中考數(shù)學(xué) 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 題型二 解答題重難點(diǎn)突破 專題四 綜合實(shí)踐與探究試題
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中考數(shù)學(xué) 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 題型二 解答題重難點(diǎn)突破 專題四 綜合實(shí)踐與探究試題
專題四 綜合實(shí)踐與探究
縱觀河北8年中考:綜合實(shí)踐與探究是河北每年中考的壓軸題型.結(jié)合幾何圖形如三角形、正方形、圓及正方體考查,一般以簡(jiǎn)單幾何圖形的基本性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行考查.近7年涉及到的考查形式有2016年25題探索半圓在大半圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、2015年的矩形、半圓為背景探索圖形旋轉(zhuǎn)變化中的規(guī)律;2014年以景區(qū)內(nèi)的環(huán)形(正方形)路為背景,考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、方程、列代數(shù)式并比較大小和不等式的實(shí)際應(yīng)用;2013年以正方體容器為背景考查線段的位置關(guān)系、直棱柱的體積、傾斜角、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用等;2012年以三角形為背景,考查列代數(shù)式及線段之間的距離的最值關(guān)系等;2011年以平行線間的半圓為背景,考查點(diǎn)到直線的距離和旋轉(zhuǎn)角等;2010年以轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械裝置為背景,考查點(diǎn)之間的最值、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與直線的距離等;2009年以圓為背景,結(jié)合規(guī)律探究考查;難度一般較大,考查學(xué)生綜合能力,具有選拔性.
此類題目前幾問一般比較簡(jiǎn)單,解決后面問題往往會(huì)套用前面問題的解題思路,則將問題變?yōu)閺暮?jiǎn)單逐漸到難的過程,從而解決問題.做題時(shí),需要將后面的問題與前面的問題對(duì)比,才能輕松得解.
預(yù)計(jì)2017年河北中考,依然會(huì)以簡(jiǎn)單幾何圖形為背景進(jìn)行運(yùn)動(dòng)化,考查學(xué)生綜合分析以及運(yùn)用函數(shù)、方程、相似等知識(shí)解決問題的能力,難度會(huì)很大.
,中考重難點(diǎn)突破)
探究與拓展
【經(jīng)典導(dǎo)例】
【例1】(2015河北中考)平面上,矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放,分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O,且∠DOQ=60,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.讓線段OD及矩形ABCD的位置固定,將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0≤α≤60).
發(fā)現(xiàn)
(1)當(dāng)α=0,即初始位置時(shí),點(diǎn)P________(選填“在”或“不在”)直線AB上.求當(dāng)α是多少時(shí),OQ經(jīng)過點(diǎn)B?
(2)在OQ旋轉(zhuǎn)過程中,簡(jiǎn)要說明α是多少時(shí),點(diǎn)P,A間的距離最?。坎⒅赋鲞@個(gè)最小值;
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí),求a及S陰影.
拓展 如圖3,當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M,與BA邊交于點(diǎn)N時(shí),設(shè)BM=x(x>0),用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng),并求x的取值范圍.
探究 當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí),求sinα的值.
【學(xué)生解答】發(fā)現(xiàn) (1)在,當(dāng)α=0時(shí),如答圖①,過點(diǎn)P作OD的垂線PE交OD于點(diǎn)E.在Rt△OPE中,OE=OPcos∠DOQ=OPcos60=2=1=OA,則A和E重合,則點(diǎn)P在直線AB上.
如答圖①,連接OB,則在Rt△OAB中,OA=AB,則△OAB是等腰直角三角形,則∠BOA=45,則α=∠POA-∠BOA=60-45=15.即當(dāng)α=15時(shí),OQ經(jīng)過點(diǎn)B;(2)如圖②,連接AP,OP為定值,而OA+AP≥OP,即可判斷當(dāng)O,A,P共線時(shí)取得最小值.當(dāng)OP過點(diǎn)A,即α=60時(shí)等號(hào)成立.∴AP≥OP-OA=2-1=1,∴α=60時(shí),P,A間的距離最小,PA的最小值為1.
