河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點透析專題8 排列組合與概率統(tǒng)計 理

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1、 2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 排列組合與概率統(tǒng)計 【重點知識回顧】 排列概念 兩個計數(shù)原理 排列數(shù)公式 排列 應(yīng)用 組合概念 組合 組合數(shù)公式 排列組合 二項式定理 組合數(shù)性質(zhì) 二項式定理 通項公式 應(yīng)用 二項式系數(shù)性質(zhì) 二、重點知識回顧 1.排列與組合 ⑴ 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是關(guān)于計數(shù)的兩個基本原理，兩者的區(qū)別在于分步計數(shù)原理和分步有關(guān)，分類計數(shù)原理與分類有關(guān). ⑵ 排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進行排列或組合，求共有多少種方

2、法的問題.區(qū)別排列問題與組合問題要看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的屬于排列問題，與順序無關(guān)的屬于組合問題. ⑶ 排列與組合的主要公式 ①排列數(shù)公式： (m≤n)　　 A=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1. ②組合數(shù)公式：　(m≤n). ③組合數(shù)性質(zhì)：①(m≤n). ② ③ 2.二項式定理 ⑴ 二項式定理 (a +b)n =Can +Can－1b+…+Can－rbr +…＋Cbn，其中各項系數(shù)就是組合數(shù)C，展開式共有n+1項，第r+1項是Tr+1 =Can－rbr. ⑵ 二項展開式的通項公式 二項展開式的第r+1項Tr+1=Can－rbr(

3、r=0,1,…n)叫做二項展開式的通項公式。 ⑶ 二項式系數(shù)的性質(zhì) ①在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等， 即C= C　(r=0,1,2,…,n). ②若n是偶數(shù)，則中間項(第項)的二項公式系數(shù)最大，其值為C；若n是奇數(shù)，則中間兩項(第項和第項)的二項式系數(shù)相等，并且最大，其值為C= C. ③所有二項式系數(shù)和等于2n，即C+C＋C+…+C=2n. ④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和， 即C+C+…=C+C+…=2n―1. 3.概率 （1）事件與基本事件： 　　 　　基本事件：試驗中不能再分的最簡單的“單位”隨機事件；一次試驗等可能的產(chǎn)生

4、一個基本事件；任意兩個基本事件都是互斥的；試驗中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來表示． 　?。?）頻率與概率：隨機事件的頻率是指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值．頻率往往在概率附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增加而變化，擺動幅度會越來越?。S機事件的概率是一個常數(shù)，不隨具體的實驗次數(shù)的變化而變化． 　?。?）互斥事件與對立事件： 事件 定義 集合角度理解 關(guān)系 互斥事件 事件與不可能同時發(fā)生 兩事件交集為空 事件與對立，則與必為互斥事件； 事件與互斥，但不一是對立事件 對立事件 事件與不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生 兩事件互補 　?。?）古典概型與幾何概型

5、： 　　古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個基本事件”的概率模型． 　　幾何概型：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例． 　　兩種概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個． 　?。?）古典概型與幾何概型的概率計算公式： 　　古典概型的概率計算公式：． 　　幾何概型的概率計算公式：． 　　兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同． ?。?）概率基本性質(zhì)與公式 ①事件的概率的范圍為：． ②互斥事件與的概率加法公式：． ③對立事件與的概率

6、加法公式：． （7） 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，則它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率是pn(k) = Cpk(1―p)n―k.　實際上，它就是二項式[(1―p)+p]n的展開式的第k+1項. （8）獨立重復(fù)試驗與二項分布 　?、伲话愕兀谙嗤瑮l件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗．注意這里強調(diào)了三點：（1）相同條件；（2）多次重復(fù)；（3）各次之間相互獨立； 　?、冢椃植嫉母拍睿阂话愕兀趎次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為．此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成

7、功概率． 4、統(tǒng)計 　?。?）三種抽樣方法 　　①簡單隨機抽樣 　　簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法．抽樣中選取個體的方法有兩種：放回和不放回．我們在抽樣調(diào)查中用的是不放回抽取． 　　簡單隨機抽樣的特點：被抽取樣本的總體個數(shù)有限．從總體中逐個進行抽取，使抽樣便于在實踐中操作．它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性．每一次抽樣時，每個個體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性． 　　實施抽樣的方法：抽簽法：方法簡單，易于理解．隨機數(shù)表法：要理解好隨機數(shù)表，即表中每個位置上等可能出現(xiàn)0，1，2，…，9這十個數(shù)字的數(shù)表．隨機數(shù)表中各個位置上出現(xiàn)各個數(shù)字的等可能性，決定了利用隨機數(shù)

