高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 分類討論思想方法 人教版

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 分類討論思想方法 在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。 引起分類討論的原因主要是以下幾個方面： ① 問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。 ② 問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。 ③ 解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。 另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。 進(jìn)行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。 解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。 一、方法簡解： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范圍是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0<a<1 2.若a>0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，則p、q的大小關(guān)系是_____。 A. p＝q B. p<q C. p>q D.當(dāng)a>1時，p>q；當(dāng)0<a<1時，p<q 3.函數(shù)y＝＋＋＋的值域是_________。 4.若θ∈(0, )，則的值為_____。 A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1 5.函數(shù)y＝x＋的值域是_____。 A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 6.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為_____。 A. B. C. D. 或 7.過點P(2,3)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是_____。 A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能確定 【簡解】1小題：對參數(shù)a分a>0、a＝0、a<0三種情況討論，選B； 2小題：對底數(shù)a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選C； 3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案{4,-2,0}； 4小題：分θ＝、0<θ<、<θ<三種情況，選D； 5小題：分x>0、x<0兩種情況，選B； 6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D； 7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。 二、舉例分析： 例1. 設(shè)0<x<1，a>0且a≠1，比較|log(1－x)|與|log(1＋x)|的大小。 【分析】 比較對數(shù)大小，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論。 【解】 ∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1＋x>1 ① 當(dāng)0<a<1時，log(1－x)>0，log(1＋x)<0，所以 |log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0; ② 當(dāng)a>1時，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，所以 |log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)>0； 由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1＋x)|。 【注】本題要求對對數(shù)函數(shù)y＝logx的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a>1時其是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時其是減函數(shù)。去絕對值時要判別符號，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。 例2. 已知集合A和集合B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)： ①. CA∪B且C中含有3個元素； ②. C∩A≠φ 。 【分析】 由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：①屬于A 元素；②不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種。 【解】 C·C＋C·C＋C·C＝1084 【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即C－C＝1084。 例3. 設(shè){a}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項和。 ①. 證明： <lgS； ②.是否存在常數(shù)c>0，使得＝lg（S－c）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理) 【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和的公式時，由于公式的要求，分q＝1和q≠1兩種情況。 【解】 設(shè){a}的公比q，則a>0，q>0 ①．當(dāng)q＝1時，S＝na，從而SS－S＝na(n＋2)a－(n＋1)a＝－a<0； 當(dāng)q≠1時，S＝，從而 SS－S＝－＝－aq<0； 由上可得SS<S，所以lg(SS)<lg(S)，即<lgS。 ②. 要使＝lg（S－c）成立，則必有(S－c)(S－c)＝(S－c), 分兩種情況討論如下： 當(dāng)q＝1時，S＝na，則 (S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0 當(dāng)q≠1時，S＝，則(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)] ∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝ 而S－c＝S－＝－<0 ∴對數(shù)式無意義 由上綜述，不存在常數(shù)c>0, 使得＝lg（S－c）成立。 【注】 本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問題為：證明>logS ，和理科第一問類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時，對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。 例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時按要求進(jìn)行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。 例4. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－2x＋2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實數(shù)a的取值范圍。 1 4 x 1 4 x 【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解。 【解】當(dāng)a>0時，f(x)＝a（x－）＋2－ ∴ 或 或 ∴ a≥1或<a<1或φ 即 a>； 當(dāng)a<0時，，解得φ； 當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合題意 由上而得，實數(shù)a的取值范圍是a> 。 