高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考小題分項(xiàng)練8 立體幾何 理
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高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考小題分項(xiàng)練8 立體幾何 理
高考小題分項(xiàng)練8 立體幾何
1.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,有下面四個(gè)命題:
(1)α∥β?l⊥m;(2)α⊥β?l∥m;(3)l∥m?α⊥β;(4)l⊥m?α∥β.
其中正確的命題是( )
A.(1)與(2) B.(1)與(3)
C.(2)與(4) D.(3)與(4)
答案 B
解析 ∵直線l⊥平面α,α∥β,∴l(xiāng)⊥平面β,又∵直線m?平面β,∴l(xiāng)⊥m,故(1)正確;∵直線l⊥平面α,α⊥β,
∴l(xiāng)∥平面β,或l?平面β,又∵直線m?平面β,∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交,還可以異面,故(2)錯(cuò)誤;∵直線l⊥平面α,l∥m,∴m⊥α,∵直線m?平面β,∴α⊥β,故(3)正確;∵直線l⊥平面α,l⊥m,∴m∥α或m?α,又∵直線m?平面β,則α與β可能平行也可能相交,故(4)錯(cuò)誤.故選B.
2.已知如圖所示的正方體ABCD—A1B1C1D1,點(diǎn)P、Q分別在棱BB1、DD1上,且=,過(guò)點(diǎn)A、P、Q作截面截去該正方體的含點(diǎn)A1的部分,則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的正(主)視圖的是( )
答案 A
解析 當(dāng)P、B1重合時(shí),正(主)視圖為選項(xiàng)B;當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比到B1近時(shí),正(主)視圖為選項(xiàng)C;當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比到B1遠(yuǎn)時(shí),正(主)視圖為選項(xiàng)D,因此答案為A.
3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B.
C.4 D.
答案 B
解析 由三視圖知幾何體為四棱錐,四棱錐的右邊側(cè)面與底面垂直,其直觀圖如圖.
四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,由側(cè)(左)視圖中等腰三角形的腰長(zhǎng)為,得棱錐的高為=2,∴幾何體的體積V=222=.故選B.
4.設(shè)a,b,l均為直線,α,β均為平面,則下列命題判斷錯(cuò)誤的是( )
A.若l∥α,則α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l平行
B.若α⊥β,則α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與β不垂直
C.若α∥β,則α內(nèi)存在直線m,β內(nèi)存在直線n,使得m⊥n
D.若a⊥l,b⊥l,則a與b不可能垂直
答案 D
解析 由直線與平面平行的性質(zhì)可知A正確;當(dāng)α⊥β時(shí),平面α內(nèi)與兩平面的交線不垂直的直線均與平面β不垂直,故B正確;由兩平面平行的性質(zhì)可知,C正確;當(dāng)a⊥l,b⊥l時(shí),a⊥b可以成立,例如長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條直線就滿足此條件,所以D錯(cuò),故選D.
5.如圖,ABCD—A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方體,S—ABCD是高為1的正四棱錐,若點(diǎn)S,A1,B1,C1,D1在同一球面上,則該球的表面積為( )
A.π B.π
C.π D.π
答案 D
解析 按如圖所示作輔助線,點(diǎn)O為球心,設(shè)OG1=x,則OB1=SO=2-x,同時(shí)由正方體的性質(zhì)知B1G1=,則在Rt△OB1G1中,OB=OG+G1B,即(2-x)2=x2+()2,解得x=,所以球的半徑R=OB1=,所以球的表面積為S=4πR2=π,故選D.
6.如圖,已知平面α∩平面β=l,α⊥β.點(diǎn)A、B是直線l上的兩點(diǎn),點(diǎn)C、D是平面β內(nèi)的兩點(diǎn),且DA⊥l ,CB⊥l,DA=4,AB=6,CB=8.點(diǎn)P是平面α上的一動(dòng)點(diǎn),且有∠APD=∠BPC,則四棱錐P—ABCD的體積的最大值是( )
A.48 B.16 C.24 D. 144
答案 A
解析 由題意知: △PAD,△PBC是直角三角形,
又∠APD=∠BPC,所以△PAD∽△PBC.
因?yàn)镈A=4,CB=8,所以PB=2PA.
作PM⊥AB于點(diǎn)M,則PM⊥β.
令A(yù)M=t,則PA2-t2=4PA2-(6-t)2,
所以PA2=12-4t,
所以PM=,
即為四棱錐的高.
又底面為直角梯形,S=(4+8)6=36,
所以V=36
=12≤124=48.
7.如圖所示是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( )
A.57+24π B.57+15π
C.48+15π D.48+24π
答案 D
解析 本題為圓錐與直四棱柱的組合體.注意表面積分為三部分,圓錐側(cè)面展開(kāi)圖,即扇形面積5=15π;圓錐底面圓,S=πr2=9π;直四棱柱側(cè)面積,344=48,總面積為48+24π.
