【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學(xué) 第二章章末綜合檢測(cè) 蘇教版必修5

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．把答案填在題中橫線上) 1．在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，則a5＋a8＝________. 解析：法一：根據(jù)題意，有 (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36， ∴4a1＋22d＝36，則2a1＋11d＝18. 而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d， 因此，a5＋a8＝18. 法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得 a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18. 答案：18 2．若{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________. 解析：∵a15＝8，a60＝20， ∴d＝＝＝＝， ∴a75＝a60＋(75－60)d， ＝20＋15×＝24. 答案：24 3．在等差數(shù)列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8的值等于________． 答案：180 4．(2020年高考遼寧卷)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________. 解析：∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4＝1， ∴設(shè){an}的公比為q，則q＞0，且a＝1，即a3＝1. ∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0. 故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4. ∴S5＝＝8＝. 答案： 5．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為________． 解析：把n＝1,2,3,4分別代入an＝，依次得到0,1,0,1. 答案：0,1,0,1 6．設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a2020和a2020是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a2020＋a2020＝__________. 解析：∵q>1，∴a2020＝，a2020＝， ∴a2020＝，a2020＝， ∴a2020＋a2020＝18. 答案：18 7．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于__________． 解析：法一：∵S6∶S3＝1∶2， ∴{an}的公比q≠1. 由÷＝， 得q3＝－，∴＝＝. 法二：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)， 將S6＝S3代入得＝. 答案： 8．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝，則an＝________. 答案： 9．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是__________． 解析：∵a1·a9＝a， ∴a1(a1＋8d)＝(a1＋2d)2. ∴a1＝d. ∴＝＝＝. 答案： 10．在數(shù)列{an}中，a1＝3且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)(， )在直線x－y－＝0上，則an＝________. 解析：∵當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，點(diǎn)(， )在直線x－y－＝0上， ∴－＝，即數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為＝＋(n－1)＝n， ∴an＝3n2. 又∵a1＝3符合an＝3n2，∴an＝3n2. 答案：3n2 11．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，則a101的值是________． 解析：∵2an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＝an＋， 即an＋1－an＝(常數(shù))． ∴數(shù)列{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，d＝為公差的等差數(shù)列． ∴a101＝a1＋(101－1)×d＝2＋(101－1)×＝52. 答案：52 12．?dāng)?shù)列1，3，5，…，(2n－1)＋，…的前n項(xiàng)和是________． 解析：Sn＝(1＋)＋(3＋)＋…＋[(2n－1)＋] ＝(1＋3＋…＋2n－1)＋(＋＋…＋) ＝＋＝n2＋1－. 答案：n2＋1－ 13．若lgx，lg(3x－2)，lg(3x＋2)成等差數(shù)列，則logx2＝________. 解析：∵lgx，lg(3x－2)，lg(3x＋2)成等差數(shù)列． ∴2lg(3x－2)＝lgx＋lg(3x＋2)． ∴(3x－2)2＝x(3x＋2)，解得x＝(舍)或x＝2. ∴l(xiāng)og22＝log22＝. 答案： 14．(2020年高考廣東卷)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝________. 解析：設(shè)公比為q(q≠0)，則由a2·a3＝2a1知a1q3＝2， ∴a4＝2. 又a4＋2a7＝，∴a7＝.∴a1＝16，q＝. ∴S5＝＝＝31. 答案：31 二、解答題(本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)l≠m時(shí)，Sm＝Sl，問n為何值時(shí)，Sn最大． 解：法一：∵Sm＝Sl， ∴[2a1＋(m－1)d]＝[2a1＋(l－1)d]， ∴d＝－， ∴Sn＝a1n＋＝n2＋(a1－)n ＝[n＋(a1－)]2－(a1－)2 ＝－(n－)2＋. ∵a1＞0，∴－＜0，又∵l，m∈N*， ∴若l＋m為偶數(shù)，則當(dāng)n＝時(shí)，Sn最大， 若l＋m為奇數(shù)，則當(dāng)n＝時(shí)，Sn最大． 法二：依題意f(n)＝Sn＝na1＋d， ∴f(n)＝dn2＋(a1－)n， 此函數(shù)是以n為自變量的二次函數(shù)． ∵a1＞0，Sl＝Sm(l≠m)，∴d＜0. 