(3)如答圖②,設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R,連接RK,過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H,過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E.在Rt△OPH中,PH=AB=1,OP=2,∴∠POH=30,∴α=60-30=30.∵AD∥BC,∴∠RPO=∠POH=30,∴∠RKQ=230=60,∴S扇形KRQ==,在Rt△RKE中,RE=RKsin60=,∴S△PRK=REPK=,∴S陰影=+.
拓展 :∵∠ANO=∠BNM,∠OAN=∠MBN,∴△OAN∽△MBN,∴=,即=,解得BN=.
如答圖③,當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí),x取最大值.作QF⊥AD于點(diǎn)F.BQ=AF=-AO=-1=2-1.∴x的范圍是0<x≤2-1.即BN=(0≤x≤2-1);
探究 半圓K與矩形ABCD的邊相切有三種情況:與BC相切、與AD相切、與CD相切,再依據(jù)相切,畫出圖形,并構(gòu)造Rt△OKG,運(yùn)用∠KOG的正弦的定義,求得KO與KG即可.①當(dāng)半圓K與BC相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)是T,如答圖④,設(shè)直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別相交于點(diǎn)S、O′,作KG⊥OO′于點(diǎn)G,則∠KSO=∠KTB=90,在Rt△OSK中,OS===2,在Rt△OSO′中,SO′=OStan60=2,KQ′=2-,在Rt△KGO′中,∠O′=30,∴KG=KO′=-,∴在Rt△OGK中,sinα===.②當(dāng)半圓K與AD相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)是T,如答圖⑤.同理可得:sinα=====.③當(dāng)半圓k與CD相切時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合,且為切點(diǎn),∴α=60,∴sinα=sin60=,綜上,sinα的值是或或.
【方法指導(dǎo)】解決本題的難點(diǎn)在于正確分析半圓K與矩形ABCD的邊相切的三種情況,并借助直角三角形的邊角關(guān)系求出α的對(duì)邊與斜邊.要畫出圓相切時(shí)的情形,并過圓心K作OO′的垂線.
1.(2015河南中考)如圖①,在Rt△ABC中,∠B=90,BC=2AB=8,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),連接DE.將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)α=0時(shí),=________;
②當(dāng)α=180時(shí),=________.
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0≤α<360時(shí),的大小有無變化?請(qǐng)僅就圖②的情形給出證明.
(3)問題解決
當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段BD的長(zhǎng).
解:(1)①當(dāng)α=0.∵BC=2AB=8,∴AB=4.∵點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),∴DE=AB=2,AE=EC.∵∠B=90,∴AC===4,∴AE=CE=2,∴==.②當(dāng)α=180.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得CE=2,CD=4.∵AC=4,BC=8,∴===.填空:;.
(2)當(dāng)0≤α≤360時(shí),的大小沒有變化.∵∠ECD=∠ACB,∴∠ECA=∠DCB.又∵==,∴△ECA∽△DCB,∴==.
(3)①如答圖①.∵AC=4,CD⊥AD,∴AD====8.∴AD=BC,AB=DC,∠B=90,∴四邊形ABCD是矩形,∴BD=AC=4.
②如答圖②,連接AD,BD,過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P.∵AC=4,CD=4,CD⊥AD,∴AD====8,在△ABC和△CDA中,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴BP=DQ,BP∥DQ,PQ⊥DQ,∴四邊形BDQP為矩形,∴BD=PQ=AC-AP-CQ=4--=.
2.(2012河北中考)如圖①和圖②,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=.
探究 如圖①,AH⊥BC于點(diǎn)H,則AH=________, AC=________,△ABC的面積S△ABC=________.
