(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第17講 函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題練習(xí)
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(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第17講 函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題練習(xí)
第17講 函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
A級(jí)——高考保分練
1.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為_(kāi)_______.
解析:當(dāng)x≤1時(shí),由f(x)=2x-1=0,解得x=0;當(dāng)x>1時(shí),由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因?yàn)閤>1,所以此時(shí)方程無(wú)解.綜上,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.
答案:0
2.(2019·南通一中模擬)已知函數(shù)f(x)=+a的零點(diǎn)為1,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.
解析:由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.
答案:-
3.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則三個(gè)零點(diǎn)之和為_(kāi)_______.
解析:因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以若f(x)有三個(gè)零點(diǎn),則其和必為0.
答案:0
4.若函數(shù)f(x)=x2-ax+1在區(qū)間上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:由x2-ax+1=0得a=x+,其中x∈.∵函數(shù)y=x+在上為減函數(shù),在(1,3)上為增函數(shù),∴ymin=2,ymax=,∴a∈.
答案:
5.函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)有________個(gè).
解析:∵f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(0)=1-2<0,f(1)=e->0,∴函數(shù)f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn).
答案:1
6.(2019·常州一中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=-log4x的零點(diǎn)為x0,若x0∈(k,k+1),其中k為整數(shù),則k的值為_(kāi)_______.
解析:因?yàn)閒(2)=1-log42=>0,f(3)=-log43=log4<0,且函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以k=2.
答案:2
7.(2019·連云港調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=-x+b有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_______.
解析:由已知,函數(shù)f(x)=-x+b有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=x-b和y=的圖象有1個(gè)交點(diǎn),如圖,其中與半圓相切的直線方程為y=x+2,過(guò)點(diǎn)(0,)的直線方程為y=x+,所以滿足條件的b的取值范圍是b=-2或-<b≤ .
答案:{-2}∪(-,]
8.已知函數(shù)f(x)=若f(0)=-2,f(-1)=1,則函數(shù)g(x)=f(x)+x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
解析:依題意得
由此解得b=-4,c=-2.由g(x)=0得f(x)+x=0,
該方程等價(jià)于①
或②
解①得x=2,解②得x=-1或x=-2.
因此,函數(shù)g(x)=f(x)+x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.
答案:3
9.已知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|.若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
解析: 方程f(x)=k化為方程e|x|=k-|x|.令y=e|x|,y=k-|x|,y=k-|x|表示過(guò)點(diǎn)(0,k),斜率為1或-1的平行折線系,折線與曲線y=e|x|恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),有k=1,如圖.若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
10.設(shè)函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-b有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.
解析:當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=ex(x+1),則f′(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),由f′(x)>0,得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,0),由f′(x)<0,得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2),且易知x<-1時(shí),f(x)<0,f(0)=1.由以上分析,可作出分段函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.要使函數(shù)g(x)=f(x)-b有三個(gè)零點(diǎn),即f(x)=b有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=b有三個(gè)不同的公共點(diǎn),結(jié)合圖象可知,實(shí)數(shù)b的取值范圍是(0,1].
答案: (0,1]
11.已知y=f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=x2-2x.
(1)寫(xiě)出函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=x2+2x.
又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),
所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x.
所以f(x)=
(2)方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解,即y=f(x)與y=a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn).
作出y=f(x)與y=a的圖象如圖所示,故若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解,只需-1<a<1,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,1).
12.已知二次函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a,
(1)判斷命題:“對(duì)于任意的a∈R,方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”的真假,并寫(xiě)出判斷過(guò)程;
(2)若y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)“對(duì)于任意的a∈R,方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”是真命題.依題意,f(x)=1有實(shí)根,即x2+(2a-1)x-2a=0有實(shí)根,因?yàn)棣ぃ?2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0對(duì)于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有實(shí)根,從而f(x)=1必有實(shí)根.
(2)依題意,要使y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),只需即解得<a<.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
B級(jí)——難點(diǎn)突破練
1.已知x∈R,符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),若函數(shù)f(x)=-a(x>0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是________.
解析:當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=-a=-a,當(dāng)1≤x<2時(shí),f(x)=-a=-a,當(dāng)2≤x<3時(shí),f(x)=-a=-a,….f(x)=-a的圖象是把y=的圖象進(jìn)行縱向平移而得到的,畫(huà)出y=的圖象,通過(guò)數(shù)形結(jié)合可知a∈.
答案:
2.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足條件f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,若函數(shù)g(x)=|f(x)|-ae-|x|在區(qū)間[-2 020,2 020]上有4 036 個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:∵f(x)滿足條件f(1+x)=f(1-x)且為奇函數(shù),則f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),且f(x)=f(2-x),f(x)=-f(-x),∴-f(-x)=f(2-x),即-f(x)=f(2+x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期為4.令m(x)=|f(x)|,n(x)=ae-|x|,畫(huà)出m(x)、n(x)的圖象如圖,可知m(x)與n(x)為偶函數(shù),且要使m(x)與n(x)圖象有交點(diǎn),需a>0,由題意知要滿足g(x)在區(qū)間[-2 020,2 020]上有4 036個(gè)零點(diǎn),只需m(x)與n(x)的圖象在[0,4]上有兩個(gè)交點(diǎn),則可得e<a<e3.
答案:(e,e3)
3.已知函數(shù)f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的最小值.
解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-1-2ln x,
則f′(x)=1-,其中x∈(0,+∞).
由f′(x)>0,得x>2,由f′(x)<0,得0<x<2,
故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2),單調(diào)增區(qū)間為(2,+∞).
(2)f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a=(2-a)(x-1)-2ln x,
令m(x)=(2-a)(x-1),h(x)=2ln x,其中x>0,
則f(x)=m(x)-h(huán)(x).
① 當(dāng)a<2時(shí),m(x)在上為增函數(shù),h(x)在上為增函數(shù),
結(jié)合圖象知,若f(x)在上無(wú)零點(diǎn),
則m≥h,即(2-a)≥2ln,
所以a≥2-4ln 2,所以2-4ln 2≤a<2.
② 當(dāng)a≥2時(shí),在上,m(x)≥0,h(x)<0,
所以f(x)>0,所以f(x)在上無(wú)零點(diǎn).
由①②得a≥2-4ln 2,所以amin=2-4ln 2.
4.設(shè)函數(shù)fk(x)=2x+(k-1)·2-x(x∈R,k∈Z).
(1)若fk(x)是偶函數(shù),求k的值;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=λf0(x)-f2(2x)-2,若g(x)在x∈[1,+∞)上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
解:(1)因?yàn)閒k(x)是偶函數(shù),
所以fk(-x)=fk(x)恒成立,
即2-x+(k-1)·2x=2x+(k-1)·2-x,
即(k-2)(22x-1)=0恒成立,所以k=2.
(2)函數(shù)g(x)=λ(2x-2-x)-(22x+2-2x)-2在x∈[1, +∞)上有零點(diǎn),即λ(2x-2-x)-(22x+2-2x)-2=0在x∈[1,+∞)有解,
因?yàn)閤∈[1,+∞),所以2x-2-x>0,
所以問(wèn)題等價(jià)于λ=在x∈[1,+∞)有解.
令p=2x,則p≥2,令u=p-,
則u在p∈[2,+∞)上單調(diào)遞增,
因此u≥,λ=.
設(shè)r(u)==u+,
則r′(u)=1-,令r′(u)=0,得u=2,
故r(u)在上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)r(u)在u=2時(shí)取得最小值,且最小值r(2)=4,
所以r(u)∈[4,+∞),
從而滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[4,+∞).
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