中考數(shù)學(xué) 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 題型二 解答題重難點(diǎn)突破 專題四 綜合實(shí)踐與探究試題

專題四　綜合實(shí)踐與探究 縱觀河北8年中考：綜合實(shí)踐與探究是河北每年中考的壓軸題型．結(jié)合幾何圖形如三角形、正方形、圓及正方體考查，一般以簡(jiǎn)單幾何圖形的基本性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行考查．近7年涉及到的考查形式有2016年25題探索半圓在大半圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、2015年的矩形、半圓為背景探索圖形旋轉(zhuǎn)變化中的規(guī)律；2014年以景區(qū)內(nèi)的環(huán)形(正方形)路為背景，考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、方程、列代數(shù)式并比較大小和不等式的實(shí)際應(yīng)用；2013年以正方體容器為背景考查線段的位置關(guān)系、直棱柱的體積、傾斜角、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用等；2012年以三角形為背景，考查列代數(shù)式及線段之間的距離的最值關(guān)系等；2011年以平行線間的半圓為背景，考查點(diǎn)到直線的距離和旋轉(zhuǎn)角等；2010年以轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械裝置為背景，考查點(diǎn)之間的最值、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與直線的距離等；2009年以圓為背景，結(jié)合規(guī)律探究考查；難度一般較大，考查學(xué)生綜合能力，具有選拔性． 此類題目前幾問一般比較簡(jiǎn)單，解決后面問題往往會(huì)套用前面問題的解題思路，則將問題變?yōu)閺暮?jiǎn)單逐漸到難的過程，從而解決問題．做題時(shí)，需要將后面的問題與前面的問題對(duì)比，才能輕松得解． 預(yù)計(jì)2017年河北中考，依然會(huì)以簡(jiǎn)單幾何圖形為背景進(jìn)行運(yùn)動(dòng)化，考查學(xué)生綜合分析以及運(yùn)用函數(shù)、方程、相似等知識(shí)解決問題的能力，難度會(huì)很大． ,中考重難點(diǎn)突破) 　探究與拓展 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例1】(2015河北中考)平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ＝60，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.讓線段OD及矩形ABCD的位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0≤α≤60)． 發(fā)現(xiàn)　 (1)當(dāng)α＝0，即初始位置時(shí)，點(diǎn)P________(選填“在”或“不在”)直線AB上．求當(dāng)α是多少時(shí)，OQ經(jīng)過點(diǎn)B? (2)在OQ旋轉(zhuǎn)過程中，簡(jiǎn)要說明α是多少時(shí)，點(diǎn)P，A間的距離最?。坎⒅赋鲞@個(gè)最小值； (3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，求a及S陰影． 拓展　如圖3，當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM＝x(x＞0)，用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng)，并求x的取值范圍． 探究　當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值． 【學(xué)生解答】發(fā)現(xiàn) (1)在，當(dāng)α＝0時(shí)，如答圖①，過點(diǎn)P作OD的垂線PE交OD于點(diǎn)E.在Rt△OPE中，OE＝OPcos∠DOQ＝OPcos60＝2＝1＝OA，則A和E重合，則點(diǎn)P在直線AB上． 如答圖①，連接OB，則在Rt△OAB中，OA＝AB，則△OAB是等腰直角三角形，則∠BOA＝45，則α＝∠POA－∠BOA＝60－45＝15.即當(dāng)α＝15時(shí)，OQ經(jīng)過點(diǎn)B；(2)如圖②，連接AP，OP為定值，而OA＋AP≥OP，即可判斷當(dāng)O，A，P共線時(shí)取得最小值．當(dāng)OP過點(diǎn)A，即α＝60時(shí)等號(hào)成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1，∴α＝60時(shí)，P，A間的距離最小，PA的最小值為1. (3)如答圖②，設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E.在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30，∴α＝60－30＝30.∵AD∥BC，∴∠RPO＝∠POH＝30，∴∠RKQ＝230＝60，∴S扇形KRQ＝＝，在Rt△RKE中，RE＝RKsin60＝，∴S△PRK＝REPK＝，∴S陰影＝＋. 拓展 ：∵∠ANO＝∠BNM，∠OAN＝∠MBN，∴△OAN∽△MBN，∴＝，即＝，解得BN＝. 如答圖③，當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，x取最大值．作QF⊥AD于點(diǎn)F.BQ＝AF＝－AO＝－1＝2－1.∴x的范圍是0<x≤2－1.即BN＝(0≤x≤2－1)； 探究　半圓K與矩形ABCD的邊相切有三種情況：與BC相切、與AD相切、與CD相切，再依據(jù)相切，畫出圖形，并構(gòu)造Rt△OKG，運(yùn)用∠KOG的正弦的定義，求得KO與KG即可．①當(dāng)半圓K與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是T，如答圖④，設(shè)直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別相交于點(diǎn)S、O′，作KG⊥OO′于點(diǎn)G，則∠KSO＝∠KTB＝90，在Rt△OSK中，OS＝＝＝2，在Rt△OSO′中，SO′＝OStan60＝2，KQ′＝2－，在Rt△KGO′中，∠O′＝30，∴KG＝KO′＝－，∴在Rt△OGK中，sinα＝＝＝.