【注】本題分兩級討論，先對決定開口方向的二次項系數(shù)a分a>0、a<0、a＝0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時將對稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運用。 例5. 解不等式>0 (a為常數(shù)，a≠－) 【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a＋1的符號和兩根－4a、6a的大小，故對參數(shù)a分四種情況a>0、a＝0、－<a<0、a<－分別加以討論。 【解】 2a＋1>0時，a>－； －4a<6a時，a>0 。 所以分以下四種情況討論： 當(dāng)a>0時，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a； 當(dāng)a＝0時，x>0，解得：x≠0； 當(dāng)－<a<0時，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a； 當(dāng)a>－時，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。 綜上所述，當(dāng)a>0時，x<－4a或x>6a；當(dāng)a＝0時，x≠0；當(dāng)－<a<0時，x<6a或x>－4a；當(dāng)a>－時，6a<x<－4a 。 【注】 本題的關(guān)鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型為含參型。 例6. 設(shè)a≥0,在復(fù)數(shù)集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。 (90年全國高考) 【分析】由已知z＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z∈R，即對z分實數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進(jìn)行討論求解。 【解】 ∵ |z|∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z為實數(shù)或純虛數(shù) 當(dāng)z∈R時，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋ ∴ z＝±(－1＋)； 當(dāng)z為純虛數(shù)時，設(shè)z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1± （0≤a≤1） 由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ 【注】本題用標(biāo)準(zhǔn)解法（設(shè)z＝x＋yｉ再代入原式得到一個方程組，再解方程組）過程十分繁難，而挖掘隱含，對z分兩類討論則簡化了數(shù)學(xué)問題。 【另解】 設(shè)z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2＋2xyｉ＝a； ∴ 當(dāng)y＝0時，x＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋)，所以z＝±(－1＋)； 當(dāng)x＝0時，－y＋2|y|＝a，解得y＝±(1±)，所以±(1±)ｉ。 由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ 【注】此題屬于復(fù)數(shù)問題的標(biāo)準(zhǔn)解法，即設(shè)代數(shù)形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0兩種情況進(jìn)行討論求解。實際上，每種情況中絕對值方程的求解，也滲透了分類討論思想。 例7. 在xoy平面上給定曲線y＝2x，設(shè)點A(a,0)，a∈R，曲線上的點到點A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。 （本題難度0.40） 【分析】 求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x≥0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。 【解】 設(shè)M(x,y)為曲線y＝2x上任意一點，則 |MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1) 由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情況討論： 當(dāng)a－1≥0時，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1； 當(dāng)a－1<0時，x＝0取最小值，即|MA}＝a； 綜上所述，有f(a)＝ 。 【注】本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們十分熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x≥0的限制，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得到d＝f(a)的函數(shù)表達(dá)式。 三、鞏固訓(xùn)練： 1. 若log<1，則a的取值范圍是_____。 A. (0, ) B. (,1) C. (0, )∪(1,+∞) D. (,+∞) 2. 非零實數(shù)a、b、c，則＋＋＋的值組成的集合是_____。 A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4} 3. f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是_____。 A.當(dāng)x＝2a時有最小值0 B.當(dāng)x＝3a時有最大值0 C.無最大值，且無最小值 D.有最小值但無最大值 4. 設(shè)f(x,y)＝0是橢圓方程，f(x,y)＝0是直線方程，則方程f(x,y)＋λf(x,y)＝0 （λ∈R）表示的曲線是_____。 A.只能是橢圓 B.橢圓或直線 C.橢圓或一點 D.還有上述外的其它情況 5. 函數(shù)f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在閉區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2，則a、b的值為_____。 A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3 C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正確 6.方程(x－x－1)＝1的整數(shù)解的個數(shù)是_____。 A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7. 到空間不共面的4個點距離相等的平面的個數(shù)是_____。 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8.z∈C，方程z－3|z|＋2＝0的解的個數(shù)是_____。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9.復(fù)數(shù)z＝a＋aｉ (a≠0)的輻角主值是______________。 10.解關(guān)于x的不等式： 2log(2x－1)>log(x－a) (a>0且a≠1) 11.設(shè)首項為1，公比為q (q>0)的等比數(shù)列的前n項和為S，又設(shè)T＝，求T 。 12. 若復(fù)數(shù)z、z、z在復(fù)平面上所對應(yīng)三點A、B、C組成直角三角形，且|z|＝2，求z 。 13. 有卡片9張，將0、1、2、…、8這9個數(shù)字分別寫在每張卡片上?，F(xiàn)從中任取3張排成三位數(shù)，若6可以當(dāng)作9用，問可組成多少個不同的三位數(shù)。 14. 函數(shù)f(x)＝(|m|－1)x－2(m＋1)x－1的圖像與x軸只有一個公共點，求參數(shù)m的值及交點坐標(biāo)。