8、表進行抽樣時抽取到總體中各個個體序號的等可能性． 　?、谙到y(tǒng)抽樣 　　系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況． 　　系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個體均分后的每一段中進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣． 　　系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機的方式將總體中的個體編號；第二步，將總體的編號分段，要確定分段間隔，當(dāng)（Ｎ為總體中的個體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，；當(dāng)不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體個數(shù)Ｎ能被n整除，這時；第三步，在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體編號，再按事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將加上間隔k得到第2個編號，將加上k，得到第3個編

9、號，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本． 　?、鄯謱映闃? 　　當(dāng)總體由明顯差別的幾部分組成時，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣． 　　分層抽樣的過程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個數(shù)的比；第二步，計算出各層需抽取的個體數(shù)；第三步，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個體；第四步，將各層中抽取的個體合在一起，就是所要抽取的樣本． 　　（2）用樣本估計總體 　　樣本分布反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，有時也利用莖葉圖來描述

10、其分布，然后用樣本的頻率分布去估計總體分布，總體一定時，樣本容量越大，這種估計也就越精確． 　?、儆脴颖绢l率分布估計總體頻率分布時，通常要對給定一組數(shù)據(jù)進行列表、作圖處理．作頻率分布表與頻率分布直方圖時要注意方法步驟．畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖． 　　②莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數(shù)據(jù)位數(shù)較多時不夠方便． 　?、燮骄鶖?shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準差反映了樣本數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的波動程度，其計算公式為． 有時也用標(biāo)準差的平方———方差來代替標(biāo)準差，兩者實質(zhì)上是一樣的．

11、　?。?）兩個變量之間的關(guān)系 　　變量與變量之間的關(guān)系，除了確定性的函數(shù)關(guān)系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機性的相關(guān)關(guān)系．在本章中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間的整體關(guān)系的了解．分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時,我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘估計求出回歸直線方程．通常我們使用散點圖，首先把樣本數(shù)據(jù)表示的點在直角坐標(biāo)系中作出，形成散點圖．然后從散點圖上，我們可以分析出兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系：如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線

12、叫做回歸直線，其對應(yīng)的方程叫做回歸直線方程．在本節(jié)要經(jīng)常與數(shù)據(jù)打交道，計算量大，因此同學(xué)們要學(xué)會應(yīng)用科學(xué)計算器． 　?。?）求回歸直線方程的步驟： 　　第一步：先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出； 　　第二步：計算回歸系數(shù)的a，b，公式為 　　 　　第三步：寫出回歸直線方程． （4）獨立性檢驗 ①列聯(lián)表：列出的兩個分類變量和，它們的取值分別為和的樣本頻數(shù)表稱為列聯(lián)表1 分類 1 2 總計 1 2 總計 　　　　構(gòu)造隨機變量（其中） 得到的觀察值常與以下幾個臨界值加以比較： 　　　如果　，就有的把握因為兩分類變量和是有關(guān)系；

13、 如果　　就有的把握因為兩分類變量和是有關(guān)系； 如果　　就有的把握因為兩分類變量和是有關(guān)系； 如果低于，就認為沒有充分的證據(jù)說明變量和是有關(guān)系． 　　?、谌S柱形圖：如果列聯(lián)表1的三維柱形圖如下圖 　　　由各小柱形表示的頻數(shù)可見，對角線上的頻數(shù)的積的差的絕對值 　較大，說明兩分類變量和是有關(guān)的，否則的話是無關(guān)的． 圖1 重點：一方面考察對角線頻數(shù)之差，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機變量進行獨立性檢驗的思路方法。 ?、鄱S條形圖（相應(yīng)于上面的三維柱形圖而畫） 　　　由深、淺染色的高可見