②當(dāng)半圓K與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是T，如答圖⑤.同理可得：sinα＝＝＝＝＝.③當(dāng)半圓k與CD相切時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn)，∴α＝60，∴sinα＝sin60＝，綜上，sinα的值是或或. 【方法指導(dǎo)】解決本題的難點(diǎn)在于正確分析半圓K與矩形ABCD的邊相切的三種情況，并借助直角三角形的邊角關(guān)系求出α的對(duì)邊與斜邊．要畫出圓相切時(shí)的情形，并過圓心K作OO′的垂線． 1．(2015河南中考)如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90，BC＝2AB＝8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE.將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α. (1)問題發(fā)現(xiàn) ①當(dāng)α＝0時(shí)，＝________； ②當(dāng)α＝180時(shí)，＝________． (2)拓展探究 試判斷：當(dāng)0≤α<360時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖②的情形給出證明． (3)問題解決 當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng)． 解：(1)①當(dāng)α＝0.∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，∴DE＝AB＝2，AE＝EC.∵∠B＝90，∴AC＝＝＝4，∴AE＝CE＝2，∴＝＝.②當(dāng)α＝180.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得CE＝2，CD＝4.∵AC＝4，BC＝8，∴＝＝＝.填空：；. (2)當(dāng)0≤α≤360時(shí)，的大小沒有變化．∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB.又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝. (3)①如答圖①.∵AC＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝＝8.∴AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4. ②如答圖②，連接AD，BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P.∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝＝8，在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA(SSS)，∴BP＝DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ，∴四邊形BDQP為矩形，∴BD＝PQ＝AC－AP－CQ＝4－－＝. 2．(2012河北中考)如圖①和圖②，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝. 探究　如圖①，AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH＝________， AC＝________，△ABC的面積S△ABC＝________． 拓展　如圖②，點(diǎn)D在AC上(可與點(diǎn)A，C重合), 分別過點(diǎn)A，C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn).設(shè)BD＝x, AE＝m，CF＝n(當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí)，我們認(rèn)為S△ABD＝0) . (1)用含x，m或n的代數(shù)式表示S△ABD及S△CBD； (2)求(m＋n)與x的函數(shù)關(guān)系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； (3)對(duì)給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的取值范圍． 發(fā)現(xiàn)　請(qǐng)你確定一條直線，使得A，B，C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小(不必寫出過程)，并寫出這個(gè)最小值． 解：探究：12；15；84. 拓展　(1)由三角形面積公式，得S△ABD＝mx，S△CBD＝nx； (2)由(1)得m＝，n＝，∴m＋n＝＋＝.由于AC邊上的高為＝＝，∴x的取值范圍是≤x≤14.∵(m＋n)隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝時(shí)，(m＋n)的最大值為15.當(dāng)x＝14時(shí)，(m＋n)的最小值為12；(3)x的取值范圍是x＝或13<x≤14. 發(fā)現(xiàn)　AC所在的直線，最小值為. 3．(2014河北中考)某景區(qū)內(nèi)的環(huán)形路是邊長(zhǎng)為800 m的正方形ABCD，如圖①和圖②.現(xiàn)有1號(hào)、2號(hào)兩游覽車分別從出口A和景點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，1號(hào)車順時(shí)針、2號(hào)車逆時(shí)針沿環(huán)形路連續(xù)循環(huán)行駛，供游客隨時(shí)免費(fèi)乘車(上、下車的時(shí)間忽略不計(jì))，兩車速度均為200 m/min. 探究　設(shè)行駛時(shí)間為t min. (1)當(dāng)0≤t≤8時(shí)，分別寫出1號(hào)車、2號(hào)車在左半環(huán)線離出口A的路程y1，y2(m)與t(min)的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)兩車相距的路程是400 m時(shí)t的值； ,圖①　　　　　　　　　　圖②) (2)t為何值時(shí)，1號(hào)車第三次恰好經(jīng)過景點(diǎn)C？