【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學(xué) 第三章章末綜合檢測 蘇教版必修5

(時間：120分鐘；滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共計70分．把答案填在題中橫線上) 1．下列結(jié)論中正確的是________． (1)當(dāng)x≥2時，x＋的最小值為2； (2)當(dāng)0<x≤2時，2x－2－x無最大值； (3)當(dāng)x≠0時，x＋≥2； (4)當(dāng)x>1時，lgx＋≥2. 解析：對(1)，x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，故(1)錯； 對(2)，函數(shù)f(x)＝2x－在(0,2]上是增函數(shù)，故最大值為4－＝，故(2)錯； 對(3)，當(dāng)x<0時，x＋≤－2，故(3)錯； 對(4)，∵x>1，∴l(xiāng)gx>0，lgx＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10時取等號，故(4)正確． 答案：(4) 2．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差數(shù)列，x、c、d、y成等比數(shù)列，則的最小值是________． 解析：由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)得＝＝＋＋2≥2 ＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取“＝”． 答案：4 3．若關(guān)于x的不等式－x2＋2x>mx的解集是{x|0<x<2}，則實數(shù)m的值是________． 解析：將原不等式化為：x2＋(m－2)x<0，即x(x＋2m－4)<0，顯然，上式是關(guān)于x的一元二次不等式，故0,2是對應(yīng)方程的兩個根，代入得m＝1. 答案：1 4．當(dāng)a>0且a≠1時，函數(shù)f(x)＝loga(x－1)＋1的圖象恒過點A，若點A在直線mx－y＋n＝0上，則4m＋2n的最小值為________． 解析：由題意知y＝f(x)恒過點(2,1)，故2m＋n＝1. 所以4m＋2n≥2＝2＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)4m＝2n即m＝，n＝時取“＝”． 答案：2 5．已知函數(shù)f(x)＝，則不等式f(x)>0的解集為________． 解析：由題意知： ??0<x<1； 又??－1<x≤0. 故不等式的解集為{x|－1<x<1}． 答案：{x|－1<x<1} 6．設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值是________． 解析：由x－2y＋3z＝0得y＝，代入得≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時取“＝”． 答案：3 7．(2020年高考山東卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－4y的最大值和最小值分別為________． 解析：作出可行域如圖陰影部分所示，由圖可知z＝3x－4y經(jīng)過點A時z有最小值，經(jīng)過點B時z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最?。?×3－4×5＝－11. 答案：3，－11 8．在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：由定義有(x－a)?(x＋a)＜1?(x－a)(1－x－a)＜1?x2－x－a2＋a＋1＞0，在R上恒成立． 所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3＜0， 解得－＜a＜. 答案：－＜a＜ 9．已知實數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實數(shù)m等于________． 解析：x，y滿足的區(qū)域為圖中陰影部分，由題意知，當(dāng)(x，y)在點A處時，z＝x－y取得最小值． 由得A(，)． ∴－＝－1， ∴m＝5. 答案：5 10．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式中值最大的是________． (1)a1b1＋a2b2；(2)a1a2＋b1b2；(3)a1b2＋a2b1；(4). 解析：∵0<a1<a2，a1＋a2＝1， ∴0<a1<，<a2<1， 同理有0<b1<，<b2<1. ∴a1b1＋a2b2－(a1a2＋b1b2) ＝(b1－a2)·(a1－b2)>0， ∴a1b1＋a2b2＞a1a2＋b1b2. ∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1) ＝(b1－b2)·(a1－a2)>0， ∴a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1. ∵a1b1＋a2b2－ ＝a1b1＋a2b2－ ＝[a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)] ＝(b1－b2)·(a1－a2)>0， ∴a1b1＋a2b2＞. ∴a1b1＋a2b2的值最大． 答案：(1) 11．已知α、β是方程x2＋ax＋2b＝0的兩根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，則的最大值是________． 解析：α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的兩根． 由α∈[0,1]，β∈[1,2]，設(shè)f(x)＝x2＋ax＋2b， 則即 畫出可行域(圖中陰影部分)，表示陰影區(qū)域△ABC內(nèi)的點到點P(1,3)的斜率．其中C(－3,1)，B(－1，0)，求得的最大值是. 答案： 12.如圖，目標(biāo)函數(shù)u＝ax－y的可行域為四邊形OACB(含邊界)．若點C(，)是該目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，則a的取值范圍是________． 解析：由u＝ax－y得y＝ax－u，于是要使點C(，)是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，需有kAC≤a≤kBC，而kAC＝－，kBC＝－. 答案： 13．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集為?