2020年高考數(shù)學一輪復習 考點47 兩直線的位置關系、距離公式必刷題 理（含解析）

考點47 兩直線的位置關系、距離公式 1．（湖南省師范大學附屬中學2019屆高三下學期模擬三理）長方體中，， ，設點關于直線的對稱點為，則與兩點之間的距離為（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】 將長方體中含有的平面取出，過點作，垂足為，延長到，使，則是關于的對稱點，如圖所示，過作，垂足為，連接，，依題意，，，，，，，，所以. 故選. 2．（四川省宜賓市2019屆高三第三次診斷性考試數(shù)學理）已知雙曲線的左右焦點分別為，以它的一個焦點為圓心，半徑為的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于兩點，則四邊形的面積為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】 因為雙曲線的左右焦點分別為 雙曲線的漸近線方程為，即其中一條漸近線方程為 以它的一個焦點為圓心，半徑為的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于A，B兩點 根據(jù)焦點到漸近線的距離及雙曲線中 的關系 可得 所以解得， 進而可求得切點 則四邊形的面積為 故選：D 3．（河北省保定市2019年高三第二次模擬考試理）設點為直線：上的動點，點，，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 依據(jù)題意作出圖像如下： 設點關于直線的對稱點為， 則它們的中點坐標為：，且 由對稱性可得：，解得：， 所以 因為，所以當三點共線時，最大 此時最大值為 故選：A 4．（貴州省貴陽市2019年高三5月適應性考試二理）雙曲線的兩條漸近線分別為，，為其一個焦點，若關于的對稱點在上，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 不妨取， 設其對稱點在， 由對稱性可得：，解得：， 點在，則： ，整理可得：， 雙曲線的漸近線方程為：. 故選：D. 5．（廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班2019屆高三綜合測試二理）已知點與點關于直線對稱，則點的坐標為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 設,則，選D. 6．（甘肅省2019屆高三第一次高考診斷考試理）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 依題意，拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線為，其中一條為，由點到直線的距離公式得.故選C. 7．（黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學理）已知橢圓的左，右焦點分別為，，過作垂直軸的直線交橢圓于兩點，點在軸上方.若，的內切圓的面積為，則直線的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 設內切圓半徑為，則，， ，內切圓圓心為， 由知， 又，所以方程為， 由內切圓圓心到直線距離為， 即 得，所以方程為. 故選D項 8．（遼寧省丹東市2019屆高三總復習質量測試一理）已知是橢圓的右焦點，直線與相交于兩點，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解得，即 右焦點到直線的距離為 故選C項. 9．（廣西壯族自治區(qū)柳州市2019屆高三畢業(yè)班3月模擬考試數(shù)學理）圓關于直線對稱的圓的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由題意得，圓方程即為， ∴圓心坐標為，半徑為1． 設圓心關于直線的對稱點的坐標為， 則，解得， ∴所求圓的圓心坐標為， ∴所求圓的方程為． 故選D． 10．（湖南省三湘名校（五市十校)2019屆高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學理）如圖，是坐標原點，過的直線分別交拋物線于、兩點，直線與過點平行于軸的直線相交于點，過點與此拋物線相切的直線與直線相交于點.則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 過E（p，0）的直線分別交拋物線y2＝2px（p＞0）于A、B，兩點為任意的，不妨設直線AB為x＝p，由，解得y＝±， 則A（p，﹣），B（p，）， ∵直線BM的方程為y＝x，直線AM的方程為y＝-x， 解得M（﹣p，﹣），∴|ME|2＝（2p）2+2p2＝6p2， 設過點M與此拋物線相切的直線為y+＝k（x+p）， 由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2+2p2k＝0， ∴△＝4p2﹣4k（﹣2+2p2k）＝0， 解得k＝， ∴過點M與此拋物線相切的直線為y+p＝（x+p）， 由，解得N（p，2p）， ∴|NE|2＝4p2， ∴|ME|2﹣|NE|2＝6p2﹣4p2＝2p2， 故選：C． 11．（江西省南昌市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學理）已知，，為圓上的動點，，過點作與垂直的直線交直線于點，則的橫坐標范圍是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 設P（），則Q（2，2）， 當≠0時， kAP，kPM， 直線PM：y﹣（x﹣），① 直線QB：y﹣0（x），② 聯(lián)立①②消去y得x， ∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1， 當＝0時，易求得|x|＝1， 故選：A． 12．（遼寧省沈陽市東北育才學校2019屆高三第五次模擬數(shù)學理）若雙曲線的焦距為，則的一個焦點到一條漸近線的距離為 ( ) A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】 因為雙曲線的焦距為， 所以，即； 所以其中一個焦點坐標為，漸近線方程為， 所以焦點到漸近線的距離為. 故選B 13．（安徽省黃山市2019屆高三第一次質量檢測一模數(shù)學理）直線與軸的交點為,點把圓的直徑分為兩段，則較長一段比上較短一段的值等于 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】 令代入可得，圓心坐標為， 則與圓心的距離為，半徑為6， 可知較長一段為8，較短一段4，則較長一段比上較短一段的值等于2。 故答案為A. 14．