拓展 如圖②,點(diǎn)D在AC上(可與點(diǎn)A,C重合), 分別過點(diǎn)A,C作直線BD的垂線,垂足為E,F(xiàn).設(shè)BD=x, AE=m,CF=n(當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí),我們認(rèn)為S△ABD=0) .
(1)用含x,m或n的代數(shù)式表示S△ABD及S△CBD;
(2)求(m+n)與x的函數(shù)關(guān)系式,并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)對(duì)給定的一個(gè)x值,有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D,指出這樣的x的取值范圍.
發(fā)現(xiàn) 請(qǐng)你確定一條直線,使得A,B,C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小(不必寫出過程),并寫出這個(gè)最小值.
解:探究:12;15;84.
拓展 (1)由三角形面積公式,得S△ABD=mx,S△CBD=nx;
(2)由(1)得m=,n=,∴m+n=+=.由于AC邊上的高為==,∴x的取值范圍是≤x≤14.∵(m+n)隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=時(shí),(m+n)的最大值為15.當(dāng)x=14時(shí),(m+n)的最小值為12;(3)x的取值范圍是x=或13<x≤14.
發(fā)現(xiàn) AC所在的直線,最小值為.
3.(2014河北中考)某景區(qū)內(nèi)的環(huán)形路是邊長(zhǎng)為800 m的正方形ABCD,如圖①和圖②.現(xiàn)有1號(hào)、2號(hào)兩游覽車分別從出口A和景點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),1號(hào)車順時(shí)針、2號(hào)車逆時(shí)針沿環(huán)形路連續(xù)循環(huán)行駛,供游客隨時(shí)免費(fèi)乘車(上、下車的時(shí)間忽略不計(jì)),兩車速度均為200 m/min.
探究 設(shè)行駛時(shí)間為t min.
(1)當(dāng)0≤t≤8時(shí),分別寫出1號(hào)車、2號(hào)車在左半環(huán)線離出口A的路程y1,y2(m)與t(min)的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)兩車相距的路程是400 m時(shí)t的值;
,圖① 圖②)
(2)t為何值時(shí),1號(hào)車第三次恰好經(jīng)過景點(diǎn)C?并直接寫出這一段時(shí)間內(nèi)它與2號(hào)車相遇過的次數(shù).
發(fā)現(xiàn) 如圖②,游客甲在BC上的一點(diǎn)K(不與點(diǎn)B,C重合)處候車,準(zhǔn)備乘車到出口A.設(shè)CK=x m.
情況一:若他剛好錯(cuò)過2號(hào)車,便搭乘即將到來的1號(hào)車;
情況二:若他剛好錯(cuò)過1號(hào)車,便搭乘即將到來的2號(hào)車.
比較哪種情況用時(shí)較多?(含候車時(shí)間)
決策 已知游客乙在DA上從D向出口A走去,步行的速度是50 m/min.當(dāng)行進(jìn)到DA上一點(diǎn)P(不與點(diǎn)D,A重合)時(shí),剛好與2號(hào)車迎面相遇.
(1)他發(fā)現(xiàn),乘1號(hào)車會(huì)比乘2號(hào)車到出口A用時(shí)少,請(qǐng)你簡(jiǎn)要說明理由;
(2)設(shè)PA=s(0<s<800)m.若他想盡快到達(dá)出口A,根據(jù)s的大小,在等候乘1號(hào)車還是步行這兩種方式中,他該如何選擇?
解:探究:(1)根據(jù)題意得:y1=200t(0≤t≤8),y2=1600-200t(0≤t≤8),當(dāng)兩車相距的路程是400 m時(shí),可得|y1-y2|=400,即|200t-(1600-200t)|=400,∴(1600-200t)-200t=400或200t-(1600-200t)=400,∴t1=3或t2=5.答:相遇前,相距400 m時(shí),t為3 min;相遇后,相距400 m時(shí),t為5 min;(2)第一次經(jīng)過點(diǎn)C,從A到C,需要1600200=8 min;第二次經(jīng)過點(diǎn)C,從C到D到A,再?gòu)腁到C,需要16 min;第三次與第二次相同,因此t=8+16+16=40(min).由于兩車速度相同,出發(fā)時(shí)間相同,第一次在B處相遇,過了4 min;第二次在D處相遇,過了8 min,第三次在B處相遇,又過了8 min,因此(40-4)8=4……4,即4+1=5次.答:在40 min內(nèi),它與2號(hào)車相遇了5次.發(fā)現(xiàn):解:情況一用時(shí)為:=16-;情況二用時(shí)為:=16+.∵16-<16<16+(x>0),∴情況二用時(shí)較多.