，∴Δ＝4－4(－a2＋2a＋4)<0，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3. 答案：{a|－1<a<3} 14．已知點A(5，5)，過點A的直線l：x＝my＋n(n＞0)，若可行域的外接圓的直徑為20，則實數(shù)n的值是________． 解析：由題意可知，可行域是由三條直線x＝my＋n(n＞0 )、x－y＝0和y＝0所圍成的封閉三角形(包括邊界)，如圖中陰影部分． 又知直線x－y＝0過點A(5，5)， 由|OA|＝10，外接圓直徑2R＝20. 設(shè)直線l的傾斜角為α， 則由正弦定理，得＝20， 所以sinα＝，tan α＝±(正值不合題意，舍去)． 由tanα＝，得＝－，即m＝－. 將點A(5，5)代入直線x＝－y＋n， 得5＝－×5＋n，解得n＝10. 答案：10 二、解答題(本大題共6小題，共計90分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)已知a＞0，b＞0，且a≠b，比較＋與a＋b的大?。? 解：∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a ＝＋＝(a2－b2)(－) ＝(a2－b2)＝， 又∵a＞0，b＞0，a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0，ab＞0， ∴(＋)－(a＋b)＞0，∴＋＞a＋b. 16．(本小題滿分14分)(2020年高考江蘇卷)按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為m元，則他的滿意度為；如果他買進該產(chǎn)品的單價為n元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為h1和h2，則他對這兩種交易的綜合滿意度為. 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為mA元和mB元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h乙． (1)求h甲和h乙關(guān)于mA、mB的表達式；當(dāng)mA＝mB時，求證：h甲＝h乙； (2)設(shè)mA＝mB，當(dāng)mA、mB分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為h0，試問能否適當(dāng)選取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時成立，但等號不同時成立？試說明理由． 解：設(shè)mA＝x，mB＝y(tǒng). (1)甲買進產(chǎn)品A的滿意度： h1甲＝； 甲賣出產(chǎn)品B的滿意度：h2甲＝； 甲買進產(chǎn)品A和賣出產(chǎn)品B的綜合滿意度：h甲＝； 同理，乙賣出產(chǎn)品A和買進產(chǎn)品B的綜合滿意度：h乙＝. 當(dāng)x＝y(tǒng)時， h甲＝＝ ＝， h乙＝＝ ＝. 故h甲＝h乙． (2)當(dāng)x＝y(tǒng)時， 由(1)知h甲＝h乙＝， 因為＝≤， 且等號成立時當(dāng)且僅當(dāng)y＝10. 當(dāng)y＝10時，x＝6. 因此，當(dāng)mA＝6，mB＝10時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，且最大的綜合滿意度為. (3)由(2)知h0＝. 因為h甲h乙＝ ＝≤， 所以當(dāng)h甲≥，h乙≥時，有h甲＝h乙＝. 因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時成立，但等號不同時成立． 17．(本小題滿分14分)已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，求z＝(x＋)·(y＋)的最小值． 解：z＝(x＋)·(y＋)＝xy＋＋＋ ＝ ＝ ＝＝xy＋－2， 令t＝xy，∵x＋y＝1， ∴0＜≤，即0＜t≤. ∴z＝t＋－2在t∈(0，]上是單調(diào)減函數(shù)． ∴當(dāng)t＝時，zmin＝. 18．(本小題滿分16分)某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元．學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費用最少？ 解：設(shè)每盒盒飯需要面食x(百克)，米食y(百克)，所需費用為z＝0.5x＋0.4y，且x，y滿足 作出可行域如圖所示 . 由圖可知，平行直線系y＝－x＋z過點A時，縱截距z最小，即z最?。? 由解得點A. 所以每盒盒飯為面食百克，米食百克時，既科學(xué)又費用最少． 19．(本小題滿分16分)已知x、y滿足設(shè)z＝ax＋y(a>0)，若當(dāng)z取最大值時對應(yīng)的點有無數(shù)多個，求a的值． 解：畫出可行域，如圖所示，即直線z＝ax＋y(a>0)平行于直線AC，則直線經(jīng)過線段AC上任意一點時，z均取得最大值，此時將滿足條件，有無數(shù)多個點使函數(shù)取得最大值． 分析知當(dāng)直線y＝－ax＋z剛好移動到直線AC時，將會有無數(shù)多個點使函數(shù)取得最大值． 又由于kAC＝＝－， 即－a＝－，∴a＝. 20．(本小題滿分16分)某工廠統(tǒng)計資料顯示，一種產(chǎn)品次 品率p與日產(chǎn)量x(x∈N*,80≤x≤100)件之間的關(guān)系如下表所示： 日產(chǎn)量x 80 81 82 … x … 98 99 100 次品率p … P(x) … 其中p(x)＝(a為常數(shù))．已知生產(chǎn)一件正品盈利k元，生產(chǎn)一件次品損失元(k為給定常數(shù))． (1)求出a，并將該廠的日盈利額y(元)表示為日生產(chǎn)量x(件)的函數(shù)； (2)為獲取最大盈利，該廠的日生產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？ 解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得a＝108， ∴p(x)＝(80≤x≤100，x∈N*)． 由題意，當(dāng)日產(chǎn)量為x時，次品數(shù)為·x， 正品數(shù)為(1－)·x， ∴y＝(1－)x·k－x·k. 整理，得y＝kx(3－)(80≤x≤100，x∈N*)． (2)令108－x＝t，t∈[8,28]，t∈N*. y＝k(108－t)(3－)＝k[328－3(t＋)]≤k·(328－3×2× )＝k. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝12時取到“＝”． 此時x＝96. 即該廠的日生產(chǎn)量定為96件時，獲取的盈利最大．