14、兩種情況下所占比例，由數(shù)據(jù)可知要比小得多，由于差距較大，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，兩個比值相差越大兩分類變量和有關(guān)的可能性也越的．否則是無關(guān)系的． 圖2 　　　　　　 重點：通過圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關(guān)，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機變量進行獨立性檢驗的思想方法。 ④等高條形圖（相應(yīng)于上面的條形圖而畫） 　由深、淺染色的高可見兩種情況下的百分比；另一方面，數(shù)據(jù) 要比小得多，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大， 否則是無關(guān)系的． 圖3

15、 重點：直觀地看出在兩類分類變量頻數(shù)相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖２的基礎(chǔ)上換一個角度來理解。 【典型例題】 考點一：排列組合 【方法解讀】 1、解排列組合題的基本思路： ① 將具體問題抽象為排列組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步 ② 對“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑嬎闶墙饨M合題的常用方法； ③ 是用“直接法”還是用“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”； 2、解排列組合題的基本方法： ① 優(yōu)限法：元素分析法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； ② 排異法：對有限制條件的

16、問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。 ③ 分類處理：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論；注意：分類不重復(fù)不遺漏。 ④ 分步處理：對某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決；在解題過程中，常常要既要分類，以要分步，其原則是先分類，再分步。 ⑤ 插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。 ⑥ 捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。

17、⑦ 窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；這種方法常用于方法數(shù)比較少的問題。 【命題規(guī)律】排列組合的知識在高考中經(jīng)常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度屬中等。 例1. （2020·天津）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用 （ ） A.288種 B.264種 C.240種 D.168種 【提示】(1)B,D,E,F用四種顏色

18、，則有種涂色方法； (2)B,D,E,F用三種顏色，則有種涂色方法； (3)B,D,E,F用兩種顏色，則有種涂色方法； 所以共有24+192+48=264種不同的涂色方法。故選B 例2、某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修，其中A，B，C三門由于上課時間相同，至多選一門學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修三門，則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是（B ） A．120 B．98 C．63 D．56 【提示】分兩類：第一類A，B，C三門課都不選，有＝35種方案；第二類A，B，C中選一門，剩余7門課中選兩門，有

19、＝63種方案．故共有35＋63＝98種方案．故選B 例3、某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為 (　A　) A．504 B．210 C．336 D．120 【提示】三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，分別有7,8,9種方法，∴插法種數(shù)為7×8×9＝504或＝504.故選A 考點二：二項式定理 【內(nèi)容解讀】掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題。對二項式定理的考查主要有以下兩種題型： 1、求二項

20、展開式中的指定項問題：方法主要是運用二項式展開的通項公式； 2、求二項展開式中的多個系數(shù)的和：此類問題多用賦值法；要注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別； 【命題規(guī)律】 歷年高考二項式定理的試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，重點考查運用二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法。為此，只要我們把握住二項式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學(xué)模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解。 例4、設(shè)則中奇數(shù)的個數(shù)為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：由題知，逐個驗證知，其它為偶數(shù)，選A。 例5、組合數(shù)C（n＞r≥1，n、

21、r∈Z）恒等于（ ） A．C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D．C 解：由. 例6、在的展開式中，含的項的系數(shù)是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 解：本題可通過選括號（即5個括號中4個提供，其余1個提供常數(shù)）的思路來完成。故含的項的系數(shù)為 例7、若(x+)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x4項的系數(shù)為 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解：因為的展開式中前三項的系數(shù)、、成等差數(shù)列，所以，即

22、，解得：或（舍）。。令可得，，所以的系數(shù)為，故選B。 考點三：概率 【內(nèi)容解讀】概率試題主要考查基本概念和基本公式，對等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨立事件的概率、事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容都進行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。 【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。 （2）概率統(tǒng)計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學(xué)生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計

23、理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點，則落入E中的概率為 。 解：如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。 答案 點評：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。 例9、從編號為1,2,…,10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為 (A) (B) (C) (D) 解：，故選B。

24、 點評：本小題主要考查組合的基本知識及等可能事件的概率。 例10、在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為 （A）　　　　　　　　　　　　　　　?。˙） （C）　　　　　　　　　　　　　　　（D） 解：基本事件總數(shù)為。 選出火炬手編號為，時，由可得4種選法； 時，由可得4種選法；時，由可得4種選法。 點評：本題考查古典概型及排列組合問題。 例11、某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（　?。? A. B. C.