8.如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A—BEF的體積為定值
D.△AEF的面積與△BEF的面積相等
答案 D
解析 連接BD,則AC⊥BD,BB1⊥AC,
所以AC⊥平面BDD1B1,則AC⊥BE,故A正確;
因?yàn)锽1D1∥平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,故B正確;因?yàn)槿忮FA—BEF的底面是底邊為EF=,高為棱長(zhǎng)BB1=1的△BEF,面積為,三棱錐的高為,所以三棱錐A—BEF的體積是定值,故C正確;顯然△AEF與△BEF有相同的底邊,但B到EF的距離與A到EF的距離不相等,即兩三角形的面積不相等,故D錯(cuò)誤.故選D.
9.已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是( )
A.若α⊥γ,α⊥β,則γ∥β
B.若m∥n,m?α,n?β,則α∥β
C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,則α∥β
D.若m∥n,m∥α,則n∥α
答案 C
解析 由m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,知:
若α⊥γ,α⊥β,則γ與β相交或平行,故A錯(cuò)誤;
若m∥n,m?α,n?β,則α與β相交或平行,故B錯(cuò)誤;
若m∥n,m⊥α,n⊥β,則由線面垂直的性質(zhì)定理得α∥β,故C正確;
若m∥n,m∥α,則n∥α或n?α,故D錯(cuò)誤.故選C.
10.如圖,已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為2,∠A1AD=60,∠BAD=90,平面A1ADD1⊥平面ABCD,則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 延長(zhǎng)AD,過(guò)D1作D1E⊥AD于點(diǎn)E,連接BE.
因?yàn)槠矫鍭1ADD1⊥平面ABCD,平面A1ADD1∩平面ABCD=AD,D1E?平面A1ADD1,所以D1E⊥平面ABCD,即BE為D1B在平面ABCD內(nèi)的射影,所以∠D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角,因?yàn)镈1E=2sin 60=,BE==,所以tan∠D1BE===.故選C.
11.如圖,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)E、F分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AC和EF所成的角為( )
A.30 B.45
C.60 D.90
答案 C
解析 連接BC1,A1C1,A1B,如圖所示:
根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,則∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角,BC1=A1C1=A1B,∴△A1C1B為等邊三角形,故∠A1C1B=60,
故選C.
12.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),現(xiàn)分別沿BE,CE將△ABE,△DCE翻折,使得點(diǎn)A,D重合于F,則此時(shí)二面角E—BC—F的余弦值為( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如圖所示,取BC的中點(diǎn)P,連接EP,F(xiàn)P.
由題意得BF=CF=2,PF⊥BC,
又∵EB=EC==,∴EP⊥BC,
∴∠EPF即為二面角E—BC—F的平面角,
而FP= =,
∴在△EPF中,cos∠EPF=
==,
故選B.
13.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn),那么異面直線OE與AD1所成角的余弦值等于________.
答案
解析 取BC的中點(diǎn)F,連接EF,OF,
由于點(diǎn)O為底面ABCD的中心,點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn),所以EF∥BC1∥AD1,
所以異面直線OE與AD1所成角,即OE與EF所成的角.
平面ABCD⊥平面BCC1B1,
平面ABCD∩BCC1B1=BC,
OF⊥BC,OF?平面ABCD,
所以O(shè)F⊥平面BCC1B1,EF?平面BCC1B1,
所以EF⊥OF.
因?yàn)镋F=,OF=1,
所以O(shè)E===.
所以cos∠FEO===.
14.四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,底面ABCD是矩形,其中AB=3,BC=4,又PA⊥平面ABCD,PA=5,則該球的表面積為_(kāi)_______.
答案 50π
解析 由勾股定理得AC=5,在等腰直角三角形PAC中,PC=2R=5,因此表面積S=4πR2=50π.
15.已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為18,把它沿圖中的虛線折成正六棱柱,當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí),它的外接球的表面積為_(kāi)_______.
答案 13π
解析 設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x,高為y,
則6x+y=9,0<x<1.5,
正六棱柱的體積V=6x2y=(-6x3+9x2),
∴V′=-9x(x-1),
∴令V′=0,則x=0(舍)或x=1.
∵當(dāng)x>1時(shí),V′<0;當(dāng)0<x<1時(shí),V′>0,
∴當(dāng)x=1時(shí),正六棱柱體積最大,此時(shí)y=3.
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心連線的中點(diǎn),則半徑為 =,
∴外接球的表面積為4π=13π.
16.α,β是兩個(gè)平面,AB,CD是兩條線段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一個(gè)條件,就能得出BD⊥EF,現(xiàn)有下列條件:
①AC⊥β;②AC與α,β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF.
其中能成為增加條件的序號(hào)是________.
答案?、佗?
解析 由題意得,AB∥CD,∴A,B,C,D四點(diǎn)共面,
①中,∵AC⊥β,EF?β,∴AC⊥EF,
又∵AB⊥α,EF?α,
∴AB⊥EF,∵AB∩AC=A,∴EF⊥平面ABCD,
又∵BD?平面ABCD,∴BD⊥EF,故①正確;②中,由①可知,若BD⊥EF成立,則有EF⊥平面ABCD,則有EF⊥AC成立,而AC與α,β所成的角相等是無(wú)法得到EF⊥AC的,故②錯(cuò)誤;③中,由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知EF⊥AC,由①可知③正確;④中,仿照②的分析過(guò)程可知④錯(cuò)誤,故填:①③.