數(shù)學人教選修4-4（A）坐標系與坐標變換 綜合練習2

坐標系與坐標變換 綜合練習2 一、選擇題（每小題4分，共48分） 1．與(ρ, θ)表示同一點的坐標是（ ）。 （A）(ρ, π＋θ) （B）(－ρ, －θ) （C）(－ρ, θ) （D）(－ρ, π＋θ) 2．點P的直角坐標是(－3, －4)，它的極坐標是（ ）。 （A）(5, arctg) （B）(5, arctg) （C）(－5, arctg) （D）(－5,－arctg) 3．平面直角坐標系內有兩個定點A、B和動點P，若直線AP、BP的斜率之積 為定值m（），則P的軌跡不可能為（ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 4．在直角坐標系中，設，沿y軸把直角坐標平面折成120°的二面角后，AB長為（ ） A． B． C． D． 5．設點P(ρ1,θ1)和Q(ρ2,θ2)，其中ρ1＋ρ2=0, θ1＋θ2=0 ，則P、Q兩點的位置關系 是（ ）。 （A）關于極軸對稱 （B）重合 （C）關于直線θ=對稱 （D）關于極點對稱 6．在空間直角坐標系中，有一個平面多邊形，它在平面的正射影的面積為8，在平面和平面的正射影面積都為6，則這個多邊形的面積為（ ） A． B． C． D． 7．與圓x2+y2-4y=0外切, 又與x軸相切的圓的圓心軌跡方程是 ( ). A. y2=8x B. y2=8x (x>0) 和 y=0 C. x2=8y (y>0) D. x2=8y (y>0) 和 x=0 (y<0) 8．A、B、C是不共線的三點, O是空間中任意一點, 向量, 則動點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的( ). A. 內心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 9．拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1的焦點的軌跡是 ( ). A. 拋物線 B. 直線 C. 圓 D. 線段 10．點位于（ ） A．y軸上 B．x軸上 C．xOz平面上 D．yOz平面上 11．點關于x軸的對稱點為（ ） A． B． C． D． 12．定義一個法則，已知，則線段AB上的點在“法則”的作用下所形成的曲線的長度是（ ） (A) (B) 2 (C) (D) 二、填空題（每小題3分，共18分） 13．若點A(－4,π)關于直線θ=的對稱點為A’，則A’的極坐標是 . (ρ<0, －4π≤θ<－2π) 14．傾斜角為的直線過點和第一象限的點B，且，則點B 坐標為 。 15．在中，，若，則動點A的方程為 。 16．已知點A(0，1)是橢圓x2＋4y2＝4上的一點，P是橢圓上的動點，當弦AP 的長度最大時，則點P的坐標是_________． 17．點對應的球坐標為 。 18．在半徑為的球面上，緯度為，經(jīng)度為的點的直角坐標為 。 三、解答題（19~21每題6分，22、23題各8分，共34分） 19．平面內，某點P繞極點順時針方向旋轉40°后所得點與點M（4，－110°） 關于射線θ＝220°對稱，求點P的極坐標。 20．如圖，直線l1和l2相交于點M，l1 ⊥l2，點N∈l1．以A、B為端點的曲線段 C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形， |AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線C的方程． 21．在三棱錐P－ABC中，AP＝a，AB＝AC=a，∠ PAB＝∠PAC＝45°， cos∠BPC＝，D是AB的中點，DE⊥PB，垂足為E，求CD與BP所成 的角。 22．有三個新興城鎮(zhèn)分別位于、、三點處，且，， 今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在的垂直平分線上 的點處（建立坐標系如圖）． （Ⅰ）若希望點到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則應位于何處？ （Ⅱ）若希望點到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，則應位于何處？ 23．甲、乙兩艘輪船都要?？客粋€泊位，它們可以在一晝夜的任意時刻到達，設甲、乙兩艘輪船?？坎次坏臅r間分別是3小時和5小時，求有一艘輪船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率。 參考答案 一、DCDCC DDCBC BD 二、13．（－4，－π）；14．；15．； 16．(±)；17．；18．。 三、 19． 20．如圖建立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點． 依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l2為準線的拋線段的一段，其中A、 B分別為C的端點． 設曲線段C的方程為 y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，xB分別為A，B的橫坐標，P=|MN|． 所以 M (－，0)，N (，0)． 由 |AM|=，|AN|=3得 (xA＋)2＋2PxA=17， ① (xA－)2＋2PxA=9． ② 由①、②兩式聯(lián)立解得xA=，再將其代入①式并由p＞0解得 或． 因為△AMN是銳角三角形，所以＞xA，故舍去． ∴ P=4，xA=1． 由點B在曲線段C上，得xB=|BN|－=4． 綜上得曲線段C的方程為y2=8x (1≤x≤4，y＞0)． 21．解：由已知得PB＝PC＝a　故　AP⊥PB　　AP⊥PC 　　以P為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系 　　則A（0,0，a）　B（，，0）　C（0，a,0） =(0，－a，a)　=(，，a) 　?。剑?，，a) 　?。剑剑?，－，a） 　　D是AB中點，DE∥AP　故　E是PB的中點　＝（－，－，0） 　?。剑剑ǎ?，－，0） 　　cos<,>= 所以CD與BP所成的角為arccos。 22．（Ⅰ）解：由題設條件a>b>0,設P的坐標為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為 = 所以，當時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標是 （Ⅱ）解：記 P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 由解得記 于是 當，即時， 因為在[上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 所以時,函數(shù)取得最小值. 點P的坐標是 當，即時，因為在[上當y=0函數(shù)取得最小值b，而上是減函數(shù),且 ，所以時, 函數(shù)取得最小值. 答：當時，點P的坐標是 當時，點P的坐標是，其中。 23．解：以甲船到達泊位的時刻x，乙船到達泊位的時刻y分別為坐標軸，則 由題意知 （0≤x，y≤24） 設事件A={有一艘輪船?？坎次粫r必須等待一段時間}，事件B={甲船停靠 泊位時必須等待一段時間}，事件C={乙船停靠泊位時必須等待一段時間} 則A= B∪C，并且事件B與事件C是互斥事件 ∴P(A)= P(B∪C)= P(B)+ P(C) 而甲船?？坎次粫r必須等待一段時間需滿足的條件是0<x-y≤5，乙船?？坎? 位時必須等待一段時間需滿足的條件是0<y-x≤3， 在如圖所示的平面直角坐標系下，點（x，y）的 y y=x+3 x y=x 24 0 24 3 5 y=x-5 所有可能結果是邊長為24的正方形，事件A的可能 結果由圖中的陰影部分表示，則S正方形=242=576 S陰影=242-×(24-5)2-×(24-3)2 =175 ∴由幾何概率公式得P(A)= ∴有一艘輪船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率是。