并直接寫出這一段時(shí)間內(nèi)它與2號(hào)車相遇過的次數(shù)． 發(fā)現(xiàn)　如圖②，游客甲在BC上的一點(diǎn)K(不與點(diǎn)B，C重合)處候車，準(zhǔn)備乘車到出口A.設(shè)CK＝x m. 情況一：若他剛好錯(cuò)過2號(hào)車，便搭乘即將到來的1號(hào)車； 情況二：若他剛好錯(cuò)過1號(hào)車，便搭乘即將到來的2號(hào)車． 比較哪種情況用時(shí)較多？(含候車時(shí)間) 決策　已知游客乙在DA上從D向出口A走去，步行的速度是50 m/min.當(dāng)行進(jìn)到DA上一點(diǎn)P(不與點(diǎn)D，A重合)時(shí)，剛好與2號(hào)車迎面相遇． (1)他發(fā)現(xiàn)，乘1號(hào)車會(huì)比乘2號(hào)車到出口A用時(shí)少，請(qǐng)你簡(jiǎn)要說明理由； (2)設(shè)PA＝s(0＜s＜800)m.若他想盡快到達(dá)出口A，根據(jù)s的大小，在等候乘1號(hào)車還是步行這兩種方式中，他該如何選擇？ 解：探究：(1)根據(jù)題意得：y1＝200t(0≤t≤8)，y2＝1600－200t(0≤t≤8)，當(dāng)兩車相距的路程是400 m時(shí)，可得|y1－y2|＝400，即|200t－(1600－200t)|＝400，∴(1600－200t)－200t＝400或200t－(1600－200t)＝400，∴t1＝3或t2＝5.答：相遇前，相距400 m時(shí)，t為3 min；相遇后，相距400 m時(shí)，t為5 min；(2)第一次經(jīng)過點(diǎn)C，從A到C，需要1600200＝8 min；第二次經(jīng)過點(diǎn)C，從C到D到A，再?gòu)腁到C，需要16 min；第三次與第二次相同，因此t＝8＋16＋16＝40(min)．由于兩車速度相同，出發(fā)時(shí)間相同，第一次在B處相遇，過了4 min；第二次在D處相遇，過了8 min，第三次在B處相遇，又過了8 min，因此(40－4)8＝4……4，即4＋1＝5次．答：在40 min內(nèi)，它與2號(hào)車相遇了5次．發(fā)現(xiàn)：解：情況一用時(shí)為：＝16－；情況二用時(shí)為：＝16＋.∵16－＜16＜16＋(x＞0)，∴情況二用時(shí)較多． 決策：(1)由題意知，此時(shí)1號(hào)車正行駛在CD邊上，乘1號(hào)車到達(dá)點(diǎn)A的路程小于1個(gè)邊長(zhǎng)，而乘2號(hào)車的路程卻大于3個(gè)邊長(zhǎng)，所以乘1號(hào)車比乘2號(hào)車到出口A用時(shí)少(兩車速相同)；(2)若步行比乘1號(hào)車用時(shí)少，則＜.解得s＜320.∴當(dāng)0＜s＜320時(shí)，選擇步行．同理可得當(dāng)320＜s＜800時(shí)，選擇乘1號(hào)車．當(dāng)s＝320時(shí)，選擇步行或乘1號(hào)車． 　思考與探究 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例2】(2011河北中考)如圖①至圖④中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)． 思考：如圖①，圓心為O的半圓形紙片在AB，CD之間(包括AB，CD)，其直徑MN在AB上，MN＝8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)∠MOP＝α.當(dāng)α＝____時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為____． 探究一：在圖①的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖②，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝____，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是____． 探究二：將圖①中的扇形紙片MOP按下面對(duì)α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)． (1)如圖③，當(dāng)α＝60時(shí)，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P到CD的最小距離，并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值； (2)如圖④，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點(diǎn)P能落在直線CD上，請(qǐng)確定α的取值范圍．(參考數(shù)據(jù)：sin49＝，cos41＝，tan37＝) 【解析】思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，以及切線的性質(zhì)定理，直接得出答案．探究一：根據(jù)MN＝8，MO＝4，OY＝4，得出UO＝2，即可得出最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝30，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是2；　探究二：(1)由已知得出M與P的距離為4，PM⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的最大距離是4，從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6－4＝2，即可得出∠BMO的最大值；(2)分別求出α最大值為∠OMH＋∠OHM＝30＋90以及最小值α＝2∠MOH，即可得出α的取值范圍． 【學(xué)生解答】思考：90，2；　解法提示：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng)α＝90時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小，∵M(jìn)N＝8，∴OP＝4，∴點(diǎn)P到CD的距離最小值為：6－4＝2.　探究一：30，2；解法提示：∵點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如解圖①.