決策:(1)由題意知,此時(shí)1號(hào)車正行駛在CD邊上,乘1號(hào)車到達(dá)點(diǎn)A的路程小于1個(gè)邊長(zhǎng),而乘2號(hào)車的路程卻大于3個(gè)邊長(zhǎng),所以乘1號(hào)車比乘2號(hào)車到出口A用時(shí)少(兩車速相同);(2)若步行比乘1號(hào)車用時(shí)少,則<.解得s<320.∴當(dāng)0<s<320時(shí),選擇步行.同理可得當(dāng)320<s<800時(shí),選擇乘1號(hào)車.當(dāng)s=320時(shí),選擇步行或乘1號(hào)車.
思考與探究
【經(jīng)典導(dǎo)例】
【例2】(2011河北中考)如圖①至圖④中,兩平行線AB,CD間的距離均為6,點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn).
思考:如圖①,圓心為O的半圓形紙片在AB,CD之間(包括AB,CD),其直徑MN在AB上,MN=8,點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn),設(shè)∠MOP=α.當(dāng)α=____時(shí),點(diǎn)P到CD的距離最小,最小值為____.
探究一:在圖①的基礎(chǔ)上,以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心,在AB,CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片,直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止,如圖②,得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=____,此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是____.
探究二:將圖①中的扇形紙片MOP按下面對(duì)α的要求剪掉,使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB,CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn).
(1)如圖③,當(dāng)α=60時(shí),求在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)P到CD的最小距離,并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值;
(2)如圖④,在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中,要保證點(diǎn)P能落在直線CD上,請(qǐng)確定α的取值范圍.(參考數(shù)據(jù):sin49=,cos41=,tan37=)
【解析】思考:根據(jù)兩平行線之間垂線段最短,以及切線的性質(zhì)定理,直接得出答案.探究一:根據(jù)MN=8,MO=4,OY=4,得出UO=2,即可得出最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30,此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是2; 探究二:(1)由已知得出M與P的距離為4,PM⊥AB時(shí),點(diǎn)P到AB的最大距離是4,從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6-4=2,即可得出∠BMO的最大值;(2)分別求出α最大值為∠OMH+∠OHM=30+90以及最小值α=2∠MOH,即可得出α的取值范圍.
【學(xué)生解答】思考:90,2; 解法提示:根據(jù)兩平行線之間垂線段最短,直接得出答案,當(dāng)α=90時(shí),點(diǎn)P到CD的距離最小,∵M(jìn)N=8,∴OP=4,∴點(diǎn)P到CD的距離最小值為:6-4=2. 探究一:30,2;解法提示:∵點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心,在AB,CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片,直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止,如解圖①.∵M(jìn)N=8,MO=4,OY=4,∴UO=2,∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30,此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是2;
探究二:(1)∵α=60,∴△MOP是等邊三角形,∴MO=MP=4,∴PM⊥AB時(shí),點(diǎn)P到AB的最大距離是4,由已知得出M與P的距離為4,從而得到點(diǎn)P到CD的最小距離為6-4=2,當(dāng)扇形MOP在AB,CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時(shí),弧MP與AB相切,切點(diǎn)為M.此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最大,∠BMO的最大值為90;(2)如解圖②,由探究一可知,點(diǎn)P是與CD的切點(diǎn)時(shí),α達(dá)到最大,即OP⊥CD,此時(shí),延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)H,α最大值為∠OMH+∠OHM=30+90=120.如解圖③,當(dāng)點(diǎn)P在CD上且與AB距離最小時(shí),MP⊥CD,α達(dá)到最小,連接MP,作OH⊥MP于點(diǎn)H,由垂徑定理,得MH=3,在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH==,∴∠MOH=49.∵α=2∠MOH,∴α最小為98.∴α的取值范圍是98≤α≤120.