此二次函數(shù)的圖象開口向下． ∵f(l)＝f(m)， ∴x＝時(shí)，f(x)最大，但f(n)中，n∈N*. ∴若l＋m為偶數(shù)，則當(dāng)n＝時(shí)，Sn最大． 若l＋m為奇數(shù)，則當(dāng)n＝時(shí)，Sn最大． 16．(本小題滿分14分)已知{an}中，a1＝1，＝，求an. 解：∵＝，∴an＋1＝·an， 則an＝an－1＝··an－2 ＝···an－3＝… ＝···…··a1 ＝··×××. ＝. 17．(本小題滿分14分)(2020年高考福建卷)數(shù)列{an}中，a1＝，前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋1－Sn＝n＋1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an以及前n項(xiàng)和Sn； (2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值． 解：(1)由Sn＋1－Sn＝n＋1得an＋1＝n＋1(n∈N*)． 又a1＝，故an＝n(n∈N*)． 從而Sn＝＝(n∈N*)． (2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝. 從而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差數(shù)列得 ＋3×＝2×t，解得t＝2. 18．(本小題滿分16分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝12n－n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn. 解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12－12＝11； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n. ∵n＝1時(shí)也適合上式， ∴{an}的通項(xiàng)公式是an＝13－2n. 由an＝13－2n≥0，得n≤，∵n∈N*， ∴當(dāng)1≤n≤6時(shí)，an＞0；當(dāng)n≥7時(shí)，an＜0. 當(dāng)1≤n≤6時(shí)， Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝12n－n2； 當(dāng)n≥7時(shí)， Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a6)＋(|a7|＋|a8|＋…＋|an|) ＝－(a7＋a8＋…＋an)＋(a1＋a2＋…＋a6) ＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72. ∴Tn＝. 19．(本小題滿分16分)若公比為c的等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1且滿足an＝(n＝3,4，…)． (1)求c的值； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)當(dāng)n≥3時(shí)，an＝c2an－2，an－1＝can－2， an＝＝an－2. 由題設(shè)條件可得an－2≠0，因此 2c2－c－1＝0.解得c＝1或c＝－. (2)由(1)知，需要分兩種情況討論． 當(dāng)c＝1時(shí)，可知an＝1(n∈N*)． 這時(shí)，數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 當(dāng)c＝－時(shí)，數(shù)列{an}是公比為－的等比數(shù)列，即an＝(－)n－1(n∈N*)． 這時(shí)，數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和 Sn＝1＋2(－)＋3(－)2＋…＋n(－)n－1.① －Sn＝－＋2(－)2＋…＋(n－1)·(－)n－1＋n(－)n.② ①－②，得 (1＋)Sn＝1＋(－)＋(－)2＋…＋(－)n－1－n(－)n＝－n(－)n. 所以Sn＝[4－(－1)n](n∈N*)． 20．(本小題滿分16分)(1)某企業(yè)年初有資金1000萬(wàn)元，如果該企業(yè)經(jīng)過生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)，每年資金增長(zhǎng)率為50%，但每年年底都要扣除消費(fèi)資金x萬(wàn)元，余下資金投入再生產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過五年資金達(dá)到2000萬(wàn)元(扣除消費(fèi)資金后)，那么每年扣除的消費(fèi)資金應(yīng)是多少萬(wàn)元(精確到萬(wàn)元)? (2)某人有人民幣若干，擬作股票投資或長(zhǎng)期儲(chǔ)蓄，若存入銀行年利率為6%，若購(gòu)某種股票年紅利為24%，不考慮物價(jià)變化因素，且銀行年利率及該種股票年紅利不變，股份公司不再發(fā)行新股票，但每年的利息和紅利可存入銀行． ①求該人購(gòu)股票或儲(chǔ)蓄x年后所擁有的人民幣總額y與x的函數(shù)關(guān)系式； ②問經(jīng)過幾年，該人購(gòu)買股票與儲(chǔ)蓄所擁有的人民幣相等？ (lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.06≈0.0253)． 解：(1)設(shè)an表示第n年年底扣除消費(fèi)資金后的資金． a1＝1000(1＋)－x， a2＝[1000(1＋)－x](1＋)－x ＝1000(1＋)2－x(1＋)－x， a3＝[1000(1＋)2－x(1＋)－x](1＋)－x ＝1000(1＋)3－x(1＋)2－x(1＋)－x， …… a5＝1000(1＋)5－x(1＋)4－x(1＋)3－x(1＋)2－x(1＋)－x. 則1000()5－x[()4＋()3＋…＋1]＝2000， 即1000()5－x＝2000. 解得x≈424. 即每年扣除的消費(fèi)資金約是424萬(wàn)元． (2)①設(shè)某人有人民幣a元． 若長(zhǎng)期儲(chǔ)蓄，則x年后人民幣總額為y＝a(1＋0.06)x， 即y＝1.06x·a. 若購(gòu)買股票，則x年后利息和紅利總額為 y＝[0.24＋0.24(1＋0.06)＋0.24(1＋0.06)2＋…＋ 0．24(1＋0.06)x－1]a ＝a， 即y＝4(1.06x－1)a. ②由1.06x·a＝4(1.06x－1)a，得1.06x＝，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得 x＝≈≈4.9368， 即大約經(jīng)過5年，該人購(gòu)買股票與儲(chǔ)蓄所擁有的人民幣相等．