【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何 第4講　直線、圓的位置關(guān)系教案 理 新人教版

第4講　直線、圓的位置關(guān)系 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．考查直線與圓相交、相切的問題．能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系． 2．考查與圓有關(guān)的量的計(jì)算，如半徑、面積、弦長(zhǎng)的計(jì)算． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．會(huì)用代數(shù)法或幾何法判定點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系． 2．掌握?qǐng)A的幾何性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長(zhǎng)等直線與圓的綜合問題，體會(huì)用代數(shù)法處理幾何問題的思想． 基礎(chǔ)梳理 1．直線與圓的位置關(guān)系 位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交． 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法： (1)代數(shù)法： (2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d＜r?相交，d＝r?相切，d＞r?相離． 2．圓與圓的位置關(guān)系的判定 設(shè)⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， ⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)，則有： |C1C2|＞r1＋r2?⊙C1與⊙C2相離； |C1C2|＝r1＋r2?⊙C1與⊙C2外切； |r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2?⊙C1與⊙C2相交； |C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)?⊙C1與⊙C2內(nèi)切； |C1C2|＜|r1－r2|?⊙C1與⊙C2內(nèi)含． 一條規(guī)律 過圓外一點(diǎn)M可以作兩條直線與圓相切，其直線方程可用待定系數(shù)法，再利用圓心到切線的距離等于半徑列出關(guān)系式求出切線的斜率即可． 一個(gè)指導(dǎo) 直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的，“代數(shù)法”側(cè)重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標(biāo)”與“方程”；而“幾何法”則側(cè)重于“形”，利用了圖形的性質(zhì)．解題時(shí)應(yīng)根據(jù)具體條件選取合適的方法． 兩種方法 計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法 (1)幾何方法 運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算． (2)代數(shù)方法 運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系及弦長(zhǎng)公式 |AB|＝|xA－xB| ＝. 說明：圓的弦長(zhǎng)、弦心距的計(jì)算常用幾何方法． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是(　　)． A．相切 B．相交但直線不過圓心 C．相交過圓心 D．相離 解析　由題意知圓心(1，－2)到直線2x＋y－5＝0的距離d＝＝＜.且2×1＋(－2)－5≠0，因此該直線與圓相交但不過圓心． 答案　B 2．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為(　　)． A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 解析　圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，點(diǎn)P在圓上，設(shè)切線方程為y－＝k(x－1)， 即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝. ∴切線方程為y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0. 答案　D 3．(2020·安徽)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為 (　　)． A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析　由已知得圓的圓心為(－1,2)，則3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案　B 4．(2020·東北三校聯(lián)考)圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(　　)． A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切 解析　圓O1的圓心為(1,0)，半徑r1＝1，圓O2的圓心為(0,2)，半徑r2＝2，故兩圓的圓心距|O1O2|＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故兩圓相交． 答案　B 5．(2020·沈陽月考)直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 解析　 如圖，取AB中點(diǎn)C， 連接OC、OA. 則OC⊥AB，|OA|＝2， |OC|＝＝， ∴|AC|＝＝， ∴|AB|＝2|AC|＝2. 答案　2 考向一　直線與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 【例1】?(2020·東莞模擬)若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為(　　)． A．[－，] B．(－，) C. D. [審題視點(diǎn)] 設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，構(gòu)造圓心到直線距離與半徑的關(guān)系的不等式，從而求解． 解析　設(shè)直線l的方程為：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0 則：≤1.解得：k2≤，即－≤k≤. 答案　C 已知直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍． 【訓(xùn)練1】 (2020·江西)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)． A. B.∪ C. D.∪ 解析　整理曲線C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲線C1為以點(diǎn)C1(1,0)為圓心，以1為半徑的圓；曲線C2則表示兩條直線，即x軸與直線l：y＝m(x＋1)，顯然x軸與圓C1有兩個(gè)交點(diǎn)，知直線l與x軸相交，故有圓心C1到直線l的距離d＝＜r＝1，解得m∈，又當(dāng)m＝0時(shí)，直線l與x軸重合，此時(shí)只有兩個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)舍去．故選B 答案　B 考向二　圓與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 【例2】?若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長(zhǎng)為2，則a＝________. [審題視點(diǎn)] 兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程，再利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距構(gòu)成的直角三角形解得． 解析　兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝，又a＞0，結(jié)合圖象，再利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知＝＝1?a＝1. 答案　1 當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在的直線方程或是公共弦長(zhǎng)，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長(zhǎng)． 【訓(xùn)練2】 (2020·濟(jì)南模擬)兩個(gè)圓：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有(　　)． A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析　由題知C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，則圓心C1(－1，－1)，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心C2(2,1)，兩圓半徑均為2，又|C1C2|＝＝＜4，則兩圓相交?只有兩條外公切線，故選B. 答案　B 考向三　直線與圓的綜合問題 【例3】?(2020·福州調(diào)研)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)． (1)若|AB|＝，求|MQ|、Q點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線MQ的方程； (2)求證：直線AB恒過定點(diǎn)． [審題視點(diǎn)] 第(1)問利用平面幾何的知識(shí)解決；第(2)問設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)與AB的直線方程． (1)解　設(shè)直線MQ交AB于點(diǎn)P，則|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝ ＝， 又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3. 設(shè)Q(x,0)，而點(diǎn)M(0,2)，由＝3，得x＝±， 則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)或(－，0)． 從而直線MQ的方程為2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0. (2)證明　設(shè)點(diǎn)Q(q,0)，由幾何性質(zhì)，可知A、B兩點(diǎn)在以QM為直徑的圓上，此圓的方程為x(x－q)＋y(y－2)＝0，而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，即為qx－2y＋3＝0，所以直線AB恒過定點(diǎn). 在解決直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長(zhǎng)度計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長(zhǎng)度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)計(jì)算，這樣既簡(jiǎn)單又不容易出錯(cuò)． 【訓(xùn)練3】 已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程； (2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程． 解　 (1)如圖所示，|AB|＝4，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB， ∴|AD|＝2，|AC|＝4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：＝2，得k＝.又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0. 當(dāng)k＝時(shí)，直線l的方程為3x－4y＋20＝0. ∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，則CD⊥PD， 即·＝0，∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0， 化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.　　 難點(diǎn)突破20——高考中與圓交匯問題的求解 從近兩年新課標(biāo)高考試題可以看出高考對(duì)圓的要求大大提高了，因此也就成了高考命題的一個(gè)新熱點(diǎn)．由于圓的特有性質(zhì)，使其具有很強(qiáng)的交匯性，在高考中圓可以直接或間接地綜合出現(xiàn)在許多問題之中，復(fù)習(xí)備考時(shí)值得重視． 一、圓與集合的交匯 【示例】? (2020·江蘇)A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 二、圓與概率的交匯 【示例】? (2020·湖南)已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25. (1)圓C的圓心到直線l的距離為________； (2)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為________． 三、圓與圓錐曲線交匯 【示例】? (2020·陜西)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　)． A. B．1 C．2 D．4