25、 D. 解：獨立重復(fù)實驗， 例12、某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第次擊中目標(biāo)得分，3次均未擊中目標(biāo)得0分．已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8，其各次射擊結(jié)果互不影響． （Ⅰ）求該射手恰好射擊兩次的概率； （Ⅱ）該射手的得分記為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解： （Ⅰ）設(shè)該射手第次擊中目標(biāo)的事件為，則， ． （Ⅱ）可能取的值為0，1，2，3． 的分布列為 0 1 2 3 0.008 0.032 0.16 0.8 . 例13、隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件

26、、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為． （1）求的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學(xué)期望）； （3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？ 解：的所有可能取值有6，2，1，-2；， ， 故的分布列為： 6 2 1 -2 0.63 0.25 0.1 0.02 （2） （3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為 依題意，

27、，即，解得 所以三等品率最多為 考點四：統(tǒng)計 【內(nèi)容解讀】理解簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點及步驟．會用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會用樣本頻率分布估計總體分布．會用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征．會利用散點圖和線性回歸方程，分析變量間的相關(guān)關(guān)系；掌握獨立性檢驗的步驟與方法。 【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。 （2）概率統(tǒng)計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學(xué)生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷

28、新的設(shè)計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人文教育的精神。 例14、下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生 產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準煤)的幾組對照數(shù)據(jù) 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲

29、產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準煤? (參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5=66.5) 解：(1)散點圖略. (2), , , 由所提供的公式可得,故所求線性回歸方程為10分 (3)噸. 例15、為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名進校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項． (Ⅰ)求等比數(shù)列的通項公式; （Ⅱ)求等差數(shù)列的通項公式； 視力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

30、5.0 5.1 5.2 0.1 0.3 (Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生,試估計該校新生的近視率的大小. 解：由題意知：， ∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴公比 ∴ . ∵=13, ∴， ∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列公差為，則得， 　∴＝87， ，， =, (或=) 答:估計該校新生近視率為91%. 例16、某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料: 日 期 1月

31、10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 晝夜溫差x(°C) 10 11 13 12 8 6 就診人數(shù)y(個) 22 25 29 26 16 12 該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗. (Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；(5分) (Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(6分) (Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,

32、則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分) (參考公式: ) 解：(Ⅰ)設(shè)抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件A.因為從6組數(shù)據(jù)中選 取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的 其中,抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種 所以 (Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得 由公式求得 再由 所以關(guān)于的線性回歸方程為 (Ⅲ)當(dāng)時,, ； 同樣, 當(dāng)時,, 所以,該小組所得線性回歸方程是理想的. 四、復(fù)習(xí)建議 1. 對于一些容易混淆的概念，如排列與排列數(shù)、組合與組合數(shù)、排列與組合、二項式系數(shù)與二項展開式中各項的系數(shù)等，應(yīng)注

33、意弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別. 2. 復(fù)習(xí)中，對于排列組合應(yīng)用題，注意從不同的角度去進行求解，以開闊思維，提高解題能力. 3. 注意體會解決概率應(yīng)用題的思考方法，正向思考時要善于將較復(fù)雜的問題進行分解，解決有些問題時還要學(xué)會運用逆向思考的方法. 4、注意復(fù)習(xí)求線性回歸方程的方法，回歸分析方法，獨立性檢驗的方法及其應(yīng)用問題。 【模擬演練】 計數(shù)原理部分： 1.(2020 ·湖南 )在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字也許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為 A．10

34、 B.11 C.12 D.15 【提示】與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類： 第一類：與信息0110有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有 第二類: 與信息0110有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有 第三類: 與信息0110沒有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有 與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同信息有6+4+1=11故選B 2．只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有 (　C　) A．6個

35、 B．9個 C．18個 D．36個 【提示】由題意知，1,2,3中必有某一個數(shù)字重復(fù)使用2次．第一步確定誰被使用2次，有3種方法；第二步把這2個相等的數(shù)放在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上，也有3種方法；第三步將余下的2個數(shù)放在四位數(shù)余下的2個位置上，有2種方法．故共可組成3×3×2＝18個不同的四位數(shù)．故選C 3．(2020·淮陰一模)已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是 (　D　)

