【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第九篇 解析幾何 第4講　直線、圓的位置關(guān)系教案 理 新人教版

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1、第4講　直線、圓的位置關(guān)系 【2020年高考會這樣考】 1．考查直線與圓相交、相切的問題．能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系． 2．考查與圓有關(guān)的量的計算，如半徑、面積、弦長的計算． 【復習指導】 1．會用代數(shù)法或幾何法判定點、直線與圓的位置關(guān)系． 2．掌握圓的幾何性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題，體會用代數(shù)法處理幾何問題的思想． 基礎(chǔ)梳理 1．直線與圓的位置關(guān)系 位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交． 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法： (1)代數(shù)法： (2)幾何法：利

2、用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d＜r?相交，d＝r?相切，d＞r?相離． 2．圓與圓的位置關(guān)系的判定 設(shè)⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， ⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)，則有： |C1C2|＞r1＋r2?⊙C1與⊙C2相離； |C1C2|＝r1＋r2?⊙C1與⊙C2外切； |r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2?⊙C1與⊙C2相交； |C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)?⊙C1與⊙C2內(nèi)切； |C1C2|＜|r1－r2|?⊙C1與⊙C2內(nèi)含． 一條規(guī)律 過圓外一點M可以作兩條直線與圓相切，其直線方程

3、可用待定系數(shù)法，再利用圓心到切線的距離等于半徑列出關(guān)系式求出切線的斜率即可． 一個指導 直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的，“代數(shù)法”側(cè)重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標”與“方程”；而“幾何法”則側(cè)重于“形”，利用了圖形的性質(zhì)．解題時應(yīng)根據(jù)具體條件選取合適的方法． 兩種方法 計算直線被圓截得的弦長的常用方法 (1)幾何方法 運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算． (2)代數(shù)方法 運用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式 |AB|＝|xA－xB| ＝. 說明：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方

4、法． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)已知圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是(　　)． A．相切 B．相交但直線不過圓心 C．相交過圓心 D．相離 解析　由題意知圓心(1，－2)到直線2x＋y－5＝0的距離d＝＝＜.且2×1＋(－2)－5≠0，因此該直線與圓相交但不過圓心． 答案　B 2．圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，)處的切線方程為(　　)． A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 解析　圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心坐標為(2,0)，半徑為2，點P在圓上，設(shè)切線方程

5、為y－＝k(x－1)， 即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝. ∴切線方程為y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0. 答案　D 3．(2020·安徽)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為 (　　)． A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析　由已知得圓的圓心為(－1,2)，則3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案　B 4．(2020·東北三校聯(lián)考)圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(　　)． A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切 解析　圓O1的圓心為(1,0)，半徑r1

6、＝1，圓O2的圓心為(0,2)，半徑r2＝2，故兩圓的圓心距|O1O2|＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故兩圓相交． 答案　B 5．(2020·沈陽月考)直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交于A、B兩點，則|AB|＝________. 解析　 如圖，取AB中點C， 連接OC、OA. 則OC⊥AB，|OA|＝2， |OC|＝＝， ∴|AC|＝＝， ∴|AB|＝2|AC|＝2. 答案　2 考向一　直線與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 【例1】?(2020·東莞模擬)若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1

7、有公共點，則直線l斜率的取值范圍為(　　)． A．[－，] B．(－，) C. D. [審題視點] 設(shè)出直線l的點斜式方程，構(gòu)造圓心到直線距離與半徑的關(guān)系的不等式，從而求解． 解析　設(shè)直線l的方程為：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0 則：≤1.解得：k2≤，即－≤k≤. 答案　C 已知直線與圓的位置關(guān)系時，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍． 【訓練1】 (2020·江西)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)． A. B.∪

8、 C. D.∪ 解析　整理曲線C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲線C1為以點C1(1,0)為圓心，以1為半徑的圓；曲線C2則表示兩條直線，即x軸與直線l：y＝m(x＋1)，顯然x軸與圓C1有兩個交點，知直線l與x軸相交，故有圓心C1到直線l的距離d＝＜r＝1，解得m∈，又當m＝0時，直線l與x軸重合，此時只有兩個交點，應(yīng)舍去．故選B 答案　B 考向二　圓與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 【例2】?若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長為2，則a＝________. [審題視點] 兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程，再利用半徑、弦長的一半及弦心距構(gòu)

9、成的直角三角形解得． 解析　兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝，又a＞0，結(jié)合圖象，再利用半徑、弦長的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知＝＝1?a＝1. 答案　1 當兩圓相交時求其公共弦所在的直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個圓和這條直線就可以求出公共弦長． 【訓練2】 (2020·濟南模擬)兩個圓：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有(　　)． A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析　由

10、題知C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，則圓心C1(－1，－1)，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心C2(2,1)，兩圓半徑均為2，又|C1C2|＝＝＜4，則兩圓相交?只有兩條外公切線，故選B. 答案　B 考向三　直線與圓的綜合問題 【例3】?(2020·福州調(diào)研)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點． (1)若|AB|＝，求|MQ|、Q點的坐標以及直線MQ的方程； (2)求證：直線AB恒過定點． [審題視點] 第(1)問利用平面幾何的知識解決；第(2)問設(shè)點Q的坐標，從而確定點A、B的坐標與AB的直線方程． (1)解　設(shè)

11、直線MQ交AB于點P，則|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝ ＝， 又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3. 設(shè)Q(x,0)，而點M(0,2)，由＝3，得x＝±， 則Q點的坐標為(，0)或(－，0)． 從而直線MQ的方程為2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0. (2)證明　設(shè)點Q(q,0)，由幾何性質(zhì)，可知A、B兩點在以QM為直徑的圓上，此圓的方程為x(x－q)＋y(y－2)＝0，而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，即為qx－2y＋3＝0，所以直線AB恒過定點. 在解決直線與圓的位置關(guān)系時要充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的

12、半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)計算，這樣既簡單又不容易出錯． 【訓練3】 已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程； (2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程． 解　 (1)如圖所示，|AB|＝4，設(shè)D是線段AB的中點，則CD⊥AB， ∴|AD|＝2，|AC|＝4.C點坐標為(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由點C到直線AB的距離公式：＝2，得k＝.又

13、直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0. 當k＝時，直線l的方程為3x－4y＋20＝0. ∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)，則CD⊥PD， 即·＝0，∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0， 化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.　　 難點突破20——高考中與圓交匯問題的求解 從近兩年新課標高考試題可以看出高考對圓的要求大大提高了，因此也就成了高考命題的一個新熱點．由于圓的特有性質(zhì)，使其具有很強的交匯性，在高考中圓可以直接或間接地綜合出現(xiàn)在許多問題之中，復習備考時值得重視． 一、圓與

14、集合的交匯 【示例】? (2020·江蘇)A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠?，則實數(shù)m的取值范圍是________． 二、圓與概率的交匯 【示例】? (2020·湖南)已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25. (1)圓C的圓心到直線l的距離為________； (2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________． 三、圓與圓錐曲線交匯 【示例】? (2020·陜西)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　)． A. B．1 C．2 D．4