貴州省貴陽市高中數(shù)學(xué) 2.2用樣本估計(jì)總體學(xué)案1（無答案）新人教版必修3（通用）

2.2 用樣本估計(jì)總體 【知識(shí)要點(diǎn)】 1. 用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布 a. 頻數(shù)：將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個(gè)組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，叫改組的頻數(shù)。 頻率：每組數(shù)除以全體數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商叫改組的頻率。 b. 樣本的頻率分布：根據(jù)隨機(jī)所抽樣本大小，分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值情況），就叫做樣本的頻率分布。 c. 樣本頻率分布表：將樣本的容量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計(jì)算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中，叫做樣本頻率分布表。 d. 頻率分布直方圖：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分布表中各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來表示，由此畫成的統(tǒng)計(jì)圖叫做頻率分布直直方圖。 e. 頻率分布折線圖：把頻率分布直方圖各個(gè)長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖。 f. 總體密度曲線：如果樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，曲線中所表示的頻率分布就越接近于總體在各個(gè)小組內(nèi)所取值的個(gè)數(shù)與總數(shù)比值的大小。這條光滑的曲線就叫做總體密度曲線。 2. 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 a. 平均數(shù)：平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。 b. 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 c. 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序依次排列，當(dāng)數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，處在最中間的一個(gè)數(shù)或當(dāng)數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，處在最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 d. 方差：方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)。 e. 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 3. 莖葉圖：它是一種將樣本將數(shù)組中數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少。 4. 求一組數(shù)據(jù)的頻率分布的步驟及頻率分布直方圖的畫法 a. 求一組數(shù)據(jù)的頻率分布的步驟：（1）計(jì)算極差 （2）決定組距與組數(shù) （3）決定分點(diǎn) （4）列頻率分布表 b. 頻率分布直方圖畫法：（1）先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系，以橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表述頻率與組距的比值 （2）把橫軸分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組的組距，得到頻率分布直方圖。 5. 標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算方法及應(yīng)用 （1）算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) （2）算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差 （3）算出 （4）算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 【知識(shí)應(yīng)用】 1. 記憶性概念。 【J】例1在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示（ ）． A．頻率/樣本容量 B．組距×頻率 C．頻率 D．頻率/組距 【L】例2 已知樣本10，8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,11,9,11,12,9,10,11,12，那么頻率為0.2的范圍為（ ） A 5.5—7.5 B 7.5—9.5 C 9.5—11.5 D 11.5—13.5 【C】例3用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是（　?。? A．總體容量越大，估計(jì)越精確 B．總體容量越小，估計(jì)越精確 C．樣本容量越大，估計(jì)越精確 D．樣本容量越小，估計(jì)越精確 2. a. 眾數(shù)在頻率分布直方圖中是最高矩形的中點(diǎn)，不受極端值影響。 b. 中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，其抗極端性很強(qiáng)。 c. 平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心。 d. 如果一組方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。標(biāo)準(zhǔn)差也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的重要的量。 【J】例1 ．甲，乙兩人在相同條件下練習(xí)射擊，每人打發(fā)子彈，命中環(huán)數(shù)如下 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 則兩人射擊成績的穩(wěn)定程度是__________________．（方差或標(biāo)準(zhǔn)小稱為穩(wěn)定） 【L】 例2下列數(shù)字特征一定是數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù)的是（　?。? A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．標(biāo)準(zhǔn)差 D．平均數(shù) 【C】例3數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是______________． 3. 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的方法和特點(diǎn)：莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少，較為集中且位數(shù)不多時(shí)比較使用。畫莖葉圖應(yīng)注意的事項(xiàng)：（1）將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖（高位）和葉（低位）兩部分 （2）將表示莖的數(shù)字按大小順序由上到下排成一列 （3）將表示葉的數(shù)字按大小順序?qū)懺谇o的左右兩側(cè)。 畫莖葉圖時(shí)，用中間的數(shù)表示數(shù)據(jù)的十位和百位數(shù)，兩邊的數(shù)分別表示兩組數(shù)據(jù)的個(gè)位數(shù)。要先確定中間的數(shù)取數(shù)據(jù)的哪幾位，填寫數(shù)據(jù)時(shí)邊讀邊填。比較數(shù)據(jù)時(shí)從數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾方面來比較。 從莖葉圖中得出的結(jié)論：一般從中位數(shù)，平均數(shù)以及眾數(shù)進(jìn)行分析。 【J、L】例1對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測試，測得他們的最大速度（m/s）的數(shù)據(jù)如下表. 