36、 A．18 B．10 C．16 D．14 【提示】M中的元素作點的橫坐標(biāo)，N中的元素作點的縱坐標(biāo)，在第一象限的點共有2×2個，在第二象限的點共有1×2個．N中的元素作點的橫坐標(biāo)，M中的元素作點的縱坐標(biāo)，在第一象限的點共有2×2個，在第二象限的點共有2×2個．所求不同的點的個數(shù)是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(個).故選D 4.(2020·本溪模擬)如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐P—ABC與正三棱柱ABC—A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色

37、，則不同的染色方案共有__12__種． 提示：先涂三棱錐P—ABC的三個側(cè)面，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，共有×××＝3×2×1×2＝12種不同的涂法． 5．設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，則方程 表示焦點在x軸上的橢圓有 (　D　) A．6個　　　　B．8個 C．12個 D．16個 【提示】因為橢圓的焦點在x軸上，所以當(dāng)m＝4時，n＝1,2,3；當(dāng)m＝3時， n＝1,2；當(dāng)m＝2時，n＝1.即滿足條件的橢圓共有3＋2＋1＝6個．故選D 6．

38、有不同的語文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本，則不同的選法有 (　C　) A．21種 B．315種 C．143種 D．153種 【提示】故選C 6．從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有 (　B　) A．40種 B．60種 C．100種 D．120種 【提示】由題意可列式為 故選B 7．（2020 全國卷

39、1理）某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 ( A ) A .30種 B.35種 C.42種 D.48種 【提示】用間接法種,故選A 8．（2020·廣東）為了迎接2020年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同．記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒。如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需

40、要的時間至少是（ C ） A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 【提示】每次閃爍時間5秒，共5×120=600s，每兩次閃爍之間的間隔為5s，共5×（120-1）=595s．總共就有600+595=1195s．故選C 9．（2020·全國卷1）某學(xué)校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 種 30 .(用數(shù)字作答) 【提示】可分以下2種情況:(1)A類選修課選1門,B類選修課選2門,有種不同的選法;(2)A類選修課選2門,B類選修課選1門有種

41、不同的選法.所以不同的選法共有+種. 10．“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如1 458），若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個數(shù)為 1359 . 【提示】 漸升數(shù)由小到大排列，形如 的漸升數(shù)共有：6+5+4+3+2+1=21（個），如123×，個位可從4，5，6，7，8，9六個數(shù)字選一個，有6種等；形如 的漸升數(shù)共有5個；形如 的漸升數(shù)共有4個，故此時共有21+5+4=30個，因此從小到大的漸升數(shù)的第30個必為1 359，所以應(yīng)填1 359. 11．用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙)，要求在①②③④四個

42、區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一顏色． (1)若n＝6，則為甲圖著色的不同方法共有__480__種； (2)若為乙圖著色時共有120種不同方法，則n＝__5__. 【提示】(1)由分步乘法計數(shù)原理，對區(qū)域①②③④按順序著色， 共有6×5×4×4＝480種方法． (2)與第(1)問的區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由2塊變成了3塊．同樣利用分步乘法計數(shù)原理，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.所以(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，n2－3n＋12＝0(舍去)， 解得n＝5，n＝－2(舍去)

43、． 12．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有__13_種． 【提示】每個焊接點都有脫落與不脫落兩種狀態(tài)，電路不通可能是1個或多個焊接點脫落，問題比較復(fù)雜．但電路通的情況卻只有3種，即2或3脫落或全不脫落．因為每個焊接點有脫落與不脫落兩種情況，故共有24－3＝13種情況． 13．現(xiàn)有高一四個班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選二人作

44、中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？ 解：(1)分四類，第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法； 第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法； 第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法； 第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法， 所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)． (2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長，所以共有不同的選法 N＝7×8×9×10＝5 040(種)． (3)分六類，每類又分兩步： 從一班、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法； 從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法， 從一、四班

45、學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法； 從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法； 從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法； 從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法， 所以共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)． 概率統(tǒng)計部分： 1．在一所有1000名學(xué)生的學(xué)校中隨機調(diào)查了100人，其中有85人上學(xué)之前吃早餐，在這所學(xué)校里隨便問1人，上學(xué)之前吃過早餐的概率是（ ） A．0.85 B．0.085 C．0.1 D．850 2．一布袋中有紅球8個，白球5個和黑球12個，它們除顏色外沒

