≯（∥，爿）＝∑（口Ｆ—ｗ］ｗ，）２。文獻［３３］構造了一個典型的二次型問題ＭｉｎＪ＝ＺＴｚｓ２．Ａｗ＝ｎｗ＋ｚｗ∈Ｄ顯見ｚ＝［Ａ—ｎＩ］ｗｅＴｗ＝１通過構造Ｌａｇｒａｎｇｅ函數即可求解。３．１．２．２改進最小二乘法ｆ”】緲∽２毫老（曠Ｗ，／Ｗ）２。顯然涵黼的每枷自最小＝乘蝴相應項乘以加權因子ｍ／ｗ，來得到，函數痧（∥，一）表示權重向量ｗ與判斷矩陣Ａ總的偏離程度，并把廬（∥，彳）在Ｄ中的最小點作為判斷矩陣Ａ所確定的權重向量，稱為改進最小二乘法。在［３４］中，作者證明廬（緲，Ａ）在Ｄ中有唯一的最小點，從而可求取權重向量。３．１．２．３對數最小二乘法‘２１妒∽＝砉（１鼬｛，翟））ｏ在Ａ為嘎陛矩陣時‰＝蚩魁從而有７’ｏ“ＷｉｙＶ’ｌｇａｐ＝ｌｇ（Ⅵ／ｗ，）成立，因而廬（∥，爿）２０。當Ａ不滿足一致性時，將≯（緲，彳）取最小值時的Ｗ作為權重向量，利用Ｌａｇｒａｎｇｅ函數法很容易解得Ⅵ＝—型、ｉ＝１，２，…，ｎ。（Ⅱａｏ）窆（南口酊）２。１ｊ＝ｌ３．１．２．４最小偏差法咿，艫ｉ１薈ｎ（％ｉＷｊ＋％瓦Ｗｉ－２）溯顯然∥∽＞０，并且當且僅當Ａ滿足一致性時Ｏ（ｗ，一）取得最小值，從而≯（礦，爿）可以衡量判斷矩陣滿足～致性的程度。陳寶謙在［３５］中證明≠（∥，Ａ）在Ｄ中存在唯一最小解，并且也是方程組喜（吼老確》…啦，…，ｎ在Ｄ上的唯一解。３．１．２．５金菊良等的方法【３６１月ｎ礦（礦，４）＝∑ｌ∑ａ。ｗｋ一”ｗｊＩ／ｎ。顯然，妒（∥，爿）值越小，則判斷矩陣的一致性ｌ＝ｌ＾＝ｌ程度越高；≯（矽，Ａ）＝Ｏ時，Ａ為一致性矩陣。金菊良等用加速遺傳算法解此優(yōu)化問題１９南京理工大學頌ｌ：學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題得到了較好的結果。以上方法有一個相同的特點，即都是在構造偏差函數的基礎上來求取權值，從而盡管方法不同，構造的偏差函數各異，但都有著相同的原理。在此之外還有雷功炎利用相對熵計算權重的方法Ｉ”】；特別的，Ｅ．Ｕ．ｃｈｏｏ和ｗ．Ｃ．Ｗｅｄｌｅｙ在［３８］中總結了１２種偏差函數，原理相同，不多贅述?？偟恼f來，在目前常用的計算正互反判斷矩陣權重的方法中，列正規(guī)化法等只考慮判斷矩陣一列的影響，所以計算精度不高；特征值法是目前最常用的方法，它計算判斷矩陣的最大特征根所對應的特征向量并歸一化后作為權重，該法的不足是，在權重計算時沒有考慮判斷矩陣的一致性條件以及決策者在構造判斷矩陣時的心理因素，從而有了幾種改進的方法；基于偏差最小化的方法都是利用判斷矩陣所有元素的信息，并根據盡可能滿足一致性條件而構造相應的優(yōu)化問題來求取權重，在理論上是相互等價的。３．２模糊互補判斷矩陣權重向量的計算近年來，有關模糊互補判斷矩陣的研究受到人們的關注，其理論與方法的研究取得了一些成果。下面首先對模糊互補判斷矩陣及其相關概念做簡要的介紹，然后對已有的排序方法進行歸納和總結?？紤]有ｎ個對象Ａ。