2020高二數(shù)學 1.1.2余弦定理(二）學案 新人教A版必修5

1.1.2　余弦定理(二) 課時目標　1.熟練掌握正弦定理、余弦定理.2.會用正、余弦定理解三角形的有關問題． 1．正弦定理及其變形 (1)＝＝＝______. (2)a＝________，b＝________，c＝________. (3)sin A＝______，sin B＝______，sin C＝____________________________________. (4)sin A∶sin B∶sin C＝________. 2．余弦定理及其推論 (1)a2＝________________. (2)cos A＝________________. (3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為________；c2>a2＋b2?C為________；c2<a2＋b2?C為________． 3．在△ABC中，邊a、b、c所對的角分別為A、B、C，則有： (1)A＋B＋C＝____，＝__________. (2)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________. (3)sin ＝________，cos ＝__________. 一、選擇題 1．已知a、b、c為△ABC的三邊長，若滿足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則∠C的大小為(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，則△ABC的形狀一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，則這個三角形的最小外角為(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 4．△ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2＝ac,2b＝a＋c，則此三角形是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C＝120°，c＝a，則(　　) A．a>b B．a<b C．a＝b D．a與b的大小關系不能確定 6．如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．由增加的長度確定 題　號 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．在△ABC中，邊a，b的長是方程x2－5x＋2＝0的兩個根，C＝60°，則邊c＝________. 8．設2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是________． 9．已知△ABC的面積為2，BC＝5，A＝60°，則△ABC的周長是________． 10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則△ABC外接圓的面積是________． 三、解答題 11．在△ABC中，求證：＝. 12.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊的長，cos B=,且·＝－21. (1)求△ABC的面積； (2)若a＝7，求角C. 能力提升 13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，則角C的取值范圍是(　　) A．0<C≤ B．0<C< C.<C< D.<C≤ 14．△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝. (1)求＋的值； (2)設·＝，求a＋c的值． 1．解斜三角形的常見類型及解法 在三角形的6個元素中要已知三個(至少有一邊)才能求解，常見類型及其解法見下表： 已知條件 應用定理 一般解法 一邊和兩角 (如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時只有一解. 兩邊和夾角 (如a，b，C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解時只有一解. 三邊 (a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解時只有一解. 兩邊和其中一邊的對角如(a，b，A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無解. 2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑 (1)化邊為角； (2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉換． 1．1.2　余弦定理(二) 知識梳理 1．(1)2R　(2)2Rsin A　2Rsin B　2Rsin C　(3)　　 (4)a∶b∶c　2.(1)b2＋c2－2bccos A　(2) (3)直角　鈍角　銳角　3.(1)π　－　(2)sin C?。璫os C －tan C　(3)cos 　sin 作業(yè)設計 1．C　[∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， ∴a2＋b2－c2＝－ab， 即＝－， ∴cos C＝－，∴∠C＝120°.] 2．C　[∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即sin(A－B)＝0，∴A＝B.] 3.B　[∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7， 不妨設a＝3，b＝5，c＝7，C為最大內角， 則cos C＝＝－. ∴C＝120°. ∴最小外角為60°.] 4．D　[∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0. ∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.] 5．A　[在△ABC中，由余弦定理得， c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab. ∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab. ∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.] 6．A　[設直角三角形三邊長為a，b，c，且a2＋b2＝c2， 則(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2 ＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2 ＝2(a＋b－c)x＋x2>0， ∴c＋x所對的最大角變?yōu)殇J角．] 7. 解析　由題意：a＋b＝5，ab＝2. 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19， ∴c＝. 8．2<a<8 解析　∵2a－1>0，∴a>，最大邊為2a＋1. ∵三角形為鈍角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2， 化簡得：0<a<8.又∵a＋2a－1>2a＋1， ∴a>2，∴2<a<8. 9．12 解析　S△ABC＝AB·AC·sin A＝AB·AC·sin 60°＝2， ∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC， ∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49， ∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周長為12. 10. 解析　S△ABC＝bcsin A＝c＝， ∴c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a＝. ∴2R＝＝＝， ∴R＝.∴S外接圓＝πR2＝. 11．證明　右邊＝＝·cos B－·cos A ＝·－·＝－＝＝左邊． 所以＝. 12.解 （1）∵·＝－21，·＝21. ·＝||·||·cos B＝accos B＝21. ∴ac＝35，∵cos B＝，∴sin B＝. ∴S△ABC＝acsin B＝×35×＝14. (2)ac＝35，a＝7，∴c＝5. 由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝32， ∴b＝4.由正弦定理：＝. ∴sin C＝sin B＝×＝. ∵c<b且B為銳角，∴C一定是銳角． ∴C＝45°. 13．A　[方法一　(應用正弦定理) ∵＝，∴＝ ∴sin C＝sin A，∵0<sin A≤1， ∴0<sin C≤. ∵AB<BC，∴C<A，∴C為銳角， ∴0<C≤. 方法二　(應用數(shù)形結合) 如圖所示，以B為圓心，以1為半徑畫圓， 則圓上除了直線BC上的點外，都可作為A點．從點C向圓B作切線，設切點為A1和A2，當A與A1、A2重合時，角C最大，易知此時：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝， ∴0<C≤.] 14．解　(1)由cos B＝，得sin B＝＝. 由b2＝ac及正弦定理得sin2 B＝sin Asin C. 于是＋＝＋＝＝ ＝＝＝. (2)由·＝得ca·cos B＝， 由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2. 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos B， 得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.