46、有其他區(qū)別，隨機地從袋中取出1球不是黑球的概率為（ ） A． B． C． D． 3．某商店舉辦有獎銷售活動，購物滿100元者發(fā)兌獎券一張，在10000張獎券中，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎100個，若某人購物滿100元，那么他中一等獎的概率是（ ） A． B． C． D． A B 4．如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個和4個扇形，每個扇形上都標(biāo)有數(shù)字，同時自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針都落在奇數(shù)上的概率是（ ） A． B． C． D． 5．軍軍的文具盒中有兩支蠟筆，一支紅色的、一支

47、綠色的；三支水彩筆，分別是黃色、黑色、紅色，任意拿出一支蠟筆和一支水彩筆，正好都是紅色的概率為（ ） A． B． C． D． 6．甲、乙兩位學(xué)生一起在玩拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲規(guī)定：甲學(xué)生拋出兩個正面得1分；乙學(xué)生拋出一正一反得1分．那么各拋擲100次后他們的得分情況大約應(yīng)為（ ） A．甲→25分，乙→25分 B．甲→25分，乙→50分 C．甲→50分，乙→25分 D．甲→50分，乙→50分 二、填空題 1．口袋中放有3只紅球和11只黃球，這兩種球除顏色外沒有任何區(qū)別，隨機從口袋中任取一只球，取到黃球的

48、概率是__ __． 2． 一個口袋中有4個白球，1個紅球，7個黃球．?dāng)噭蚝箅S機從袋中摸出1個是白球的概率是_________． 3．2020年5月份，某市市區(qū)一周空氣質(zhì)量報告中某項污染指數(shù)的數(shù)據(jù)是：31、35、31、34、30、32、31，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________. 4．為了緩解旱情，我市發(fā)射增雨火箭，實施增雨作業(yè)． 在一場降雨中，某縣測得10個面積相等區(qū)域的降雨量如下表： 區(qū)域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 降雨量(mm) 10 12 13 13 20 15 14 15 14 14 則該縣這10個區(qū)域降雨量

49、的眾數(shù)為_______(mm)；平均降雨量為___________（mm）． 5．一個骰子，六個面上的數(shù)字分別為1、2、3、3、4、5，投擲一次，向上的面出現(xiàn)數(shù)字3的概率是_____． 第6題圖 6．某校學(xué)生會在“暑假社會實踐”活動中組織學(xué)生進行社會調(diào)查，并組織評委會對學(xué)生寫出的調(diào)查報告進行了評比．學(xué)生會隨機抽取了部分評比后的調(diào)查報告進行統(tǒng)計，繪制了統(tǒng)計圖如下，請根據(jù)該圖回答下列問題： （1）學(xué)生會共抽取了______份調(diào)查報告； （2）若等第A為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率為_____________ ； （3）學(xué)生會共收到調(diào)查報告1000 份，請估計該校有多少份調(diào)查報告的等第為E ?7．有

50、100張已編號的卡片（從1號到100號）從中任取1張，計算卡片是奇數(shù)的概率是_______，卡片號是7的倍數(shù)的概率是________． 8．?dāng)S一枚正六面體的骰子，擲出的點數(shù)不大于3的概率是_________． 三、解答題 1．小謝家買了一輛小轎車，小謝連續(xù)記錄了七天每天行駛的路程． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程(千米) 46 39 36 50 54 91 34 請你用統(tǒng)計初步的知識，解答下列問題：(1)小謝家小轎車每月(每月按30天計算)要行駛多少千米?(2)若每行駛100千米需汽油8升，汽油每升3．45元．請你求出小謝

51、家一年(一年按12個月計算)的汽油費是多少元? 2．今年“五一黃金周”期間，花果山風(fēng)景區(qū)共接待游客約22.5萬人．為了了解該景區(qū)的服務(wù)水平，有關(guān)部門從這些游客中隨機抽取450人進行調(diào)查，請他們對景區(qū)的服務(wù)質(zhì)量進行評分，評分結(jié)果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 檔 次 第一檔 第二檔 第三檔 第四檔 第五檔 分值a（分） a≥90 80≤a<90 70≤a<80 60≤a<70 a<60 人 數(shù) 73 147 122 86 22 根據(jù)表中提供的信息，回答下列問題： （1）所有評分數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)在第幾檔內(nèi)？ （2）若評分不低于70分為“滿意”，試估計今年“五一黃金周”

