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2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四十二講 拋物線 新人教版

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2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四十二講 拋物線 新人教版

第四十二講 拋物線 班級(jí)________ 姓名________ 考號(hào)________ 日期________ 得分________ 一、選擇題:(本大題共6小題,每小題6分,共36分,將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).) 1.設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2=ax(a≠0)的焦點(diǎn)F,且和y軸交于點(diǎn)A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為(  ) A.y2=±4         B.y2=±8x C.y2=4x D.y2=8x 解析:y2=ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.過(guò)焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y=2,令x=0得:y=-. ∴×·=4, ∴a2=64, ∴a=±8,故選B. 答案:B 2.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(  ) A.2 B.3 C. D. 解析:如圖所示,動(dòng)點(diǎn)P到l2:x=-1的距離可轉(zhuǎn)化為P到F的距離,由圖可知,距離和的最小值即F到直線l1的距離d==2,故選A. 答案:A 3.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過(guò)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AK⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是(  ) A.4 B.3 C.4 D.8 解析:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為l:x=-1,經(jīng)過(guò)F且斜率為的直線y=(x-1)與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A(3,2),AK⊥l,垂足為K(-1,2),∴△AKF的面積是4.故選C. 答案:C 4.若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線是l,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、M(4,4)且與l相切的圓共有(  ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè) 解析:經(jīng)過(guò)F、M的圓的圓心在線段FM的垂直平分線上,設(shè)圓心為C,則|CF|=|CM|,又圓C與l相切,所以C到l距離等于|CF|,從而C在拋物線y2=4x上. 故圓心為FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),顯然有兩個(gè)交點(diǎn),所以共有兩個(gè)圓,故選C. 答案:C 5.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A、B、C為該拋物線上三點(diǎn),若=0,則等于(  ) A.9 B.6 C.4 D.3 解析:設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),F(xiàn)(1,0). ∵=0,∴x1+x2+x3=3. 又由拋物線定義知=x1+1+x2+1+x3+1=6,故選B. 答案:B 6.設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)M(,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C,|BF|=2,則△BCF與△ACF的面積之比等于(  ) A. B. C. D. 解析:由|BF|=2小于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離知點(diǎn)B在A、C之間,由拋物線的定義知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,代入得y2=3,則B,另一種可能是,那么此時(shí)直線AC的方程為=,即y=,把y=代入y2=2x,可得2x2-7x+6=0,可得x=2,則有y=2,即A(2,2),那么S△BCFS△ACF=|BC||AC|==45,故選A. 答案:A 二、填空題:(本大題共4小題,每小題6分,共24分,把正確答案填在題后的橫線上.) 7.已知拋物線型拱的頂點(diǎn)距離水面2米時(shí),測(cè)量水面寬為8米,當(dāng)水面上升米后,水面的寬度是________. 解析:設(shè)拋物線方程為x2=-2py,將(4,-2)代入方程得16=-2p·(-2),解得2p=8, 故方程為x2=-8y,水面上升米,則y=-,代入方程,得x2=-8×=12,x=±2.故水面寬4米. 答案:4米 8.點(diǎn)P到A(1,0)和直線x=-1的距離相等,且點(diǎn)P到直線l:y=x的距離等于,則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析:由拋物線定義,知點(diǎn)P的軌跡為拋物線,其方程為y2=4x,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,由點(diǎn)到直線的距離公式,知=,即y-4y0±4=0,易知y0有三個(gè)解,故點(diǎn)P個(gè)數(shù)有三個(gè). 答案:3 9.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F且斜率為1的直線交C于A、B兩點(diǎn).設(shè)|FA|>|FB|,則|FA|與|FB|的比值等于________. 解析:拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程:x=-1,如圖, 則直線AB的方程為y=x-1, 由得 x2-6x+1=0,① 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程①的兩根, ∴x1x2=1,x1=3+2. 根據(jù)拋物線定義,得|FA|=x1+1, |FB|=x2+1(x1>x2), ∴====x1=3+2. 答案:3+2 10.設(shè)x1、x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:x1]x*a))的軌跡方程是________. 解析:由y=,得y2=x*a=(x+a)2-(x-a)2=4ax(y≥0). 答案:y2=4ax(y≥0) 三、解答題:(本大題共3小題,11、12題13分,13題14分,寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟.) 11.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn),且OA⊥OB. (1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積; (2)求證:直線AB過(guò)定點(diǎn); (3)求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程; (4)求△AOB面積的最小值. 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)P(x0,y0). (1)kOA=,kOB=. ∵OA⊥OB,∴kOA·kOB=-1,∴x1x2+y1y2=0. ∵y=2px1,y=2px2,∴·+y1y2=0. ∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=-4p2,∴x1x2=4p2. (2)∵y=2px1,y=2px2, ∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2). ∴=,∴kAB=. ∴直線AB:y-y1=(x-x1). ∴y=+y1-. ∴y=+. ∵y=2px1,y1y2=-4p2,∴y=+. ∴y=(x-2p). ∴AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0). (3)如圖,設(shè)OA:y=kx,代入y2=2px得:x=0或x=, ∴A. 同理,以-代k得B(2pk2,-2pk). 設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)P(x0,y0), ∴. ∵k2+=2+2,∴=2+2, 即y=px0-2p2. ∴中點(diǎn)P的軌跡方程為y2=px-2p2. (4)設(shè)M(2p,0),S△AOB=S△AOM+S△BOM=|OM|(|y1|+|y2|)=p(|y1|+|y2|)≥2p=4p2,當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時(shí),等號(hào)成立. 評(píng)析:解決直線與拋物線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意以下幾點(diǎn):①設(shè)拋物線上的點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2);②因?yàn)?x1,y1),(x2,y2)都在拋物線上,故滿足y=2px1,y=2px2;③利用yy=4p2x1x2可以整體得到y(tǒng)1y2或x1x2. 12.是否存在同時(shí)滿足下列條件的拋物線:①準(zhǔn)線是y軸;②頂點(diǎn)在x軸上;③點(diǎn)A(3,0)到該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P的距離的最小值為2?如果存在,求出拋物線方程;如果不存在,說(shuō)明理由. 解:設(shè)滿足條件的拋物線存在,頂點(diǎn)B在x軸上. 設(shè)B(a,0),以y軸為準(zhǔn)線的拋物線方程為 y2=4a(x-a),由條件知a>0. 設(shè)P是拋物線上的點(diǎn),其坐標(biāo)為. 則|AP|2=2+m2 =[m2-12(a-a2)]2+12a-8a2, ∴當(dāng)a-a2≥0,即0<a≤1, 且m2=12(a-a2)時(shí),|AP|min=. ∴=2,解得a=1或a=. 此時(shí)拋物線方程為y2=4(x-1)或y2=2. 當(dāng)a-a2<0,即a>1,且m=0時(shí), |AP|min=|a-3|=2. ∴a=5,此時(shí)拋物線方程為y2=20(x-5), ∴存在滿足條件的拋物線,其方程為 y2=4(x-1)或y2=2或y2=20(x-5). 13.(精選考題·福建)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1,-2). (1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程; (2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由. 解:(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2. 故所求拋物線C的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t, 由得y2+2y-2t=0. 因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-. 由直線OA與l的距離d=可得=,解得t=±1. 因?yàn)椋??,1∈, 所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.

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