∵M(jìn)N＝8，MO＝4，OY＝4，∴UO＝2，∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝30，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是2； 探究二：(1)∵α＝60，∴△MOP是等邊三角形，∴MO＝MP＝4，∴PM⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的最大距離是4，由已知得出M與P的距離為4，從而得到點(diǎn)P到CD的最小距離為6－4＝2，當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時(shí)，弧MP與AB相切，切點(diǎn)為M.此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90；(2)如解圖②，由探究一可知，點(diǎn)P是與CD的切點(diǎn)時(shí)，α達(dá)到最大，即OP⊥CD，此時(shí)，延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)H，α最大值為∠OMH＋∠OHM＝30＋90＝120.如解圖③，當(dāng)點(diǎn)P在CD上且與AB距離最小時(shí)，MP⊥CD，α達(dá)到最小，連接MP，作OH⊥MP于點(diǎn)H，由垂徑定理，得MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，∴sin∠MOH＝＝，∴∠MOH＝49.∵α＝2∠MOH，∴α最小為98.∴α的取值范圍是98≤α≤120. 4．(2016石家莊二十八中二模)問題提出　學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究． 初步思考　我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究． 深入探究　第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF. (1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90，根據(jù)________可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二種情況：當(dāng)∠ABC是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF. (2)如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF. 第三種情況：當(dāng)∠ABC是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等． (3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不寫作法，保留作圖痕跡) (4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，若________，則△ABC≌△DEF. 解：(1)HL； (2)如答圖①，過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H.∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是鈍角，∴180－∠ABC＝180－∠DEF，即∠CBG＝∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH(AAS)，∴CG＝FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)；(3)如答圖②，以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與和△ABC不全等；(4)本題答案不唯一．如∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF. 5．(2016邯鄲二十三中二模)某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB＝8. 問題思考　如圖①，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE. (1)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和是定值嗎？如果是，求出這個(gè)值；若不是，求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值． (2)分別連接AD，DF，AF，AF交DP于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在△APK，△ADK，△DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請(qǐng)說明理由． 問題拓展　(3)如圖②，以AB為邊作正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P，Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)． (4)如圖③，在“問題思考”中，若點(diǎn)M，N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM＝BM＝1，點(diǎn)G，H分別是邊CD，EF的中點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)及OM＋OB的最小值． 解：?jiǎn)栴}思考　(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值．設(shè)AP＝x，則PB＝8－x，根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和為x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∴當(dāng)x＝4時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，最小值為32；(2)存在兩個(gè)面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK.依題意畫出圖形，如圖①所示． 設(shè)AP＝a，則PB＝BF＝8－a.