高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量練習 理

第3講　平面向量 1．(2016課標全國丙)已知向量＝，＝，則∠ABC等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．120 答案　A 解析　∵||＝1，||＝1， cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30. 2．(2016山東)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 答案　B 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n(tm＋n)＝0，即tmn＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－4，故選B. 3．(2016天津)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則的值為(　　) A．－ B. C. D. 答案　B 解析　如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝， ＝＋＝＋ ＝＝， 所以＝＋. 又＝－， 則＝(－) ＝－2＋2－ ＝2－2－. 又||＝||＝1，∠BAC＝60， 故＝－－11＝. 故選B. 4．(2016浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若對任意單位向量e，均有|ae|＋|be|≤，則ab的最大值是________． 答案　 解析　由已知可得： ≥|ae|＋|be|≥|ae＋be|＝|(a＋b)e|， 由于上式對任意單位向量e都成立． ∴≥|a＋b|成立． ∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝12＋22＋2ab. 即6≥5＋2ab，∴ab≤. 1.考查平面向量的基本定理及基本運算，多以熟知的平面圖形為背景進行考查，多為選擇題、填空題，難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積，以選擇題、填空題為主，難度低；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn). 熱點一　平面向量的線性運算 1．在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化． 2．在用三角形加法法則時，要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所得的向量；在用三角形減法法則時，要保證“同起點”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量． 例1　(1)設(shè)0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan θ＝______. (2)(2016課標全國乙)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　(1)　(2)A 解析　(1)因為a∥b， 所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ. 因為0<θ<， 所以cos θ>0， 得2sin θ＝cos θ，tan θ＝. (2)∵＝3，∴－＝3(－)， 即4－＝3，∴＝－＋. 思維升華　(1)對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底；同時注意共線向量定理的靈活運用．(2)運算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系． 跟蹤演練1　(1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　) A．1 B. C. D. (2)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么等于(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)∵＝＋＝＋， ∴2＝＋， 即＝＋. 故λ＋μ＝＋＝. (2)在△CEF中，有＝＋. 因為點E為DC的中點，所以＝. 因為點F為BC的一個三等分點，所以＝. 所以＝＋＝＋ ＝－，故選D. 熱點二　平面向量的數(shù)量積 1．數(shù)量積的定義：ab＝|a||b|cos θ. 2．三個結(jié)論 (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角， 則cos θ＝＝. 例2　(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，則的值是________． (2)若b＝，|a|＝2|b|，且(a＋b)b＝－2，則向量a，b的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案　(1)22　(2)C 解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因為＝2，所以(＋)(－)＝2，即2－－2＝2. 又因為2＝25，2＝64，所以＝22. (2)b2＝cos2＋cos2 ＝cos2＋sin2＝1， 所以|b|＝1，|a|＝2. 由(a＋b)b＝－2，可得ab＋b2＝－2， 故ab＝－. 故cos〈a，b〉＝＝＝－. 又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故選C. 思維升華　(1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標運算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算． 跟蹤演練2　(1)已知點A，B，C，D在邊長為1的方格點圖的位置如圖所示，則向量在方向上的投影為(　　) A．－ B．－1 C．－ D. (2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為________；的最大值為________． 答案　(1)A　(2)1　1 解析　(1)不妨以點A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，易得＝(－2,3)，＝(4,2)，所以向量在方向上的投影為＝＝－. 故選A. (2)方法一　分別以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系， 則A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以＝(t，－1)(0，－1)＝1. 因為＝(1,0)，所以＝(t，－1)(1,0)＝t≤1， 故的最大值為1. 方法二　由圖知， 無論E點在哪個位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴＝||1＝1， 當E運動到B點時，在方向上的投影最大即為DC＝1， ∴()max＝||1＝1. 熱點三　平面向量與三角函數(shù) 平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件． 例3　已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x(x∈R)． (1)當x∈[0，)時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sin A)與向量n＝(2，sin B)共線，求a，b的值． 