，ｉ＝１，２，…，ｎ的評價問題，在評價過程中，所采用的決策信息是決策者針對評價對象提供的一類模糊互補判斷矩陣。定義２．６【３９１設二元對比矩陣Ｐ＝（Ｐ∥，若對Ｖｉ，Ｊ＝１，２，…，ｎ，滿足性質０≤ｐ，，≤１．Ｐ。＝０．５，Ｐ。＋ｐｎ＝１，則稱Ｐ為模糊互補判斷矩陣。其中，Ｐ．，ＮＮ．理ＮＮｘ，ｉＮＡ，優(yōu)于Ａ，的程度，具體規(guī)定：（¨Ｐ．，。０．５表示Ａ，與Ａ，同樣重要：（２）ｏ≤ｐ。＜０．５表示Ａ，比Ａ，重要，且Ｐ。越小，Ａ，比Ａ，越重要；（３）ｏ．５＜ｐ。≤１表示么；比Ａ，重要，且ｐ。越大，Ａ，比彳』越重要。對于決策者做出的判斷，有必要考慮其判斷的一致性，目前，使用模糊互補判斷矩陣時的一致性定義主要有兩種，分別稱為加性一致性和乘性一致性，定義如下：定義２．７【４０１１若模糊互補判斷矩陣Ｐ＝（Ｐｆ，）１１滿足１（ｐ。一言）＋（ｐ目一專）２ｐ，ｊ－ｊ１，即ｐ９２ＰｉｋＰｊｋ＋壹，Ｖ‘，＿，，。＝１，２，…，ｎ（２?１）則稱Ｐ滿足加性一致性。南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題定義２．８ｍ１若模糊互補判斷矩陣尸＝（ｐ擴）。滿足瓦Ｐｉｋ，魯２∥Ｐｑｉ；岷見驢見以盼∥啪ｍ＿１，２－…，一（２．２）則稱Ｐ滿足乘性一致性。構造判斷矩陣的目的在于更好地獲取權值，那么，對于模糊互補判斷矩陣該如何定義權值呢？在定理１．１中，已經知道對于滿足一致性的正互反判斷矩陣，列向量之和經規(guī)范化后的向量就是權重向量，與此相似，陳守煜給出了一下定義：定義２．９Ⅲ１模糊互補判斷矩陣Ｐ＝（Ｐｆ，）列向量之和經規(guī)范化后的向量即為２Ｚｐ。權重向量，即ｗ廣—二】一一，ｉ＝１，２，…，ｎ．顯然，這種方法簡單易行，但沒有考慮判斷矩陣該滿足的一致性條件，而一般情況下構造的判斷矩陣是不滿足一致性條件的，自然這樣得到的排序結果也是相當粗糙的，那么該如何求取權值昵？目前，所用的方法大致可分為四類：（１）通過變換將構造的模糊互補判斷矩陣變換為滿足一致性的模糊互補判斷矩陣，用定義２．９的方法求取權值；（２）基于加性一致性的權重計算方法；（３）基于乘性一致性的權重計算方法；（４）基于正互反判斷矩陣的權重計算方法。為了方便，設Ｐ＝（ｐｆ，）為構造的判斷矩陣，ｗ＝（ｗｌ，ｗ２，…，Ｗｎ）１為待求的權重向量，其中Ⅵ＞ｏ，∑ｗｆ＝１，Ｊ＝｛ｌ，２，…，ｎ｝，下面將逐～介紹各類方法。３．２．１基于定義２．９的方法既然［４１］認為對于滿足一致性的判斷矩陣，可以用列向量之和經規(guī)范化后的向量作為權重向量，那么很容易就會想到，是否可以經過一定的變換將構造的判斷矩陣“變”為一致性的矩陣昵，因為那樣就可以直接用定義２．９來計算權重了。如此看來，這種方法的關鍵就在于如何施行變換了。３?２?１，ｌｆ４２１對判斷矩陣Ｐ按行求和，記ｒ，＝∑ｐ。，ｆ∈，，做變換礦華＋０．５，“∈，則Ｒ＝０玎）…是加性一致性矩陣。南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷理陣的構墮璺嬖對于參數ａ的取值，徐澤水在［４２］中認為ｄ＝２（ｎ一１）比較合理。