gll05§3二元隨機(jī)變量§4隨機(jī)變量函數(shù)的分布.ppt

3二元隨機(jī)變量,也稱(chēng)為n元隨機(jī)向量。,以下只研究二元隨機(jī)變量。,(一)離散型,把(ξ，η)的所有可能取值與相應(yīng)概率列成表，稱(chēng)為(ξ，η)的聯(lián)合概率分布表。,定義3如果二元隨機(jī)變量(ξ，η)所有可能取的數(shù)對(duì)為有限或可列個(gè)，并且以確定的概率取各個(gè)不同的數(shù)對(duì)，則稱(chēng)(ξ，η)為二元離散型隨機(jī)變量。,也可用一系列等式來(lái)表示,P(ξ=xi,η=yj)=pij,,(i,j=1,2,…),稱(chēng)為ξ與η的聯(lián)合分布律。,聯(lián)合分布有如下性質(zhì)：,(1)pij≥0,例1同一品種的5個(gè)產(chǎn)品中，有2個(gè)正品。每次從中取1個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量，不放回地抽取，連續(xù)2次。證“ξk=0”表示第k次取到正品，而“ξk=1”為第k次取到次品。(k=1,2)寫(xiě)出(ξ1,ξ2)的聯(lián)合分布律。,解：試驗(yàn)結(jié)果由4個(gè)基本事件組成。,P(ξ1=0,ξ2=0),=P(ξ1=0)P(ξ2=0|ξ1=0),=0.1,P(ξ1=0,ξ2=1),=0.3,P(ξ1=1,ξ2=0),=0.3,P(ξ1=1,ξ2=1),=0.3,列成聯(lián)合概率分布表：,二元隨機(jī)變量(ξ，η)中，分量ξ(或η)的概率分布稱(chēng)為(ξ，η)的關(guān)于ξ(或η)的邊緣分布。,若已知聯(lián)合分布，則,P(ξ=xi),i=1,2,…,P(η=yj),j=1,2,…,pi(1)表示聯(lián)合概率表中第i行各概率之和。,它表示，不論η取何值，ξ取值xi的概率,pj(2)的含義類(lèi)似。,例2將兩封信隨機(jī)地往編號(hào)為I、II、III、IV的4個(gè)郵筒內(nèi)投。ξi表示第i個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目(i=1,2)寫(xiě)出(ξ1，ξ2)的聯(lián)合分布以及ξ1，ξ2的邊緣分布。,解：試驗(yàn)共有42種不同的等可能結(jié)果。,p12=p21=p22=0,列成聯(lián)合分布表：,即邊緣分布為,對(duì)于二元隨機(jī)變量(ξ，η)，若P(η=yj)>0，稱(chēng)pij/pj(2)(i=1,2,…)為在η=yj條件下關(guān)于ξ的條件分布。,顯然P(ξ=xi|η=yj)是非負(fù)的，且對(duì)所有i，它們的和為1,同樣，若pi(1)>0,,稱(chēng)為在ξ＝xi條件下關(guān)于η的條件分布。,p(η=yj|ξ=xi)是非負(fù)的，且對(duì)所有j，它們的和為1,記為,例3求出例2中在ξ2＝1條件下關(guān)于ξ1的條件分布。,＝0,故ξ2＝1時(shí)，ξ1的條件分布為,例4反復(fù)擲一顆骰子，直到出現(xiàn)小于5點(diǎn)為止。ξ表示最后一次擲出的點(diǎn)數(shù)，η表示投擲次數(shù)。求(ξ，η)的聯(lián)合分布律，邊緣分布律及條件分布。,解：ξ的取值是1，2，3，4,η的取值是1，2，…,“ξ=i,η＝j(luò)”表示擲了j次，而最后一次擲出i點(diǎn)。,前j-1次擲出5點(diǎn)或6點(diǎn)。,由于各次擲骰子是相互獨(dú)立的。,故聯(lián)合分布表為,,ξ,η,,,pi(1),條件分布為：,(二)連續(xù)型,它有性質(zhì)：,對(duì)任意平面區(qū)域D,,解：P(ξ+η>1),同樣地,P(η>ξ),分別稱(chēng)為二元隨機(jī)變量(ξ，η)中關(guān)于ξ及關(guān)于η的邊緣分布函數(shù)。,求導(dǎo)可得相應(yīng)的概率密度：,是關(guān)于ξ的邊緣概率密度。,,是關(guān)于η的邊緣概率密度。,解：當(dāng)a<x<b時(shí),在其它點(diǎn),＝0,解：當(dāng)0≤x≤1時(shí),=0,同理可求出,(三)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,判斷獨(dú)立的充要條件：,pij=pi(1)pj(2),例8在例2中ξ1與ξ2是否相互獨(dú)立？,解：已經(jīng)得到,故ξ1與ξ2不是相互獨(dú)立的。,例9擲兩顆骰子，用ξ與η分別表示第一顆與第二顆的點(diǎn)數(shù)。ξ與η是否獨(dú)立。,可見(jiàn)對(duì)所有i,j有pij=pi(1)pj(2),故ξ與η是相互獨(dú)立的。,例10例6中的隨機(jī)變量ξ與η是否相互獨(dú)立？,可見(jiàn)，對(duì)任何x,y有,故ξ與η相互獨(dú)立。,故ξ與η不獨(dú)立。,例11例7中的隨機(jī)變量ξ與η是否相互獨(dú)立？,4隨機(jī)變量函數(shù)的分布,也有多元函數(shù)η＝f(ξ1,…,ξn)等。,(一)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,定義1設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量ξ的一切可能值x集合上的函數(shù)。如果對(duì)于ξ的每一可能取值x，有另一個(gè)隨機(jī)變量η的相應(yīng)取值y=f(x)。稱(chēng)η為ξ的函數(shù)，記作η=f(ξ)。,＝0.2,＝0.4,＝0.1,＝0.3,故η的分布表為,解:P(η=0)=P(ξ=0),=0.2,P(η=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1),=0.2+0.1,=0.3,P(η=4)=P(ξ=-2)+P(ξ=2),=0.1+0.4,=0.5,故η的分布為,η的概率分布表為,,,ξ,,,,η,解：P(ξ+η=1)=P(ξ=0,η=1)+P(ξ=1,η=0)=0.4,而P(ξη=1)=P(ξ=1,η=1)=0.2,解：ξ-η的取值可以為1，2，3，4,P(ξ-η=2)=P(ξ=4,η=2)+P(ξ=5,η=3),=P(ξ=4)P(η=2)+P(ξ=5)P(η=3),=0.38,類(lèi)似可算出其它概率。,ξ-η的概率分布表為,,,,,(二)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,＝P(4ξ-1≤x),兩邊求導(dǎo),解：當(dāng)x<0時(shí),=0,兩邊對(duì)x求導(dǎo)。,＝0,＝1,0<x<1時(shí),