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1、1.1.2 余弦定理(二)
課時目標 1.熟練掌握正弦定理、余弦定理.2.會用正、余弦定理解三角形的有關問題.
1.正弦定理及其變形
(1)===______.
(2)a=________,b=________,c=________.
(3)sin A=______,sin B=______,sin C=____________________________________.
(4)sin A∶sin B∶sin C=________.
2.余弦定理及其推論
(1)a2=________________.
(2)cos A=________________.
(3)在
2、△ABC中,c2=a2+b2?C為________;c2>a2+b2?C為________;c2
3、 B.90°
C.120° D.150°
2.在△ABC中,若2cos Bsin A=sin C,則△ABC的形狀一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等邊三角形
3.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,則這個三角形的最小外角為( )
A.30° B.60°
C.90°
4、 D.120°
4.△ABC的三邊分別為a,b,c且滿足b2=ac,2b=a+c,則此三角形是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
5.在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若C=120°,c=a,則( )
A.a>b
B.a
5、形
C.鈍角三角形 D.由增加的長度確定
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7.在△ABC中,邊a,b的長是方程x2-5x+2=0的兩個根,C=60°,則邊c=________.
8.設2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊,那么a的取值范圍是________.
9.已知△ABC的面積為2,BC=5,A=60°,則△ABC的周長是________.
10.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,則△ABC外接圓的面積是________.
三、解答題
11.在△ABC中,
6、求證:=.
12.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊的長,cos B=,且·=-21.
(1)求△ABC的面積;
(2)若a=7,求角C.
能力提升
13.已知△ABC中,AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是( )
A.0
7、)求+的值;
(2)設·=,求a+c的值.
1.解斜三角形的常見類型及解法
在三角形的6個元素中要已知三個(至少有一邊)才能求解,常見類型及其解法見下表:
已知條件
應用定理
一般解法
一邊和兩角
(如a,B,C)
正弦定理
由A+B+C=180°,求角A;由正弦定理求出b與c.在有解時只有一解.
兩邊和夾角
(如a,b,C)
余弦定理
正弦定理
由余弦定理求第三邊c;由正弦定理求出小邊所對的角;再由A+B+C=180°求出另一角.在有解時只有一解.
三邊
(a,b,c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B;再利用A+B+C=18
8、0°,求出角C.在有解時只有一解.
兩邊和其中一邊的對角如(a,b,A)
正弦定理
余弦定理
由正弦定理求出角B;由A+B+C=180°,求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無解.
2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀,主要有兩種途徑
(1)化邊為角;
(2)化角為邊,并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉換.
1.1.2 余弦定理(二)
知識梳理
1.(1)2R (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (3)
(4)a∶b∶c 2.(1)b2+c2-2bccos A (2)
(3)直角 鈍角 銳角 3.(1)π - (2)si
9、n C?。璫os C -tan C (3)cos sin
作業(yè)設計
1.C [∵(a+b-c)(a+b+c)=ab,
∴a2+b2-c2=-ab,
即=-,
∴cos C=-,∴∠C=120°.]
2.C [∵2cos Bsin A=sin C=sin(A+B),
∴sin Acos B-cos Asin B=0,
即sin(A-B)=0,∴A=B.]
3.B [∵a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,
不妨設a=3,b=5,c=7,C為最大內角,
則cos C==-.
∴C=120°.
∴最小外角為60°.]
4.D [∵2b=a+c,
10、∴4b2=(a+c)2,即(a-c)2=0.
∴a=c.∴2b=a+c=2a.∴b=a,即a=b=c.]
5.A [在△ABC中,由余弦定理得,
c2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab.
∵c=a,∴2a2=a2+b2+ab.
∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.]
6.A [設直角三角形三邊長為a,b,c,且a2+b2=c2,
則(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2
=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2
=2(a+b-c)x+x2>0,
∴c+x所對的最大角變?yōu)殇J角.]
7.
解析 由題意:a+b=5,ab=2.
11、
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,
∴c=.
8.20,∴a>,最大邊為2a+1.
∵三角形為鈍角三角形,∴a2+(2a-1)2<(2a+1)2,
化簡得:02a+1,
∴a>2,∴2
12、3AB·AC=49,
∴AB+AC=7,∴△ABC的周長為12.
10.
解析 S△ABC=bcsin A=c=,
∴c=4,由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A=12+42-2×1×4cos 60°=13,∴a=.
∴2R===,
∴R=.∴S外接圓=πR2=.
11.證明 右邊==·cos B-·cos A
=·-·=-==左邊.
所以=.
12.解 (1)∵·=-21,·=21.
·=||·||·cos B=accos B=21.
∴ac=35,∵cos B=,∴sin B=.
∴S△ABC=acsin B=×35×=14.
(2)ac=35,a=
13、7,∴c=5.
由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=32,
∴b=4.由正弦定理:=.
∴sin C=sin B=×=.
∵c