∵PE∥BF，∴＝，即＝，∴PK＝，∴DK＝PD－PK＝a－＝，∴S△APK＝PKPA＝a＝，S△DFK＝DKEF＝(8－a)＝，∴S△APK＝S△DFK；問題拓展　(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上，若點(diǎn)P在點(diǎn)A，點(diǎn)Q在點(diǎn)D，此時(shí)PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn)；若點(diǎn)Q在DA邊上，且不在點(diǎn)D，則點(diǎn)P在AB上，且不在點(diǎn)A.此時(shí)在Rt△APQ中，O為PQ的中點(diǎn)，∴AO＝PQ＝4.∴點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90的圓弧上．PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90的圓弧，如圖②所示．∴PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)為：2π4＝6π；(4)如答圖③所示，分別過點(diǎn)G作GR⊥AB于點(diǎn)R，過點(diǎn)O作OS⊥AB于點(diǎn)S，過點(diǎn)H作HT⊥AB于點(diǎn)T.∵點(diǎn)O為線段GH中點(diǎn)，四邊形GRTH為直角梯形，∴OS＝(GR＋HT)＝(AP＋PB)＝4，即OS的長(zhǎng)度為定值，∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上．∵M(jìn)N＝8－1－1＝6，點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)O為線段GH的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為線段XY，XY＝MN＝3，∴點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，GH所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為3.∵XY∥AB且平行的距離為4，如答圖④所示，作M點(diǎn)關(guān)于XY所在直線的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接MM′，M′B，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)之間的線段被對(duì)稱軸垂直平分性質(zhì)可得OM＝OM′，∴OM＋OB的最小值為M′B的長(zhǎng)度，在Rt△M′MB中，由勾股定理得：MM′2＋MB2＝M′B2，∴M′B＝＝，∴OM＋OB的最小值為. 6．(2015湖州中考)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某學(xué)習(xí)小組對(duì)有一內(nèi)角為120的平行四邊形ABCD(∠BAD＝120)進(jìn)行探究：將一塊含60的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)(不包括線段的端點(diǎn))． (1)初步嘗試 如圖1，若AD＝AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE＋AF＝AC； (2)類比發(fā)現(xiàn) 如圖2，若AD＝2AB，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，求證：AE＝2FH； (3)深入探究 如圖3，若AD＝3AB，探究得：的值為常數(shù)t，則t＝________． 證明：(1)①在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝120，∴∠D＝∠B＝60.∵AD＝AB，∴△ABC和△ACD均為等邊三角形，∴∠B＝∠CAD＝60，∠ACB＝60，BC＝AC.∵∠ECF＝60，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACF＋∠ACE＝60，∴∠BCE＝∠ACF，∴△BCE≌△ACF；②∵△BCE≌△ACF，∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB＝AC；(2)設(shè)DH＝x，由題易得CD＝2x，CH＝x，∴AD＝2AB＝4x，∴AH＝AD－DH＝3x.∵CH⊥AD，∴AC＝＝2x，∴AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90，∴∠BAC＝∠ACD＝90，∴∠CAD＝30，∴∠ACH＝60.∵∠ECF＝60，∴∠HCF＋∠ACF＝∠ACE＋∠ACF，∴∠HCF＝∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴＝＝2，∴AE＝2FH；(3). 7．(2016河北石家莊二十八中三模)如圖1，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，O不重合)，AP的延長(zhǎng)線交半圓O于點(diǎn)D，其中OA＝4. (1)判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說明理由； (2)連接OD，當(dāng)OD與半圓C相切時(shí)，求的長(zhǎng)； (3)過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E(如圖2)，設(shè)AP＝x，OE＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍． 解：(1)AP＝PD.理由如下：如圖①，連接OP.∵OA是半圓C的直徑，∠APO＝90，即OP⊥AD.又OA＝OD，∴AP＝PD； (2)如圖①，連接PC，OD.∵OD是半圓C的切線，∴∠AOD＝90.則(1)知，AP＝PD.又AC＝OC，∴CP∥OD，∴∠ACP＝∠AOD＝90，∴的長(zhǎng)為＝π；(3)分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E落在OA上(即0<x≤2)時(shí)，如圖②所示，連接OP，則∠APO＝∠AED.又∠A＝∠A，∴△APO∽△AED，∴＝.∵AP＝x，AO＝4，AD＝2x，AE＝4－y，∴＝，∴y＝－x2＋4(0<x≤2)；②當(dāng)點(diǎn)E落在線段OB上(即2<x<4)時(shí)，如圖③所示，連接OP.同①，可得△APO∽△AED，∴＝.∵AP＝x，AO＝4，AD＝2x，AE＝4＋y，∴＝，∴y＝x2－4(2<x<4)．