（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第17講 函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題練習(xí)

第17講 函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 A級(jí)——高考保分練 1．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因?yàn)閤>1，所以此時(shí)方程無(wú)解．綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0. 答案：0 2．(2019·南通一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋a的零點(diǎn)為1，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____． 解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－. 答案：－ 3．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則三個(gè)零點(diǎn)之和為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則其和必為0. 答案：0 4．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由x2－ax＋1＝0得a＝x＋，其中x∈.∵函數(shù)y＝x＋在上為減函數(shù)，在(1,3)上為增函數(shù)，∴ymin＝2，ymax＝，∴a∈. 答案： 5．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)有________個(gè)． 解析：∵f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，∴函數(shù)f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn)． 答案：1 6．(2019·常州一中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝－log4x的零點(diǎn)為x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k為整數(shù)，則k的值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閒(2)＝1－log42＝>0，f(3)＝－log43＝log4<0，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以k＝2. 答案：2 7．(2019·連云港調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝－x＋b有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：由已知，函數(shù)f(x)＝－x＋b有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝x－b和y＝的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，如圖，其中與半圓相切的直線方程為y＝x＋2，過(guò)點(diǎn)(0，)的直線方程為y＝x＋，所以滿足條件的b的取值范圍是b＝－2或－<b≤ . 答案：{－2}∪(－，] 8．已知函數(shù)f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解析：依題意得 由此解得b＝－4，c＝－2.由g(x)＝0得f(x)＋x＝0， 該方程等價(jià)于① 或② 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2. 因此，函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 答案：3 9．已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|.若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析：　方程f(x)＝k化為方程e|x|＝k－|x|.令y＝e|x|，y＝k－|x|，y＝k－|x|表示過(guò)點(diǎn)(0，k)，斜率為1或－1的平行折線系，折線與曲線y＝e|x|恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，有k＝1，如圖．若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________． 解析：當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝ex(x＋1)，則f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)>0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2,0)，由f′(x)<0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2)，且易知x<－1時(shí)，f(x)<0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．要使函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個(gè)零點(diǎn)，即f(x)＝b有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝b有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(0,1]． 答案： (0,1] 11．已知y＝f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x. (1)寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x. 又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以f(x)＝ (2)方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，即y＝f(x)與y＝a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)． 作出y＝f(x)與y＝a的圖象如圖所示，故若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，只需－1＜a＜1， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1,1)． 12．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a， (1)判斷命題：“對(duì)于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有實(shí)數(shù)根”的真假，并寫(xiě)出判斷過(guò)程； (2)若y＝f(x)在區(qū)間(－1,0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)“對(duì)于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有實(shí)數(shù)根”是真命題．依題意，f(x)＝1有實(shí)根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有實(shí)根，因?yàn)棣ぃ?2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0對(duì)于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有實(shí)根，從而f(x)＝1必有實(shí)根． (2)依題意，要使y＝f(x)在區(qū)間(－1,0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，只需即解得＜a＜. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. B級(jí)——難點(diǎn)突破練 1．已知x∈R，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x)＝－a(x＞0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝－a＝－a，當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝－a＝－a，當(dāng)2≤x<3時(shí)，f(x)＝－a＝－a，….f(x)＝－a的圖象是把y＝的圖象進(jìn)行縱向平移而得到的，畫(huà)出y＝的圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可知a∈. 答案： 2．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足條件f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，若函數(shù)g(x)＝|f(x)|－ae－|x|在區(qū)間[－2 020,2 020]上有4 036 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵f(x)滿足條件f(1＋x)＝f(1－x)且為奇函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，且f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，∴－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期為4.令m(x)＝|f(x)|，n(x)＝ae－|x|，畫(huà)出m(x)、n(x)的圖象如圖，可知m(x)與n(x)為偶函數(shù)，且要使m(x)與n(x)圖象有交點(diǎn)，需a＞0，由題意知要滿足g(x)在區(qū)間[－2 020，2 020]上有4 036個(gè)零點(diǎn)，只需m(x)與n(x)的圖象在[0,4]上有兩個(gè)交點(diǎn)，則可得e＜a＜e3. 答案：(e，e3) 3．已知函數(shù)f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最小值． 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－1－2ln x， 則f′(x)＝1－，其中x∈(0，＋∞)． 由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2， 故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)增區(qū)間為(2，＋∞)． (2)f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a＝(2－a)(x－1)－2ln x， 令m(x)＝(2－a)(x－1)，h(x)＝2ln x，其中x＞0， 則f(x)＝m(x)－h(huán)(x)． ① 當(dāng)a＜2時(shí)，m(x)在上為增函數(shù)，h(x)在上為增函數(shù)， 結(jié)合圖象知，若f(x)在上無(wú)零點(diǎn)， 則m≥h，即(2－a)≥2ln， 所以a≥2－4ln 2，所以2－4ln 2≤a＜2. ② 當(dāng)a≥2時(shí)，在上，m(x)≥0，h(x)＜0， 所以f(x)＞0，所以f(x)在上無(wú)零點(diǎn)． 由①②得a≥2－4ln 2，所以amin＝2－4ln 2. 4．設(shè)函數(shù)fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R，k∈Z)． (1)若fk(x)是偶函數(shù)，求k的值； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝λf0(x)－f2(2x)－2，若g(x)在x∈[1，＋∞)上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 解：(1)因?yàn)閒k(x)是偶函數(shù)， 所以fk(－x)＝fk(x)恒成立， 即2－x＋(k－1)·2x＝2x＋(k－1)·2－x， 即(k－2)(22x－1)＝0恒成立，所以k＝2. (2)函數(shù)g(x)＝λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2在x∈[1, ＋∞)上有零點(diǎn)，即λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2＝0在x∈[1，＋∞)有解， 因?yàn)閤∈[1，＋∞)，所以2x－2－x>0， 所以問(wèn)題等價(jià)于λ＝在x∈[1，＋∞)有解． 令p＝2x，則p≥2，令u＝p－， 則u在p∈[2，＋∞)上單調(diào)遞增， 因此u≥，λ＝. 設(shè)r(u)＝＝u＋， 則r′(u)＝1－，令r′(u)＝0，得u＝2， 故r(u)在上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以函數(shù)r(u)在u＝2時(shí)取得最小值，且最小值r(2)＝4, 所以r(u)∈[4，＋∞)， 從而滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[4，＋∞)． - 6 -