4.(2016石家莊二十八中二模)問題提出 學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
初步思考 我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,對(duì)∠B進(jìn)行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.
深入探究 第一種情況:當(dāng)∠B是直角時(shí),△ABC≌△DEF.
(1)如圖①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90,根據(jù)________可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況:當(dāng)∠ABC是鈍角時(shí),△ABC≌△DEF.
(2)如圖②,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,且∠B、∠E都是鈍角,求證:△ABC≌△DEF.
第三種情況:當(dāng)∠ABC是銳角時(shí),△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角,請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法,保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件,就可以使△ABC≌△DEF?請(qǐng)直接寫出結(jié)論:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角,若________,則△ABC≌△DEF.
解:(1)HL;
(2)如答圖①,過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G,過點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H.∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是鈍角,∴180-∠ABC=180-∠DEF,即∠CBG=∠FEH,在△CBG和△FEH中,∴△CBG≌△FEH(AAS),∴CG=FH,在Rt△ACG和Rt△DFH中,∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),∴∠A=∠D,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(AAS);(3)如答圖②,以點(diǎn)C為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑畫弧,與AB相交于點(diǎn)D,E與B重合,F(xiàn)與C重合,得到△DEF與和△ABC不全等;(4)本題答案不唯一.如∠B≥∠A,則△ABC≌△DEF.
5.(2016邯鄲二十三中二模)某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究,已知AB=8.
問題思考 如圖①,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AP,BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.
(1)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),這兩個(gè)正方形面積之和是定值嗎?如果是,求出這個(gè)值;若不是,求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值.
(2)分別連接AD,DF,AF,AF交DP于點(diǎn)K,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),在△APK,△ADK,△DFK中,是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形?請(qǐng)說明理由.
問題拓展 (3)如圖②,以AB為邊作正方形ABCD,動(dòng)點(diǎn)P,Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng),且PQ=8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中,PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng).
(4)如圖③,在“問題思考”中,若點(diǎn)M,N是線段AB上的兩點(diǎn),且AM=BM=1,點(diǎn)G,H分別是邊CD,EF的中點(diǎn).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中,GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值.
解:?jiǎn)栴}思考 (1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值.設(shè)AP=x,則PB=8-x,根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和為x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32,∴當(dāng)x=4時(shí),這兩個(gè)正方形面積之和有最小值,最小值為32;(2)存在兩個(gè)面積始終相等的三角形,它們是△APK與△DFK.依題意畫出圖形,如圖①所示.
