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2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)15 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理 選修4-4

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2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)15 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理 選修4-4

專題限時集訓(xùn)(十五) 選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 (建議用時:20分鐘) 1.(2019·長春高三質(zhì)量監(jiān)測一)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤α<π),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+1=2ρcos θ+4ρsin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程; (2)若直線l與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=2,求α的值. [解](1)圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-4y+1=0. (2)將直線l的參數(shù)方程代入到圓C的直角坐標(biāo)方程中,有t2-4tsin α=0,設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=4sin α,t1t2=0.由|AB|=|t1-t2|==|t1+t2|=4sin α=2,得sin α=,所以α=或α=. 2.在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線C1向左平移2個單位長度,再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到曲線C2,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ. (1)求曲線C2的參數(shù)方程; (2)已知點M在第一象限,四邊形MNPQ是曲線C2的內(nèi)接矩形,求內(nèi)接矩形MNPQ周長的最大值,并求周長最大時點M的坐標(biāo). [解](1)由ρ=4cos θ得曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4,經(jīng)過變換后的曲線對應(yīng)的方程為+y2=1,即曲線C2的普通方程, ∴曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)). (2)設(shè)四邊形MNPQ的周長為l,點M(2cos α,sin α), 則l=8cos α+4sin α=4=4sin(α+φ),其中cos φ==,sin φ==. ∵0<α<,∴φ<α+φ<+φ,∴sin<sin(α+φ)≤1, ∴當(dāng)α+φ=+2kπ,k∈Z時,l取得最大值,此時α=-φ+2kπ,k∈Z,lmax=4, ∴2cos α=2sin φ=,sin α=cos φ=,M. 3.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=4. (1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=8,求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值及此時B點的極坐標(biāo). [解](1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=8,得=8,所以C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2(sin θ+cos θ)(ρ>0). 所以C2的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-1)2=2. (2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0),由題設(shè)及(1)知|OA|=4,ρB=2(sin α+cos α), 于是△OAB的面積S=·|OA|·ρB·sin∠AOB =·4·2(sin α+cos α)· =4 =2|cos 2α| ≤2, 當(dāng)α=0時,S取得最大值2,此時ρB=2(sin 0+cos 0)=2. 所以△OAB面積的最大值為2,此時B點的極坐標(biāo)為(2,0). 押題依據(jù) 內(nèi)容 直線與圓的位置關(guān)系、直線的參數(shù)方程的幾何意義、最值問題 直線與圓的位置關(guān)系是高考的熱點之一,而參數(shù)方程的幾何意義是考查的重點,應(yīng)用三角函數(shù)的知識求最值是高考的熱點,符合高考模式. 【押題】 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=4cos θ. (1)當(dāng)m=-2,α=時,判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系; (2)當(dāng)m=1時,若直線l與曲線C相交于A,B兩點,設(shè)P(1,0),當(dāng)||PA|-|PB||取得最大值時,求直線l的傾斜角. [解](1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,將代入,得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4,所以曲線C是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓. 由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),得直線l的普通方程為x-y+2=0. 所以圓心(2,0)到直線l的距離d==2,又圓C的半徑為2, 故直線l與曲線C相切. (2)由題知,直線l為經(jīng)過點P(1,0)且傾斜角為α的直線,把代入(x-2)2+y2=4,整理得t2-2tcos α-3=0,Δ=(-2cos α)2+12>0, 設(shè)點A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=2cos α,t1·t2=-3<0,所以t1,t2異號, 則||PA|-|PB||=|t1+t2|=|2cos α|≤2, 當(dāng)|cos α|=1,即α=0時,||PA|-|PB||取得最大值2. 所以當(dāng)||PA|-|PB||取得最大值時,直線l的傾斜角α=0. - 3 -

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