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1、坐標系與坐標變換 綜合練習2
一、選擇題（每小題4分，共48分）
1．與(ρ, θ)表示同一點的坐標是（ ）。
（A）(ρ, π＋θ) （B）(－ρ, －θ)
（C）(－ρ, θ) （D）(－ρ, π＋θ)
2．點P的直角坐標是(－3, －4)，它的極坐標是（ ）。
（A）(5, arctg) （B）(5, arctg)
（C）(－5, arctg) （D）(－5,－arctg)
3．平面直角坐標系內(nèi)有兩個定點A、B和動點P，若直線AP、BP的斜率之積
為定值m（），
2、則P的軌跡不可能為（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
4．在直角坐標系中，設(shè)，沿y軸把直角坐標平面折成120°的二面角后，AB長為（ ）
A． B． C． D．
5．設(shè)點P(ρ1,θ1)和Q(ρ2,θ2)，其中ρ1＋ρ2=0, θ1＋θ2=0 ，則P、Q兩點的位置關(guān)系
是（ ）。
（A）關(guān)于極軸對稱 （B）重合
（C）關(guān)于直線θ=對稱 （D）關(guān)于極點對稱
6．在空間直角坐標系中，有一個平面多邊形，它在平面的正射影的面
3、積為8，在平面和平面的正射影面積都為6，則這個多邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．與圓x2+y2-4y=0外切, 又與x軸相切的圓的圓心軌跡方程是 ( ).
A. y2=8x B. y2=8x (x>0) 和 y=0
C. x2=8y (y>0) D. x2=8y (y>0) 和 x=0 (y<0)
8．A、B、C是不共線的三點, O是空間中任意一點, 向量, 則動點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的(
4、 ).
A. 內(nèi)心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
9．拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1的焦點的軌跡是 ( ).
A. 拋物線 B. 直線 C. 圓 D. 線段
10．點位于（ ）
A．y軸上 B．x軸上 C．xOz平面上 D．yOz平面上
11．點關(guān)于x軸的對稱點為（ ）
A． B． C． D．
12．定義一個法則，已知，則線段AB上的點在“法則”的作用下所形成的曲線的長度是（ ）
(A)
5、 (B) 2 (C) (D)
二、填空題（每小題3分，共18分）
13．若點A(－4,π)關(guān)于直線θ=的對稱點為A’，則A’的極坐標是 .
(ρ<0, －4π≤θ<－2π)
14．傾斜角為的直線過點和第一象限的點B，且，則點B
坐標為 。
15．在中，，若，則動點A的方程為 。
16．已知點A(0，1)是橢圓x2＋4y2＝4上的一點，P是橢圓上的動點，當弦AP
的長度最大時，則點P的坐標是_________．
17．點對應的球坐標為
6、 。
18．在半徑為的球面上，緯度為，經(jīng)度為的點的直角坐標為 。
三、解答題（19~21每題6分，22、23題各8分，共34分）
19．平面內(nèi)，某點P繞極點順時針方向旋轉(zhuǎn)40°后所得點與點M（4，－110°）
關(guān)于射線θ＝220°對稱，求點P的極坐標。
20．如圖，直線l1和l2相交于點M，l1 ⊥l2，點N∈l1．以A、B為端點的曲線段
C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，
|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線C的方程．
7、
21．在三棱錐P－ABC中，AP＝a，AB＝AC=a，∠ PAB＝∠PAC＝45°，
cos∠BPC＝，D是AB的中點，DE⊥PB，垂足為E，求CD與BP所成
的角。
22．有三個新興城鎮(zhèn)分別位于、、三點處，且，，
今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在的垂直平分線上
的點處（建立坐標系如圖）．
（Ⅰ）若希望點到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則應位于何處？
（Ⅱ）若希望點到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，則應位于何處？
8、
23．甲、乙兩艘輪船都要?？客粋€泊位，它們可以在一晝夜的任意時刻到達，設(shè)甲、乙兩艘輪船?？坎次坏臅r間分別是3小時和5小時，求有一艘輪船停靠泊位時必須等待一段時間的概率。
參考答案
一、DCDCC DDCBC BD
二、13．（－4，－π）；14．；15．；
16．(±)；17．；18．。
三、 19．
20．如圖建立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點．
依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l2為準線的拋線段的一段，其中A、
B分別為C的端點．
設(shè)曲線段C的方程為
y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，x
9、B分別為A，B的橫坐標，P=|MN|．
所以 M (－，0)，N (，0)．
由 |AM|=，|AN|=3得
(xA＋)2＋2PxA=17， ①
(xA－)2＋2PxA=9． ②
由①、②兩式聯(lián)立解得xA=，再將其代入①式并由p＞0解得
或．
因為△AMN是銳角三角形，所以＞xA，故舍去．
∴ P=4，xA=1．
由點B在曲線段C上，得xB=|BN|－=4．
綜上得曲線段C的方程為y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
21．解：由已知得PB＝PC＝a 故 AP⊥PB AP⊥PC
以P為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系
則A（
10、0,0，a） B（，，0） C（0，a,0）
=(0，－a，a) =(，，a)
＝＝(，，a)
?。剑剑?，－，a）
D是AB中點，DE∥AP 故 E是PB的中點?。剑ǎ?，－，0）
?。剑剑ǎ?，0）
cos<,>=
所以CD與BP所成的角為arccos。
22．（Ⅰ）解：由題設(shè)條件a>b>0,設(shè)P的坐標為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為
=
所以，當時，函數(shù)取得最小值.
答:點P的坐標是
（Ⅱ）解：記
P至三鎮(zhèn)的最遠距離為
由解得記
于是
當，即時，
因為在[上是增函數(shù)，而上是減函數(shù).
11、
所以時,函數(shù)取得最小值. 點P的坐標是
當，即時，因為在[上當y=0函數(shù)取得最小值b，而上是減函數(shù),且 ，所以時, 函數(shù)取得最小值.
答：當時，點P的坐標是
當時，點P的坐標是，其中。
23．解：以甲船到達泊位的時刻x，乙船到達泊位的時刻y分別為坐標軸，則
由題意知 （0≤x，y≤24）
設(shè)事件A={有一艘輪船?？坎次粫r必須等待一段時間}，事件B={甲船?？?
泊位時必須等待一段時間}，事件C={乙船?？坎次粫r必須等待一段時間}
則A= B∪C，并且事件B與事件C是互斥事件
∴P(A)= P(B∪C)= P(B)+ P(C)
而甲船?？坎次粫r必須等待一段時間需滿足的條件是0
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