（廣東省惠州市2019屆高三第三次調研考試數(shù)學理）已知直線過點，當直線與圓有兩個交點時，其斜率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 直線為，又直線與圓有兩個交點， 故，∴，故選B． 15．（四川省綿陽市2019屆高三第二次（1月)診斷性考試數(shù)學理）已知是焦距為8的雙曲線的左右焦點，點關于雙曲線的一條漸近線的對稱點為點，若，則此雙曲線的離心率為（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】 如下圖，因為A為F2關于漸近線的對稱點，所以，B為AF2的中點，又O為F1F2的中點，所以，OB為三角形AF1F2的中位線，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1， AF2＝=4，點F2（4,0），漸近線：x， 所以，解得：b＝2，＝2，所以離心率為e＝2, 故選C. 16．（北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習二模數(shù)學理）在極坐標系中，極點到直線的距離為________. 【答案】 【解析】 極坐標方程化為直線方程即：x＋y－2＝0， 極點坐標即（0,0），所以距離為：. 17．（陜西省渭南市2019屆高三二模數(shù)學理）已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____． 【答案】2. 【解析】雙曲線的一條漸近線為 解得： 雙曲線的右焦點為 焦點到這條漸近線的距離為： 本題正確結果： 18．（北京市朝陽區(qū)2019屆高三第一次3月綜合練習一模數(shù)學理）雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離是_____． 【答案】1 【解析】 由題意可知，雙曲線的右焦點坐標為， 漸近線方程為：，即， 則焦點到漸近線的距離為：. 故答案為：． 19．（云南省保山市2019年普通高中畢業(yè)生市級統(tǒng)一檢測理）已知坐標原點為O，過點作直線n不同時為零的垂線，垂足為M，則的取值范圍是______． 【答案】 【解析】 根據(jù)題意，直線，即， 則有，解可得，則直線恒過點． 設，又由與直線垂直，且為垂足， 則點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為， 所以；即的取值范圍是； 故答案為：． 20．（湖南師大附中2019屆高三月考試題數(shù)學理）設雙曲線：的右焦點為，直線為雙曲線的一條漸近線，點關于直線的對稱點為，若點在雙曲線的左支上，則雙曲線的離心率為__________． 【答案】 【解析】 如圖：由點關于直線的對稱點為，可知FHOH，又F(1,0)到漸近線l:y=的距離為，即FH=b，OH=a， ∴PF=2b，PE=2a，由雙曲線的定義可知2b-2a=2a，∴b=2a，又c2＝b2+a2＝5a2， ∴e． 故答案為． 21．（甘肅、青海、寧夏2019屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學理）設，，那么的最小值是__________． 【答案】2 【解析】 由題意，令，原式可化為，其幾何意義是動點和的距離的平方，又曲線與曲線關于直線對稱，過曲線上的點且平行于直線的切線為，過曲線上的點且平行于直線的切線為，則兩切線間的距離為，故的最小值是2. 22．（山東省棲霞市2019屆高三高考模擬卷數(shù)學理）[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為. （1）設是曲線上的一個動瞇，當時，求點到直線的距離的最小值； （2）若曲線上所有的點都在直線的右下方，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由，得到 ， 直線普通方程為： 設，則點到直線的距離： 當時， 點到直線的距離的最小值為 （2）設曲線上任意點，由于曲線上所有的點都在直線的右下方， 對任意恒成立 ，其中，. 從而 由于，解得： 即： 23．（黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學理）已知拋物線的焦點為，過點，斜率為1的直線與拋物線交于點，，且. （1）求拋物線的方程； （2）過點作直線交拋物線于不同于的兩點、，若直線，分別交直線于兩點，求取最小值時直線的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1），直線的方程為， 由，聯(lián)立， 得，， ， ， 拋物線的方程為：. （2）設，，直線的方程為：， 聯(lián)立方程組消元得：， ∴，. ∴ . 設直線的方程為， 聯(lián)立方程組解得， 又，∴. 同理得. ∴ . 令，，則. ∴ . ∴當即時，取得最小值. 此時直線的方程為，即. 24．（湖南省衡陽市2019屆高三第二次聯(lián)考二模)數(shù)學理）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，設為：上的動點，點為在軸上的投影，動點滿足，點的軌跡為曲線.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點，為直線上兩點. （1）求的參數(shù)方程； （2）是否存在，使得的面積為8？若存在，有幾個這樣的點？若不存在，請說明理由. 【答案】（1）（2）見解析 【解析】 （1）設，，則. 由得：. （2）依題，直線：，設點，設點到直線的距離為， . 將代入，得，，. ，∵，故存在符合題意的點，且存在兩個這樣的點. 25．（四川省南充市高三2019屆第二次高考適應性考試高三數(shù)學理）在直角坐標系中,曲線:(為參數(shù),在以為極點; 軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,直線：. (1)若,判斷直線與曲線的位置關系; (2)若曲線上存在點到直線的距離為,求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）相切；（2）. 【解析】 （1）由題意得曲線：（為參數(shù)）， 曲線的直角坐標方程為：，是一個圓，圓心，半徑為. 直線，可得直線l的直角坐標方程為： 圓心到直線的距離，所以直線與圓相切 . （2）由已知可得：圓心到直線的距離， 解得： 26．（湖北省武漢市2019屆高中畢業(yè)生二月調研測試數(shù)學理）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線，曲線． （1）求的直角坐標方程； （2）已知曲線與軸交于兩點，為上任一點，求的最小值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）由，得， 即的直角坐標方程為； 由，得， 即的直角坐標方程為． （2）與軸交于點， 而關于直線的對稱點為， ． 17