解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin(2x＋)＋1， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 因為x∈[0，)， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，]． (2)由f(C)＝2sin(2C＋)＋1＝2， 得sin(2C＋)＝， 而C∈(0，π)，所以2C＋∈(，)， 所以2C＋＝π，解得C＝. 因為向量m＝(1，sin A)與向量n＝(2，sin B)共線， 所以＝. 由正弦定理得＝，① 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos， 即a2＋b2－ab＝9.② 聯(lián)立①②，解得a＝，b＝2. 思維升華　在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題． 跟蹤演練3　已知平面向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，c＝(－cos x，－sin x)，x∈R，函數(shù)f(x)＝a(b－c)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若f＝，求sin α的值． 解　(1)因為a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)， c＝(－cos x，－sin x)， 所以b－c＝(sin x＋cos x，sin x－cos x)， f(x)＝a(b－c)＝sin x(sin x＋cos x)＋cos x(sin x－cos x)． 則f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 則當2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)． 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z. (2)由(1)知，f(x)＝sin， 又f＝， 則sin＝，sin＝. 因為sin2＋cos2＝1， 所以cos＝. 又sin α＝sin ＝sincos ＋cossin ， 所以當cos＝時， sin α＝＋＝； 當cos＝－時，sin α＝－＝. 1．如圖，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量.則等于(　　) A.(a＋b) B.(a＋b) C.(a＋b) D.(a＋b) 押題依據(jù)　平面向量基本定理是向量表示的基本依據(jù)，而向量表示(用基底或坐標)是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)． 答案　C 解析　因為DE∥BC，所以DN∥BM， 則△AND∽△AMB，所以＝. 因為＝， 所以＝. 因為M為BC的中點， 所以＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝＝(a＋b)． 故選C. 2．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，則等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 押題依據(jù)　數(shù)量積是平面向量最重要的概念，平面向量數(shù)量積的運算是高考的必考內(nèi)容，和平面幾何知識的結(jié)合是向量考查的常見形式． 答案　B 解析　∵＝2，圓O的半徑為1，∴||＝， ∴＝(＋)(＋)＝2＋(＋)＋＝()2＋0－1＝－. 3．在△ABC中，＝(cos 32，cos 58)，＝(sin 60sin 118，sin 120sin 208)，則△ABC的面積為(　　) A. B. C. D. 押題依據(jù)　平面向量作為數(shù)學解題工具，通過向量的運算給出條件解決三角函數(shù)問題已成為近幾年高考的熱點． 答案　B 解析　||＝＝＝1， ＝， 所以||＝ ＝. 則＝cos 32cos 28－sin 32sin 28 ＝(cos 32cos 28－sin 32sin 28) ＝cos(32＋28)＝cos 60＝， 故cos〈，〉＝＝＝. 又〈，〉∈[0，180]，所以〈，〉＝60， 故B＝180－〈，〉＝180－60＝120. 故△ABC的面積為 S＝||||sin B ＝1sin 120＝.故選B. 4．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝60，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則的最小值是_____________________________________________________． 押題依據(jù)　本題將向量與平面幾何、最值問題等有機結(jié)合，體現(xiàn)了高考在知識交匯點命題的方向，本題解法靈活，難度適中． 答案　－ 解析　因為＝＋，所以＝(＋)＝＋2.又因為∠AOB＝60，OA＝OB，所以∠OBA＝60，OB＝1.所以＝||cos 120＝－||.所以＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.當且僅當||＝時，取得最小值－. A組　專題通關(guān) 1．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝＋λ，則λ等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　在△ABC中，已知D是AB邊上一點， ∵＝2，＝＋λ，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝. 2．△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)b＝1 D．(4a＋b)⊥ 答案　D 解析　在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b， 得|b|＝2. 又|a|＝1，所以ab＝|a||b|cos 120＝－1， 所以(4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2 ＝4(－1)＋4＝0， 所以(4a＋b)⊥，故選D. 3．在等腰△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC＝2，＝2，＝3，則的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　由已知得到＝(＋)(＋)＝－2＋＋＋2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，AB＝AC＝2，所以＝－22＋0＋0＋22＝－， 故選A. 4．已知向量a，b滿足(a＋2b)(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)a與b的夾角為θ，∵(a＋2b)(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，∴1＋ab－8＝－6， ∴ab＝1＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故選B. 5．已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)滿足|a|＝3，且b與b－a的夾角為30，則|b|的最大值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　令＝a，＝b，則b－a＝－＝，如圖， ∵b與b－a的夾角為30，∴∠OBA＝30， ∵|a|＝||＝3，∴由正弦定理＝得，|b|＝||＝6sin∠OAB≤6，故選C. 6．