52、期間對花果山景區(qū)服務(wù)“滿意”的游客人數(shù)． 3．在青島市政府舉辦的“迎奧運登山活動”中，參加嶗山景區(qū)登山活動的市民約有12000人，為統(tǒng)計參加活動人員的年齡情況，我們從中隨機抽取了100人的年齡作為樣本，進行數(shù)據(jù)處理，制成扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖（部分）如下： （1）根據(jù)圖①提供的信息補全圖②； （2）參加嶗山景區(qū)登山活動的 12000 余名市民中，哪個年齡段的人數(shù)最多？ （3）根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，談?wù)勛约旱母邢耄ú怀^30字） 4．袋中裝有編號為1、2、3的三個形狀大小相同的小球，從袋中隨意摸出1球．并且隨意拋擲一個面上標(biāo)有1，2，3，4，5，6各一數(shù)字

53、的正方體均勻骰子． （1）如果摸出1號球和骰子朝上的數(shù)字為1則甲勝；如果摸出2號球和骰子朝上的數(shù)字為2，則乙勝．這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？ （2）如果摸出的球編號為奇數(shù)和骰子朝上的數(shù)字為奇數(shù)則甲勝；如果摸出的球編號為偶數(shù)和木塊朝上的數(shù)字為偶數(shù)，則乙勝．這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？說明理由． 參 考 答 案 一、選擇題 1．A（提示：100人中吃早餐的概率85÷100=0.85，可以代表1000名學(xué)生吃早餐的概率） 2．D（提示：P（摸出的是黑球）=，所以P（摸出的不是黑球）=1－=） 3．C（提示：共有10000張獎券，其中一等獎10個，購物100元，可得一張獎券，故P（中一等獎）= 4

54、．B（提示：P（A指奇數(shù)）=，P（B指奇數(shù)）=，所以P（A、B同時指奇數(shù)）=×=） 5．D（提示：P（兩支紅色水筆）） 6．B（提示：拋擲兩枚硬幣的所有可能是正正、正反、反正、反反．所以P（甲拋出兩個正面）=，P（乙拋出一正一反）=，各拋100次后，甲得分100×=25（分），乙得分100×=50（分）） 二、填空題 1． （提示：實驗中，我們關(guān)注的結(jié)果的次數(shù)是11，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果的次數(shù)是14，故取到黃球的概率） 2．（提示：P（白球）=） 3．31（提示：將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為30、31、31、31、32、34、35，則位于中間位置的一個數(shù)為31，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3

55、1） 4．14，14（提示：14出現(xiàn)次數(shù)最多，平均降雨量是把各區(qū)域降雨量相加再除以10） 5．（提示：P（向上數(shù)字為3）=） 6．50，0.16，40（提示：共抽查8+20+15+5+2=50；優(yōu)秀率為8÷50=0.16；等第為E的報告有） 7．，（提示：1到100中奇數(shù)有50個，P（卡片是奇數(shù)）=；7的倍數(shù)有100÷714，所以P（卡片號是7的倍數(shù)）=） 8．（提示：點數(shù)不大于3的數(shù)字有1、2、3，所以P（點數(shù)不大于3）=） 三、解答題 1．解：(1)由圖知這七天中平均每天行駛的路程為50(千米)． ∴每月行駛的路程為30×50=l 500(千米)． 答：小謝家小轎車每月要行駛1500千米． (2)小謝一家一年的汽油費用是4 968元． 2．解:（1）所有評分數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)在第三檔內(nèi). （2）根據(jù)題意，樣本中不小于70的數(shù)據(jù)個數(shù)為73+147+122=342， 所以，22.5萬游客中對花果山景區(qū)服務(wù)“滿意”的游客人數(shù)約為（萬）. 3．解：（1）略 （2）60－69歲 （3）根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，談?wù)勛约旱母邢牒侠砑纯桑? 4．解：①公平 因為獲勝概率相同都等于； ②不公平；因為甲獲勝概率為，乙獲勝概率為．