設(shè)AP=a,則PB=BF=8-a.∵PE∥BF,∴=,即=,∴PK=,∴DK=PD-PK=a-=,∴S△APK=PKPA=a=,S△DFK=DKEF=(8-a)=,∴S△APK=S△DFK;問題拓展 (3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上,若點(diǎn)P在點(diǎn)A,點(diǎn)Q在點(diǎn)D,此時(shí)PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn);若點(diǎn)Q在DA邊上,且不在點(diǎn)D,則點(diǎn)P在AB上,且不在點(diǎn)A.此時(shí)在Rt△APQ中,O為PQ的中點(diǎn),∴AO=PQ=4.∴點(diǎn)O在以A為圓心,半徑為4,圓心角為90的圓弧上.PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90的圓弧,如圖②所示.∴PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)為:2π4=6π;(4)如答圖③所示,分別過點(diǎn)G作GR⊥AB于點(diǎn)R,過點(diǎn)O作OS⊥AB于點(diǎn)S,過點(diǎn)H作HT⊥AB于點(diǎn)T.∵點(diǎn)O為線段GH中點(diǎn),四邊形GRTH為直角梯形,∴OS=(GR+HT)=(AP+PB)=4,即OS的長(zhǎng)度為定值,∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上.∵M(jìn)N=8-1-1=6,點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)O為線段GH的中點(diǎn),∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為線段XY,XY=MN=3,∴點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中,GH所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為3.∵XY∥AB且平行的距離為4,如答圖④所示,作M點(diǎn)關(guān)于XY所在直線的對(duì)稱點(diǎn)M′,連接MM′,M′B,根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)之間的線段被對(duì)稱軸垂直平分性質(zhì)可得OM=OM′,∴OM+OB的最小值為M′B的長(zhǎng)度,在Rt△M′MB中,由勾股定理得:MM′2+MB2=M′B2,∴M′B==,∴OM+OB的最小值為.
6.(2015湖州中考)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,某學(xué)習(xí)小組對(duì)有一內(nèi)角為120的平行四邊形ABCD(∠BAD=120)進(jìn)行探究:將一塊含60的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB,AD于點(diǎn)E,F(xiàn)(不包括線段的端點(diǎn)).
(1)初步嘗試
如圖1,若AD=AB,求證:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)類比發(fā)現(xiàn)
如圖2,若AD=2AB,過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H,求證:AE=2FH;
(3)深入探究
如圖3,若AD=3AB,探究得:的值為常數(shù)t,則t=________.
證明:(1)①在平行四邊形ABCD中,∠BAD=120,∴∠D=∠B=60.∵AD=AB,∴△ABC和△ACD均為等邊三角形,∴∠B=∠CAD=60,∠ACB=60,BC=AC.∵∠ECF=60,∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60,∴∠BCE=∠ACF,∴△BCE≌△ACF;②∵△BCE≌△ACF,∴BE=AF,∴AE+AF=AE+BE=AB=AC;(2)設(shè)DH=x,由題易得CD=2x,CH=x,∴AD=2AB=4x,∴AH=AD-DH=3x.∵CH⊥AD,∴AC==2x,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90,∴∠BAC=∠ACD=90,∴∠CAD=30,∴∠ACH=60.∵∠ECF=60,∴∠HCF+∠ACF=∠ACE+∠ACF,∴∠HCF=∠ACE,∴△ACE∽△HCF,∴==2,∴AE=2FH;(3).
7.(2016河北石家莊二十八中三模)如圖1,AB是半圓O的直徑,以O(shè)A為直徑作半圓C,P是半圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,O不重合),AP的延長(zhǎng)線交半圓O于點(diǎn)D,其中OA=4.
(1)判斷線段AP與PD的大小關(guān)系,并說明理由;
(2)連接OD,當(dāng)OD與半圓C相切時(shí),求的長(zhǎng);
(3)過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E(如圖2),設(shè)AP=x,OE=y(tǒng),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.
解:(1)AP=PD.理由如下:如圖①,連接OP.∵OA是半圓C的直徑,∠APO=90,即OP⊥AD.又OA=OD,∴AP=PD;
(2)如圖①,連接PC,OD.∵OD是半圓C的切線,∴∠AOD=90.則(1)知,AP=PD.又AC=OC,∴CP∥OD,∴∠ACP=∠AOD=90,∴的長(zhǎng)為=π;(3)分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)E落在OA上(即0<x≤2)時(shí),如圖②所示,連接OP,則∠APO=∠AED.又∠A=∠A,∴△APO∽△AED,∴=.∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4-y,∴=,∴y=-x2+4(0<x≤2);②當(dāng)點(diǎn)E落在線段OB上(即2<x<4)時(shí),如圖③所示,連接OP.同①,可得△APO∽△AED,∴=.∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4+y,∴=,∴y=x2-4(2<x<4).