若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比值為________． 答案　 解析　設(shè)AB的中點為D， 由5＝＋3，得3－3＝2－2， 即3＝2. 如圖所示，故C，M，D三點共線，且＝， 也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5， 則△ABM與△ABC的面積比值為. 7．設(shè)向量＝(5＋cos θ，4＋sin θ)，＝(2,0)，則||的取值范圍是________． 答案　[4,6] 解析　∵＝－＝(－3－cos θ，－4－sin θ)， ∴||2＝(－3－cos θ)2＋(－4－sin θ)2 ＝6cos θ＋8sin θ＋26＝10sin(θ＋φ)＋26， 其中tan φ＝， ∴16≤||2≤36，∴4≤||≤6. 8．設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量積a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，點P(x，y)在y＝sin x的圖象上運動，Q是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點，且滿足＝m?＋n(其中O為坐標原點)，則函數(shù)y＝f(x)的值域是________． 答案　[－，] 解析　令Q(c，d)，由新的運算可得＝m?＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)， ∴消去x得d＝sin(c－)， ∴y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]． 9．已知函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋sin2x＋(x∈R)． (1)當x∈時，求函數(shù)f(x)的最小值和最大值； (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c＝，f(C)＝2，若向量m＝(1，a)與向量n＝(2，b)共線，求a，b的值． 解　(1)∵函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋sin2x＋ (x∈R)， ∴f(x)＝sin 2x＋＋ ＝sin 2x－cos 2x＋1 ＝sin＋1. ∵－≤x≤，∴－≤2x－≤， ∴－≤sin≤1， ∴1－≤sin＋1≤2， ∴f(x)的最小值是1－，最大值是2. (2)∵f(C)＝sin＋1＝2， ∴sin＝1，∵0<C<π， ∴－<2C－<， ∴2C－＝，解得C＝. ∵向量m＝(1，a)與向量n＝(2，b)共線， ∴b－2a＝0，即b＝2a.① 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos ， 即a2＋b2－ab＝3.② 由①②得a＝1，b＝2. 10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π. (1)若α＝，求函數(shù)f(x)＝bc的最小值及相應(yīng)x的值； (2)若a與b的夾角為，且a⊥c，求tan 2α的值． 解　(1)∵b＝(cos x，sin x)， c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝， ∴f(x)＝bc ＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α ＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)． 令t＝sin x＋cos x， 則2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<. 則y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<， ∴t＝－時，ymin＝－，此時sin x＋cos x＝－， 即sin＝－， ∵<x<π，∴<x＋<π， ∴x＋＝π，∴x＝. ∴函數(shù)f(x)的最小值為－，相應(yīng)x的值為. (2)∵a與b的夾角為， ∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x ＝cos(x－α)． ∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝. ∵a⊥c， ∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0， ∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0， 即sin＋2sin 2α＝0. ∴sin 2α＋cos 2α＝0， ∴tan 2α＝－. B組　能力提高 11．已知非零單位向量a與非零向量b滿足|a＋b|＝|a－b|，則向量b－a在向量a上的投影為(　　) A．1 B. C．－1 D．－ 答案　C 解析　因為|a＋b|＝|a－b|， 所以(a＋b)2＝(a－b)2， 解得ab＝0，所以向量b－a在向量a上的投影為|b－a|cos〈a，b－a〉＝＝ ＝－|a|＝－1. 12．(2015課標全國Ⅰ)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若<0，則y0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意知a＝，b＝1，c＝， ∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， ∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． ∵<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0， 即x－3＋y<0.∵點M(x0，y0)在雙曲線上， ∴－y＝1，即x＝2＋2y， ∴2＋2y－3＋y<0，∴－<y0<.故選A. 13．對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α°β＝.若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈，且a°b和b°a都在集合{|n∈Z}中，則a°b＝________. 答案　 解析　因為a°b＝＝cos θ≥cos θ>，b°a＝＝cos θ≤cos θ<1，又a°b和b°a都在集合{|n∈Z}中，所以b°a＝cos θ＝，即＝， 所以a°b＝cos θ＝2cos2θ<2，又2cos2θ>1， 所以1<a°b<2，即a°b＝. 14．在直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上． (1)若＋＋＝0，求||； (2)設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 解　(1)方法一　∵＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)， ∴解得 即＝(2,2)，故||＝2. 方法二　∵＋＋＝0， 則(－)＋(－)＋(－)＝0， ∴＝(＋＋)＝(2,2)，∴||＝2. (2)∵＝m＋n， ∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴ 兩式相減得，m－n＝y(tǒng)－x. 令y－x＝t，由圖知，當直線y＝x＋t過點B(2,3)時，t取得最大值1，故m－n的最大值為1.