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 畫出莖葉圖，由莖葉圖你能獲得哪些信息？ 【C】例2 在某電腦雜志的一篇文章中，每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)如下： 10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17 在某報(bào)紙的一篇文章中，每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)如下： 27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22 （1）將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示 （2）將這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到什么結(jié)論 4. a.在計(jì)算極差時(shí)，只需找出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，它們的差就是極差。 b.在確定組距與組數(shù)時(shí)，若為整數(shù)，則=組數(shù)，若不為整數(shù)，則[]+1=組數(shù) c. 在分點(diǎn)時(shí)，使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的下限略去，或把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)，各組的上下限的平均數(shù)叫做組中值，一般作為各組的代表數(shù)。 d. 在頻率分布直方圖中，各小矩形面積之和為1，從頻率分布直方圖中，可以清楚看到數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢，但看不到原始數(shù)據(jù)。 【J】例1某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下. 壽命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 個(gè) 數(shù) 20 30 80 40 30 （1）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖； （3）估計(jì)元件壽命在100～400 h以內(nèi)的在總體中占的比例； （4）估計(jì)電子元件壽命在400 h以上的在總體中占的比例. 【L】例2 給出如下數(shù)據(jù)： 57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49，51,47,55,55,54，42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48，將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖。 【C】例3為了了解初三學(xué)生女生身高情況，某中學(xué)對(duì)初三女生身高進(jìn)行了一次測量，所得數(shù)據(jù)整理后列出了頻率分布表如下： 組　別 頻數(shù) 頻率 145.5～149.5 1 0.02 149.5～153.5 4 0.08 153.5～157.5 20 0.40 157.5～161.5 15 0.30 161.5～165.5 8 0.16 165.5～169.5 m n 合　計(jì) M N （1）求出表中所表示的數(shù)分別是多少？ （2）畫出頻率分布直方圖. （3）全體女生中身高在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多？ 5. 方差反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，兩組數(shù)據(jù)在平均數(shù)一樣時(shí)，方差或標(biāo)準(zhǔn)差是判斷兩組數(shù)據(jù)的一個(gè)重要指標(biāo)。 【J】例1 某人5次上班途中所花的時(shí)間分別為x,y，10,9,11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10，方差為2，則|x-y|的值為_________ 【L】例2 甲成績（環(huán)數(shù)） 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 =7 乙成績（環(huán)數(shù)） 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 （1）求方差 （2）比較甲、乙兩同學(xué)的射擊水平，誰的成績穩(wěn)定一些。 【C】例3甲、乙兩臺(tái)機(jī)床在相同的技術(shù)條件下，同時(shí)生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從中抽測10個(gè)，它們的尺寸分別如下（單位：mm）. 甲機(jī)床：10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1； 乙機(jī)床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10. 分別計(jì)算上面兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差.如圖紙規(guī)定零件的尺寸為10 mm，從計(jì)算的結(jié)果來看哪臺(tái)機(jī)床加工這種零件較合適？ 總結(jié)： 1. 掌握頻數(shù)、頻率、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖以及總體密度曲線定義和基本性質(zhì)。 2. 掌握平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及意義。 3. 會(huì)畫莖葉圖以及對(duì)莖葉圖進(jìn)行分析 4. 掌握頻率分布直方圖的畫法及步驟。 5.通過實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差，借助樣本的數(shù)字特征，感知總體差異。 練習(xí)題： 1. 一個(gè)容量為的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下表． 組距 ［10，20） ［20，30） ［30，40） ［40，50） ［50，60） ［60，70） 頻數(shù) 2 3 4 5 4 2 則樣本在區(qū)間上的頻率為（ ）． A． B． C． D． 2. 甲、乙兩支女子曲棍球隊(duì)在去年的國際聯(lián)賽中，甲隊(duì)平均每場進(jìn)球數(shù)為3.2，全年比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3；乙隊(duì)平均每場進(jìn)球數(shù)為1.8，全年比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3.下列說法正確的個(gè)數(shù)為①甲隊(duì)的技術(shù)比乙隊(duì)好 ②乙隊(duì)發(fā)揮比甲隊(duì)穩(wěn)定 ③乙隊(duì)幾乎每場都進(jìn)球 ④甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞 A． B． C． D． 3.如果數(shù)據(jù)平均數(shù)和方差分別是（ ） A 和s B 2 +3和 C 2 +3和 D 2 +3和 4. 某次運(yùn)動(dòng)會(huì)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員成績?nèi)缦拢? 甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8； 乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1； （1）用莖葉圖表示甲，乙兩個(gè)成績； （2）根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩人成績； （3）分別計(jì)算兩個(gè)樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果估計(jì)哪位運(yùn)動(dòng)員的成績比較穩(wěn)定． 5. 如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題： （1）79.5---89.5這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？ （2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競賽的及格率（60分及以上為及格）