３．２。ｌ，２ｐ３’對判斷矩陣Ｐ按行求和，記ｒ，＝∑ｐ。，ｉｅｌ，做變換ｋ＝ｌｒ，＝—ｔＬ，ｉ，ｊ∈ｌｒｔｌｒｔ則足＝◇擴）。。是乘性一致性矩陣。以上兩種方法均采用數學變換人為地將模糊互補判斷矩陣轉變?yōu)橐恢滦阅：パa判斷矩陣，這種做法有兩個缺點：一是沒有考慮原判斷矩陣的一致性程度，即使～致性很差，轉化后總是一致性模糊互補判斷矩陣，因而由此確定的排序向量可能是不可信的；二是由于模糊互補判斷矩陣的一致性定義有兩種，而一般情況下兩者并不等價，那么同一個判斷矩陣在兩個不同的一致性定義下就可以得到兩個不同的權重向量，到底該以誰為基準呢？這是一個問題，有待進～步的研究和解決。３．２．２基于加性一致性的方法肖四漢等在［４４］中認為，若Ｐ滿足加性～致性，則根據其定義，對Ｖｆ，Ｊ∈ＬＰ．?？梢员硎緸?！掣；從而若Ｐ滿足加性一致性，令。。——ｒ一月＋ｌ一２∑ｐ。挖（２．３）ⅢＪ則兩邊對ｉ求和，很容易就可計算得到ｗ．＝———』Ｌ二，－，∈，?！＃锏?，構造的判斷矩陣一般是不滿足一致性的，自然不能滿足（２．３）式，但ｐ。與?。。。蹓欓g的距離卻可以反映判斷矩陣的一致性程度，因而考慮到不同的優(yōu)化準Ｚ則，就會得到不同的權重計算方法。３．２．２．１㈣構造多目標最優(yōu)化模型南京理工大學碩上學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題ｍｉｎｚｉ＝Ｉｐ，一半ｌ，Ｖｆ＇，∈，，ｆ≠，弛∑ｗ，＝１Ｗ．≥Ｏ，Ｊ∈』３．２．２．２ｆ４６１構造優(yōu)化模型ｍｉｎｚ＝蕃ｎ薔ｎ（曠２竽）琺∑ｗ．＝１Ｗｊ≥Ｏ√∈，．在［４５］、［４６］中，作者分別給出了求解各自模型的方法，這里不再重復：很顯然依據同樣的原理，還可以構造其它的優(yōu)化模型。３．２．３基于乘性一致性的方法根據式（２．２），若模糊互補判斷矩陣Ｐ滿足乘性一致性，則Ｍ７１ｐ。２而Ｗ瓦ｉ，ｆ，，吐對上式稍加變化，即有（１一Ｐ口），ｍ２Ｐ口Ｗｊ，Ⅵ２Ｐ。（ｗｆ＋Ｍ）成立，但一般情況下，Ｐ并不具有乘性一致性，從而對Ｖｉ，－，∈，，上述等式并不全部成立，因而為了求取權值，人們構造了如下的偏差模型：Ｍｉｎ≠（Ｐ，ｗ）月其中Ｐ為判斷矩陣，ｗ為待求的權重向量，記Ｄ＝｛ｗｌ∑ｗＩ＝１，ｗｆ≥ｏ，ｉ＝１，２，…，ｎ｝ｌ＝１≯為模型選用的偏差函數，從而構造不同的偏差函數就形成了不同的方法。３．２．３．１方法１：ｚ２法㈣孿而。對于模型中的目標函數≯（Ｐ，Ｗ），有以下結論南京理工大學碩士學位論文層次分析法中判斷矩陣的構造問題≯（Ｐ，Ｗ）在Ｄ中有唯一的最小值點Ｗ’，且Ｗ＋是方程組喜ｃ蚩ｐｊ＋老ｐ：）：０，川在Ｄ中的唯～解。３．２．３．２方法２：線性目標規(guī)劃法ｆ４９】≯（Ｐ，ｗ）爿（１－ＰＦ）Ｍ—ＰＦＷｊＩ。構造多目標最優(yōu)化模型ｍｉ“蜀２『（卜ＰＦ）ｗ，一Ｐ“ｗｊｌ，Ｖｆ，，∈Ｉ，ｉ≠＿，ｓ．ｔ．ｗ∈Ｄ在［４９